第09章向量自回归模型.ppt

1 第九章向量自回归和误差修正模型 传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型 但是 经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明 而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂 为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型 本章所要介绍的向量自回归模型 vectorautoregression VAR 和向量误差修正模型 vectorerrorcorrectionmodel VEC 就是非结构化的多方程模型 2 向量自回归 VAR 是基于数据的统计性质建立模型 VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型 从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的 向量 自回归模型 VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一 并且在一定的条件下 多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型 因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视 9 1向量自回归理论 3 VAR p 模型的数学表达式是 9 1 5 其中 yt是k维内生变量向量 p是滞后阶数 样本个数为T k k维矩阵A1 Ap是要被估计的系数矩阵 t是k维扰动向量 它们相互之间可以同期相关 但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关 假设 是 t的协方差矩阵 是一个 k k 的正定矩阵 9 1 1VAR模型的一般表示 4 如果行列式det A L 的根都在单位圆外 则式 9 1 5 满足稳定性条件 可以将其表示为无穷阶的向量动平均 VMA 形式 9 1 6 其中 5 对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行 假如对 矩阵不施加限制性条件 由最小二乘法可得 矩阵的估计量为 9 1 7 其中 当VAR的参数估计出来之后 由于A L C L Ik 所以也可以得到相应的VMA 模型的参数估计 6 由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边 所以不存在同期相关性问题 用普通最小二乘法 OLS 能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量 即使扰动向量 t有同期相关 OLS仍然是有效的 因为所有的方程有相同的回归量 其与广义最小二乘法 GLS 是等价的 注意 由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消除 absorbed 所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格 7 例9 1我国货币政策效应实证分析的VAR模型为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度 根据我国1995年1季度 2004年4季度的季度数据 设居民消费价格指数为P 1990年 100 居民消费价格指数变动率为PR P P 1 1 100 实际GDP的对数 ln GDP P 为ln gdp 实际M1的对数 ln M1 P 为ln m1 和实际利率rr 一年期贷款利率R PR 利用VAR 3 模型对 ln gdp ln m1 和rr 3个变量之间的关系进行实证研究 其中实际GDP和实际M1以对数的形式出现在模型中 而实际利率没有取对数 8 EViews软件中VAR模型的建立和估计 1 建立VAR模型为了创建一个VAR对象 应选择Quick EstimateVAR 或者选择Objects Newobject VAR或者在命令窗口中键入var 便会出现下图的对话框 以例9 1为例 9 可以在对话框内添入相应的信息 1 选择模型类型 VARType 2 在EstimationSample编辑框中设置样本区间 3 输入滞后信息在LagIntervalsforEndogenous编辑框中输入滞后信息 表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端 这一信息应该成对输入 每一对数字描述一个滞后区间 例如 滞后对14表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量 10 2 VAR估计的输出VAR对象的设定框填写完毕 单击OK按纽 EViews将会在VAR对象窗口显示如下估计结果 11 表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程 对方程右端每一个变量 EViews会给出系数估计值 估计系数的标准差 圆括号中 及t 统计量 方括号中 例如 在D logGDPTC P 的方程中RR TC 1 的系数是0 000354 同时 有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部 12 输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量 根据各自的残差分别计算每个方程的结果 并显示在对应的列中 输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量 13 例9 1结果如下 3个方程调整的拟合优度分别为 可以利用这个模型进行预测及下一步的分析 14 同时 为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系 可用残差的同期相关矩阵来描述 用ei表示第i个方程的残差 i 1 2 3 其结果如表9 1所示 表9 1残差的同期相关矩阵 15 从表中可以看到实际利率rr 实际M1的 ln m1 方程和实际GDP的 ln gdp 方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高 进一步表明实际利率 实际货币供给量 M1 和实际GDP之间存在着同期的影响关系 尽管得到的估计量是一致估计量 但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系 16 9 1 2结构VAR模型 SVAR 在式 9 1 1 或式 9 1 3 中 可以看出 VAR模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式 即在模型的右端不含有当期的内生变量 而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中 是无法解释的 所以将式 9 1 1 和式 9 1 3 称为VAR模型的简化形式 本节要介绍的结构VAR模型 StructuralVAR SVAR 实际是指VAR模型的结构式 即在模型中包含变量之间的当期关系 17 1 两变量的SVAR模型 为了明确变量间的当期关系 首先来研究两变量的VAR模型结构式和简化式之间的转化关系 如含有两个变量 k 2 滞后一阶 p 1 的VAR模型结构式可以表示为下式 9 1 8 18 在模型 9 1 8 中假设 1 变量过程xt和zt均是平稳随机过程 2 随机误差uxt和uzt是白噪声序列 不失一般性 假设方差 x2 z2 1 3 随机误差uxt和uzt之间不相关 cov uxt uzt 0 式 9 1 8 一般称为一阶结构向量自回归模型 SVAR 1 19 它是一种结构式经济模型 引入了变量之间的作用与反馈作用 其中系数b12表示变量zt的单位变化对变量xt的即时作用 21表示xt 1的单位变化对zt的滞后影响 虽然uxt和uzt是单纯出现在xt和zt中的随机冲击 但如果b21 0 则作用在xt上的随机冲击uxt通过对xt的影响 能够即时传到变量zt上 这是一种间接的即时影响 同样 如果b12 0 则作用在zt上的随机冲击uzt也可以对xt产生间接的即时影响 冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系 20 2 多变量的SVAR模型 下面考虑k个变量的情形 p阶结构向量自回归模型SVAR p 为 9 1 13 其中 21 可以将式 9 1 13 写成滞后算子形式 9 1 14 其中 B L B0 1L 2L2 pLp B L 是滞后算子L的k k的参数矩阵 B0 Ik 需要注意的是 本书讨论的SVAR模型 B0矩阵均是主对角线元素为1的矩阵 如果B0是一个下三角矩阵 则SVAR模型称为递归的SVAR模型 22 不失一般性 在式 9 1 14 假定结构式误差项 结构冲击 ut的方差 协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik 同样 如果矩阵多项式B L 可逆 可以表示出SVAR的无穷阶的VMA 形式其中 9 1 15 23 式 9 1 15 通常称为经济模型的最终表达式 因为其中所有内生变量都表示为外生变量的分布滞后形式 而且外生变量的结构冲击ut是不可直接观测得到 需要通过yt各元素的响应才可观测到 可以通过估计式 9 1 5 转变简化式的误差项得到结构冲击ut 从式 9 1 6 和式 9 1 15 可以得到 9 1 16 24 上式对于任意的t都是成立的 称为典型的SVAR模型 由于C0 Ik 可得式 9 1 17 两端平方取期望 可得所以我们可以通过对D0施加约束来识别SVAR模型 9 1 17 9 1 18 25 9 2结构VAR SVAR 模型的识别条件 前面已经提到 在VAR简化式中变量间的当期关系没有直接给出 而是隐藏在误差项的相关关系的结构中 自Sims的研究开始 VAR模型在很多研究领域取得了成功 在一些研究课题中 VAR模型取代了传统的联立方程模型 被证实为实用且有效的统计方法 然而 VAR模型存在参数过多的问题 如式 9 1 1 中 一共有k kp d 个参数 只有所含经济变量较少的VAR模型才可以通过OLS和极大似然估计得到满意的估计结果 26 为了解决这一参数过多的问题 计量经济学家们提出了许多方法 这些方法的出发点都是通过对参数空间施加约束条件从而减少所估计的参数 SVAR模型就是这些方法中较为成功的一种 9 2 1VAR模型的识别条件 在经济模型的结构式和简化式之间进行转化时 经常遇到模型的识别性问题 即能否从简化式参数估计得到相应的结构式参数 27 对于k元p阶简化VAR模型利用极大似然方法 需要估计的参数个数为 9 2 1 9 2 2 而对于相应的k元p阶的SVAR模型来说 需要估计的参数个数为 9 2 4 9 2 3 28 要想得到结构式模型惟一的估计参数 要求识别的阶条件和秩条件 即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多 识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见第12章的 12 1 2联立方程模型的识别 因此 如果不对结构式参数加以限制 将出现模型不可识别的问题 对于k元p阶SVAR模型 需要对结构式施加的限制条件个数为式 9 2 4 和式 9 2 2 的差 即施加k k 1 2个限制条件才能估计出结构式模型的参数 这些约束条件可以是同期 短期 的 也可以是长期的 29 9 2 2SVAR模型的约束形式 为了详细说明SVAR模型的约束形成 从式 9 1 16 和式 9 1 17 出发 可以得到其中C L D L 分别是VAR模型和SVAR模型相应的VMA 模型的滞后算子式 D0 B0 1 这就隐含着 9 2 5 9 2 6 30 因此 只需要对D0进行约束 就可以识别整个结构系统 如果D0是已知的 可以通过估计式 9 1 17 和式 9 2 6 非常容易的得到滞后多项式的结构系数和结构新息ut 在有关SVAR模型的文献中 这些约束通常来自于经济理论 表示经济变量和结构冲击之间有意义的长期和短期关系 31 1 短期约束 短期约束通常直接施加在矩阵D0上 表示经济变量对结构冲击的同期响应 常见的可识别约束是简单的0约束排除方法 1 通过Cholesky 分解建立递归形式的短期约束Sims提出使D0矩阵的上三角为0的约束方法 这是一个简单的对协方差矩阵 的Cholesky 分解 32 例9 2基于SVAR模型的货币政策效应的实证分析例9 1使用了VAR模型验证利率和货币供给的冲击对经济波动的影响 但是其缺点是不能刻画变量之间的同期相关关系 而这种同期相关关系隐藏在扰动项变动中 因此可以通过本节介绍的SVAR模型来识别 这就涉及对模型施加约束的问题 首先建立3变量的AB型SVAR 3 模型 其A B矩阵的形式如下 9 2 13 33 其中变量和参数矩阵为 34 其中 t是VAR模型的扰动项 u1t u2t和u3t分别表示作用在实际利率rr ln m1 和 ln gdp 上的结构式冲击 即结构式扰动项 ut VWN 0k Ik 一般而言 简化式扰动项 t是结构式扰动项ut的线性组合 因此代表一种复合冲击 35 模型中有3个内生变量 因此至少需要施加2k2 k k 1 2 12个约束才能使得SVAR模型满足可识别条件 本例中约束B矩阵是单位矩阵 A矩阵对角线元素为1 相当于施加了k2 k个约束条件 根据经济理论 本例再施加如下两个约束条件 1 实际利率对当期货币供给量的变化没有反应 即a12 0 2 实际利率对当期GDP的变化没有反应 即a13 0 则A变为 36 2 长期约束 关于长期约束的概念最早是由Blanchard和Quah在1989年提出的 是为了识别模型供给冲击对产出的长期影响 施加在结构VMA 模型的系数矩阵Di i 1 2 上的约束通常称为长期约束 最常见的长期约束的形式是对 i 0Di的第i行第j列元素施加约束 典型的是0约束形式 表示第i个变量对第j个变量的累积乘数影响为0 关于长期约束更详细的说明及其经济含义可参考9 4节的脉冲响应函数 37 在EViews中如何估计SVAR模型在VAR估计窗口中选择 Procs EstimateStructuralFactorization即可 下面对这一操作进行详细说明 假设在EViews中SVAR模型为 9 8 3 其中et ut是k维向量 et是简化式的残差 相当于前文的 t 而ut是结构新息 结构式残差 A B是待估计的k k矩阵 简化式残差et的协方差矩阵为 38 1 用矩阵模式表示的短期约束 在许多问题中 对于A B矩阵的可识别约束是简单的排除0约束 在这种情况下 可以通过创建矩阵指定A B的约束 矩阵中想估计的未知元素定义为缺省值NA 在矩阵中所有非缺省的值被固定为某一指定的值 例如 对于例9 2 9 2 14 的简化式扰动项和结构式扰动项的关系为 t A 1ut 即A t ut 对于k 3个变量的SVAR模型 其矩阵模式可定义为 39 一旦创建了矩阵 从VAR对象窗口的菜单中选择Procs EstimateStructuralFactorization 在下图所示的SVAROptions的对话框中 击中Matrix按钮和Short RunPattern按钮 并在相应的编辑框中填入模版矩阵的名字 40 2 用文本形式表示的短期约束 对于更一般的约束 可用文本形式指定可识别的约束 在文本形式中 以一系列的方程表示关系 Aet But并用特殊的记号识别et和ut向量中的每一个元素 A B矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素 例如 像上例所假定的一样 对于有3个变量的VAR模型 约束A矩阵为B0矩阵 B矩阵是一对角矩阵 在这些约束条件下 Aet ut的关系式可以写为下面的形式 41 为了以文本形式指定这些约束 从VAR对象窗口选择Procs EstimateStructureFactorization 并单击Text按钮 在编辑框中 应键入下面的方程 e1t u1t e2t c 1 e1t u2t c 2 e3t e3t c 3 e1t c 4 e2t u3t 42 43 特殊的关键符 e1 e2 e3 分别代表et向量中的第一 第二 第三个元素 而 u1 u2 u3 分别代表ut向量中的第一 第二 第三个元素 在这个例子中 A B矩阵中的未知元素以系数向量C中的元素来代替 并且对A B矩阵的约束不必是下三角形式 可以依据具体的经济理论来建立约束 44 4 A B矩阵的估计 一旦提供了上述所描述的任何一种形式的可识别约束 单击SVAROptions对话框的OK按钮 就可以估计A B矩阵 为了使用脉冲响应和方差分解的结构选项 必须先估计这两个矩阵 假定扰动项是多元正态的 EViews使用极大似然估计法估计A B矩阵 使用不受限制的参数代替受限制的参数计算似然值 对数似然值通过得分方法最大化 在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算 45 46 在模型 9 2 13 满足可识别条件的情况下 我们可以使用完全信息极大似然方法 FIML 估计得到SVAR模型的所有未知参数 从而可得矩阵A及 t和ut的线性组合的估计结果如下 47 或者可以表示为在本章后面的部分可以通过SVAR模型利用脉冲响应函数讨论实际利率和货币供给量的变动对产出的影响 48 无论建立什么模型 都要对其进行识别和检验 以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义 本节简单介绍关于VAR模型的各种检验 这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型 VEC 也适用 9 3 1Granger因果检验VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系 本节讨论由Granger 1969 提出 Sims 1972 推广的如何检验变量之间因果关系的方法 9 3VAR模型的检验 49 1 Granger因果关系的定义Granger解决了x是否引起y的问题 主要看现在的y能够在多大程度上被过去的x解释 加入x的滞后值是否使解释程度提高 如果x在y的预测中有帮助 或者x与y的相关系数在统计上显著时 就可以说 y是由xGranger引起的 考虑对yt进行s期预测的均方误差 MSE 9 3 1 50 这样可以更正式地用如下的数学语言来描述 Granger因果定义 如果关于所有的s 0 基于 yt yt 1 预测yt s得到的均方误差 与基于 yt yt 1 和 xt xt 1 两者得到的yt s的均方误差相同 则y不是由xGranger引起的 对于线性函数 若有 可以得出结论 x不能Granger引起y 等价的 如果 9 3 2 式成立 则称x对于y是外生的 这个意思相同的第三种表达方式是x关于未来的y无线性影响信息 9 3 2 51 可以将上述结果推广到k个变量的VAR p 模型中去 考虑对模型 9 1 5 利用从 t 1 至 t p 期的所有信息 得到yt的最优预测如下 9 3 3 VAR p 模型中Granger因果关系如同两变量的情形 可以判断是否存在过去的影响 作为两变量情形的推广 对多个变量的组合给出如下的系数约束条件 在多变量VAR p 模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系的必要条件是 9 3 4 其中是的第i行第j列的元素 52 2 Granger因果关系检验Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中 一个变量如果受到其他变量的滞后影响 则称它们具有Granger因果关系 53 这时 判断Granger原因的直接方法是利用F 检验来检验下述联合检验 H0 H1 至少存在一个q使得 其统计量为 9 3 6 如果S1大于F的临界值 则拒绝原假设 否则接受原假设 x不能Granger引起y 54 在EViews中Granger因果检验的操作选择View LagStructure GrangerCausalityTests 即可进行Granger因果检验 55 输出结果对于VAR模型中的每一个方程 将输出每一个其他内生变量的滞后项 不包括它本身的滞后项 联合显著的 2 Wald 统计量 在表的最后一行 ALL 列出了检验所有滞后内生变量联合显著的 2统计量 对例9 1进行检验 其结果如下 56 同时在组 Group 的View菜单里也可以实现Granger因果检验 但是需要先确定滞后阶数 具体统计量的构造可依据9 3节的介绍 将例9 1的3个时间序列构造成组 在组中进行检验可得如下结果 57 例9 3Granger因果检验早期研究发现 在产出和货币的单方程中 货币对于产出具有显著Granger影响 Granger 1969 这同Friedman等人 1963 实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关 的结论相符 但是 Sims 1980 对于 货币冲击能够产生实际效果 的观点提出了质疑 他通过使用结构变量之间的因果关系检验 得到的主要结论是 如果在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量 那么货币供给对实际产出的作用程度将出现显著降低 因此 动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力 这样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近 58 根据实际情况 利用例9 1的数据 基于VAR 3 模型检验实际利率RR 实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显著的Granger关系 其结果如表9 2所示 59 从表9 2的结果可以看到实际利率不能Granger引起实际M1 实际GDP 其P值分别达到0 4027和0 5612 可以作为外生变量 这与我国实行固定利率制度是相吻合的 即利率不是通过市场来调节的 同时在第三个方程 即GDP方程 中 实际M1外生于实际GDP的概率为0 9037 这可能是因为我国内需不足 大部分商品处于供大于求 因此当对货币的需求扩张时 会由于价格调整而抵消 并不会形成对货币供给的数量调整 因此对产出的影响比较微弱 另外 在样本区间内 货币政策发生了方向性的改变 导致其影响作用出现了抵消和中和 因此M1对GDP没有显著的影响 60 VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定 在选择滞后阶数p时 一方面想使滞后阶数足够大 以便能完整反映所构造模型的动态特征 但是另一方面 滞后阶数越大 需要估计的参数也就越多 模型的自由度就减少 所以通常进行选择时 需要综合考虑 既要有足够数目的滞后项 又要有足够数目的自由度 事实上 这是VAR模型的一个缺陷 在实际中常常会发现 将不得不限制滞后项的数目 使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目 9 3 2滞后阶数p的确定 61 在EViews软件中滞后阶数p的确定一旦完成VAR模型的估计 在窗口中选择View LagStructure LagLengthCriteria 需要指定较大的滞后阶数 表中将显示出直至最大滞后数的各种信息标准 如果在VAR模型中没有外生变量 滞后从1开始 否则从0开始 表中用 表示从每一列标准中选的滞后数 在4 7列中 是在标准值最小的情况下所选的滞后数 为了确定例9 1中模型的合适滞后长度p 首先选择尽可能大的滞后阶数8 得到如下的结果 62 63 在EViews软件关于VAR模型的其他检验一旦完成VAR模型的估计 EViews会提供关于被估计的VAR模型的各种视图 将主要介绍View LagStructure和View ResidualTests菜单下提供的检验 64 1 AR根的图表如果被估计的VAR模型所有根的模的倒数小于1 即位于单位圆内 则其是稳定的 如果模型不稳定 某些结果将不是有效的 如脉冲响应函数的标准误差 共有kp个根 其中k是内生变量的个数 p是最大滞后阶数 如果估计一个有r个协整关系的VEC模型 则应有k r个根等于1 对于例9 1 可以得到如下的结果 65 所有的单位根的模大于1 因此例9 1的模型满足稳定性条件 66 下面给出单位根的图形表示的结果 67 2 VAR残差检验 1 相关图 Correlogram 显示VAR模型在指定的滞后阶数的条件下得到的残差的交叉相关图 样本自相关 2 混合的自相关检验 PortmanteauAutocorrelationTest 计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Box Pierce Ljung BoxQ统计量 3 自相关LM检验 AutocorrelationLMTest 计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量 4 正态性检验 NormalityTest 5 White异方差检验 WhiteHeteroskedasticityTest 68 在实际应用中 由于VAR模型是一种非理论性的模型 因此在分析VAR模型时 往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何 而是分析当一个误差项发生变化 或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响 这种分析方法称为脉冲响应函数方法 impulseresponsefunction IRF 9 4脉冲响应函数 69 由式 9 1 5 可得 9 4 1VAR模型的脉冲响应函数 9 4 3 VAR p 可以表示为VMA 模型 因此VMA 的系数矩阵C可以由VAR p 的系数矩阵A计算得到 70 考虑VMA 的表达式yt的第i个变量yit可以写成 其中k是变量个数 9 4 7 9 4 8 71 一般地 由yj的脉冲引起的yi的响应函数可以求出如下 且由yj的脉冲引起的yi的累积 accumulate 响应函数可表示为 72 本例选择钢铁行业及其主要的下游行业的销售收入数据做为各行业的需求变量 利用脉冲响应函数分析各下游行业自身需求的变动对钢铁行业需求的影响 分别用y1表示钢材销售收入 y2表示建材销售收入y3表示汽车销售收入 y4表示机械销售收入 y5表示家电销售收入 样本区间为1999年1月 2002年12月 所采用数据均作了季节调整 指标名后加上后缀sa 并进行了协整检验 存在协整关系 这表明 所选的各下游行业的销售收入与钢铁工业的销售收入之间具有长期的均衡关系 例9 4钢铁行业的需求对下游相关行业变化的响应 73 脉冲响应函数在EViews软件中的实现为了得到脉冲响应函数 先建立一个VAR模型 然后在VAR工具栏中选择View ImpulseResponse 或者在工具栏选择Impulse 并得到下面的对话框 有两个菜单 Display和ImpulseDefinition 74 1 Display菜单提供下列选项 1 显示形式 DisplayFormat 选择以图或表来显示结果 如果选择CombinedGraphs则ResponseStandardError选项是灰色 不显示标准误差 而且应注意 输出表的格式是按响应变量的顺序显示 而不是按脉冲变量的顺序 2 显示信息 DisplayInformation 输入产生冲击的变量 Impulses 和希望观察其脉冲响应的变量 Responses 可以输入内生变量的名称 也可以输入变量的对应的序数 75 2 ImpulseDefinition菜单提供了转换脉冲的选项 1 Residual OneUnit 2 Residual OneStd Dev 3 Cholesky分解用残差协方差矩阵的Cholesky因子的逆来正交化脉冲 4 广义脉冲 GneralizedImpluses 5 结构分解 StructuralDecomposition 用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵 6 用户指定 UserSpecified 76 例9 4建立5变量的VAR 3 模型 下面分别给各下游行业销售收入一个冲击 选择广义脉冲 得到关于钢材销售收入的脉冲响应函数图 在下列各图中 横轴表示冲击作用的滞后期间数 单位 月度 纵轴表示钢材销售收入 亿元 实线表示脉冲响应函数 代表了钢材销售收入对相应的行业销售收入的冲击的反应 虚线表示正负两倍标准差偏离带 77 y1 钢材 y2 建材 y3 汽车 y4 机械 y5 家电 78 为了解决VAR模型脉冲响应函数非正交化的问题 由Cholesky分解可将正定的协方差矩阵 分解为其中G是下三角形矩阵 Q惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵 利用这一矩阵G可以构造一个k维向量ut 构造方法为ut G 1 t 则 t Gut 因此VMA 可以表示为 9 4 3SVAR模型的脉冲响应函数 9 4 12 79 则由式 9 4 10 和式 9 4 11 可导出一个正交的脉冲响应函数 9 4 13 上式表示Dq的第i行 第j列元素 q 0 1 它描述了在时期t 其他变量和早期变量不变的情况下yi t q对yjt的一个结构冲击的反应 80 同样由yj的脉冲引起的yi的累积 accumulate 响应函数可表示为 不失一般性 对于一个n元的SVAR p 模型 由式 9 1 15 可得SVAR模型的脉冲响应函数为 9 4 14 对于AB 型的SVAR模型 由式 9 1 15 和式 9 2 18 可求得 9 4 15 81 它的脉冲响应函数为 9 4 16 则其累积脉冲响应函数矩阵 可表示为 9 4 17 则 的第i行第j列元素表示第i个变量对第j个变量的结构冲击的累积响应 82 9 2节所介绍的短期约束和长期约束体现在脉冲响应函数上 表现为 短期约束意味着脉冲响应函数随着时间的变化将会消失 而长期约束则意味着对响应变量未来的值有一个长期的影响 因此 根据式 9 4 17 可知长期可识别约束依矩阵 的形式指定 典型的是0约束形式 ij 0的约束表示第i个变量对第j个变量的结构冲击的长期 累积 响应为0 从脉冲响应函数的角度出发 前面所介绍的SAVR模型的长期约束的经济含义就非常明显了 83 长期约束 体现在关系式Aet But中的可识别约束 通常指短期约束 Blanchard和Quah 1989 提出了另外一种可识别的方法 是基于脉冲响应长期性质的约束 由式 9 4 17 可推出结构新息的长期响应 长期可识别约束依矩阵 的形式指定 典型的是0约束形式 ij 0的约束表示第i个变量对第j个结构冲击的长期响应为0 84 用矩阵形式表示的长期约束 通过矩阵模式设定长期约束 需建立一个已命名的包括长期响应矩阵 的模板 在 矩阵中非约束的元素应定义为缺省值NA 例如 对于一个两变量的VAR模型 若约束第二个内生变量对第一个结构冲击的长期响应为0 即 21 0 则长期响应矩阵可定义为下面的形式 85 一旦建立了模板矩阵 在VAR对象窗口的菜单中选择Procs EstimateStructuralFactorization 在SVAROption对话框中 选择Matrix和Long runPattern按钮 并在相应的的编辑框中键入模版矩阵的名字 86 lr2 u1 0 zeroLRresponseof2ndvariableto1stshock在撇号后面的内容是注释 这个约束以特殊的关键字 1r 开始 数字代表受约束的响应变量 在圆括号内 必须指定脉冲关键字 u和扰动项序号 在其后紧跟等号和响应值 通常是0 需注意 当需列出多个长期约束时 不要混淆短期与长期约束 87 对于一个两变量 实际M1和实际GDP均取对数差分 的VAR 3 模型 若约束第二个内生变量对第一个结构冲击的长期响应为0 即 21 0 则长期响应矩阵可定义为下面的形式 88 一旦估计收敛 EViews会在VAR对象窗口中显示估计的结果 包括 估计值 标准误差和被估计无约束参数的Z统计量及对数似然的最大值 89 M1增长率的结构冲击引起的GDP增长率的响应函数 基于长期性质约束的脉冲响应函数 90 例9 5产出对货币供应量和利率变化的响应函数 因为在SVAR模型中可以得到正交化的脉冲响应函数 即可以单独考虑各个变量的冲击对其他变量的影响 以例9 2的SVAR 3 模型为例 分析货币政策的变化对产出的影响 将实际GDP和实际M1均取对数差分 所以系数代表了增长率 在图9 6和图9 7中 横轴表示冲击作用的滞后期间数 单位 季度 纵轴表示GDP增长率的变化 实线表示脉冲响应函数 虚线表示正负两倍标准差偏离带 图9 6实际利率的结构冲击引起GDP的响应函数图9 7M1的结构冲击引起的GDP的响应函数 91 脉冲响应函数描述的是VAR模型中的一个内生变量的冲击给其他内生变量所带来的影响 而方差分解 variancedecomposition 是通过分析每一个结构冲击对内生变量变化 通常用方差来度量 的贡献度 进一步评价不同结构冲击的重要性 因此 方差分解给出对VAR模型中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重要性的信息 其基本思想如下所述 9 5方差分解 92 脉冲响应函数是随着时间的推移 观察模型中的各变量对于冲击是如何反应的 然而对于只是要简单地说明变量间的影响关系又稍稍过细了一些 因此 Sims于1980年依据VMA 表示 提出了方差分解方法 定量地但是相当粗糙地把握变量间的影响关系 其思路如下 根据式 9 4 8 可知各个括号中的内容是第j个扰动项 j从无限过去到现在时点对yi影响的总和 求其方差 假定 j无序列相关 则 9 5 1 93 这是把第j个扰动项对第i个变量从无限过去到现在时点的影响 用方差加以评价的结果 此处还假定扰动项向量的协方差矩阵 是对角矩阵 则yi的方差是上述方差的k项简单和 9 5 2 9 5 3 94 yi的方差可以分解成k种不相关的影响 因此为了测定各个扰动项相对yi的方差有多大程度的贡献 定义了如下尺度 9 5 4 即相对方差贡献率 relativevariancecontribution RVC 是根据第j个变量基于冲击的方差对yi的方差的相对贡献度来观测第j个变量对第i个变量的影响 95 实际上 不可能用直到s 的项和来评价 如果模型满足平稳性条件 则随着q的增大呈几何级数性的衰减 所以只需取有限的s项 VAR p 模型的前s期的预测误差是可得近似的相对方差贡献率 RVC 9 5 5 96 方差分解在EViews软件中的实现为了得到VAR的方差分解 从VAR的工具栏中选View Variancedecomposition项 注意 因为非正交的因子分解所产生的分解不具有较好的性质 所以所选的因子分解仅限于正交的因子分解 97 例9 4分析了钢铁销售收入对下游相关行业冲击变化的响应 本例中将利用方差分析的基本思想分析各下游行业对钢铁行业变动的贡献程度 数据的处理和例9 4一样 可得到如下的结果 各图中横轴表示滞后期间数 单位 月度 纵轴表示该行业需求对钢材需求的贡献率 单位 百分数 数值越大 对钢材需求的影响越大 例9 6下游相关行业对钢铁行业变化的贡献程度 98 y1 钢材 y2 建材 y3 汽车 y4 机械 y5 家电 99 从上面4个图中可以看出 不考虑钢铁行业自身的贡献率 建材行业对钢铁行业的贡献率最大达到48 9 RVC2 1 36 48 9 其次是汽车行业 其对钢铁行业的贡献率是逐渐增加的 在第34期达到20 左右 RVC3 1 34 20 03 机械行业和家电行业的贡献率较小 分别为8 和6 左右 100 第5章5 4节介绍的协整检验和误差修正模型主要是针对单方程而言 本节将推广到VAR模型 而且前面所介绍的协整检验是基于回归的残差序列进行检验 本节介绍的Johansen协整检验基于回归系数的协整检验 有时也称为JJ Johansen Juselius 检验 虽然ADF检验比较容易实现 但其检验方式存在一定欠缺性 在第一阶段需要设计线性模型进行OLS估计 应用不方便 Johansen在1988年及在1990年与Juselius一起提出的一种以VAR模型为基础的检验回归系数的方法 是一种进行多变量协整检验的较好的方法 9 6Johansen协整检验 101 其中 9 6 2 其中y1t y2t ykt都是非平稳的I 1 变量 Xt是一个确定的d维的外生向量 代表趋势项 常数项等确定性项 t是k维扰动向量 将式 9 6 1 经过差分变换以后 可得下面的式子 9 6 3 首先建立一个VAR p 模型 9 6 1 102 由于I 1 过程经过差分变换将变成I 0 过程 即式 9 6 2 中的 yt yt j j 1 2 p 都是I 0 变量构成的向量 那么只要 yt 1是I 0 的向量 即y1 t 1 y2 t 1 yk t 1之间具有协整关系 就能保证 yt是平稳过程 变量y1 t 1 y2 t 1 yk t 1之间是否具有协整关系主要依赖于矩阵 的秩 设 的秩为r 则存在3种情况 r k r 0 0 r k 如果r k 显然只有当y1 t 1 y2 t 1 yk t 1都是I 0 变量时 才能保证 yt 1是I 0 变量构成的向量 而这与已知的yt为I 1 过程相矛盾 所以必然有r k 103 如果r 0 意味着 0 因此式 9 6 2 仅仅是个差分方程 各项都是I 0 变量 不需要讨论y1 t 1 y2 t 1 yk t 1之间是否具有协整关系 下面讨论0 r k的情形 0 r k表示存在r个协整组合 其余k r个关系仍为I 1 关系 在这种情况下 可以分解成两个 k r 阶矩阵 和 的乘积 9 6 4 其中rk r rk r 104 9 6 5 上式要求 yt 1为一个I 0 向量 其每一行都是I 0 组合变量 即 的每一行所表示的y1 t 1 y2 t 1 yk t 1的线性组合都是一种协整形式 所以矩阵 决定了y1 t 1 y2 t 1 yk t 1之间协整向量的个数与形式 因此称为协整向量矩阵 r为协整向量的个数 将式 9 6 4 代入式 9 6 2 得 105 矩阵 的每一行 i是出现在第I个方程中的r个协整组合的一组权重 故称为调整参数矩阵 与前面介绍的误差修正模型的调整系数的含义一样 而且容易发现 和 并不是惟一的 因为对于任何非奇异r r矩阵H 乘积 和 H H 1 都等于 将yt的协整检验变成对矩阵 的分析问题 这就是Johansen协整检验的基本原理 因为矩阵 的秩等于它的非零特征根的个数 因此可以通过对非零特征根个数的检验来检验协整关系和协整向量的秩 略去关于 的特征根的求解方法 设矩阵 的特征根为 1 2 k 106 9 6 1特征根迹检验 trace检验 由于r个最大特征根可得到r个协整向量 而对于其余k r个非协整组合来说 r 1 k应该为0 于是可得到原假设 备选假设为 相应的检验统计量为 9 6 6 r称为特征根迹统计量 107 2 当 1不显著时 接受H10 表明只有1个协整向量 依次进行下去 直到接受Hr0 说明存在r个协整向量 这r个协整向量就是对应于最大的r个特征根的经过正规化的特征向量 依次检验这一系列统计量的显著性 1 当 0不显著时 即 0值小于某一显著性水平下的Johansen分布临界值 接受H00 r 0 表明有k个单位根 0个协整向量 即不存在协整关系 当 0显著时 即 0值大于某一显著性水平下的Johansen分布临界值 拒绝H00 则表明至少有一个协整向量 必须接着检验 1的显著性 108 根据右边假设检验 大于临界值拒绝原假设 继续检验的过程可归纳为如下的序贯过程 1临界值 拒绝H10 表明至少有2个协整向量 r 临界值 接受Hr0 表明只有r个协整向量 109 9 6 2最大特征值检验对于Johansen协整检验 另外一个类似的检验方法是 检验统计量是基于最大特征值的 其形式为 9 6 7 其中 r称为最大特征根统计量 简记为 max统计量 110 检验从下往上进行 首先检验 0 如果 0临界值 拒绝H00 至少有1个协整向量 接受H00 r 0 表明最大特征根为0 无协整向量 否则接受H01 至少有1个协整向量 如果 1显著 拒绝H10 接受至少有2个协整向量的备择假设H11 依次进行下去 直到接受Hr0 共有r个协整向量 111 9 6 3协整方程的形式与单变量时间序列可能出现非零均值 包含确定性趋势或随机趋势一样 协整方程也可以包含截距和确定性趋势 由式 9 6 2 假设方程可能会出现如下情况 Johansen 1995 1 VAR模型没有确定趋势 协整方程没有截距 2 VAR模型没有确定趋势 协整方程有截距项 0 9 6 8 9 6 9 112 3 VAR模型有确定性线性趋势 但协整方程只有截距 9 6 10 4 VAR模型和协整方程都有线性趋势 协整方程的线性趋势表示为 1t 9 6 11 5 VAR模型有二次趋势 协整方程仅有线性趋势 9 6 12 113 其中 是k k r 阶矩阵 它被称为 的正交互余矩阵 orthogonalcomplement 即 0 与 有关的项是协整关系的外部确定项 当确定项同时出现在协整关系的内部和外部时 的分解不是惟一可识别的 Johansen 1995 指出可将属于误差修正项内的那部分外生项正交地投影于 空间上 所以 是 的0空间 即 0 114 协整检验在EViews软件中的实现为了实现协整检验 从VAR对象或Group 组 对象的工具栏中选择View CointegrationTest 即可 协整检验仅对已知非平稳的序列有效 所以需要首先对VAR模型中每一个序列进行单位根检验 EViews软件中协整检验实现的理论基础是Johansen 1991 1995a 协整理论 在CointegrationTestSpecification的对话框 下图 中将提供关于检验的详细信息 115 1 协整检验的设定 116 2 协整检验结果的解释 1 协整关系的数量输出结果的第一部分给出了协整关系的数量 并以两种检验统计量的形式显示 第一种检验结果是所谓的迹统计量 列在第一个表格中 第二种检验结果是最大特征值统计量 列在第二个表格中 对于每一个检验结果 第一列显示了在原假设成立条件下的协整关系数 第二列是式 9 6 2 中 矩阵按由大到小排序的特征值 第三列是迹检验统计量或最大特征值统计量 第四列是在5 显著性水平下的临界值 最后一列是根据MacKinnon Haug Michel