2012年霍邱县高中数学竞赛试题答案.doc

2012年霍邱县高中数学竞赛试题 （参考答案）第卷答题卡：一选择题（本题满分36分，每小题6分）题 号123456答 案DCBCAB二填空题（本题满分48分，每小题8分）7 8 9 10 112 12三解答题（本大题共4小题，共66分）要求必须写出必要的演算或证明的过程）13（本题满分15分）设若时，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且5分）若有实根，则，则或在区间有即，将代入，解出综合得，这时，且 10分）若无实根，则，将代入解得综上上得： 13分所以，单调递减故最小值为，最大值为 15分14（本题满分15分）已知整数数列满足，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列 (1) 求数列的通项公式；(2) 求出所有的正整数，使得解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a5=1+2d，a6=1+3d，d为整数. 又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d1)2=4(2d1)， 即 9d214d+5=0，得d =1. 4分 当n6时，an =n4， 由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n5时，an =2n-5. 故 an = 7分（注：也可写成等）(2) 由（1）知，数列为：3，2，1，0，1，2，4，8，16， 当m=1时等式成立，即 321=6=(3)(2)(1)； 当m=3时等式成立，即 1+0+1=0； 当m=2、4时等式不成立； 10分 当m5时，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(231)=72m-5， 72m-523m-12， 所以 am +am+1+am+2amam+1am+2 . 故所求 m= 1，或m=3 15分15（本题满分18分）若不等式k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围解法一：显然k0()2k2(2xy)(2k21)x2(k21)y0对于x，y0恒成立 4分不等式两边同除以，令t0，则得f(t)(2k21)t22t(k21)0对一切t0恒成立 8分当2k210时，不等式不能恒成立，故2k210 12分此时当t时，f(t)取得最小值k21当2k210且2k230，即k时，不等式恒成立，且当x4y0时等号成立 k，) 18分解法二：显然k0，故k2令t0，则k2(1)令u4t11，则t只要求s(u)的最大值s(u)2，于是，(1)(12)k2，即k时，不等式恒成立(当x4y0时等号成立)又：令s(t)，则s(t)，t0时有驻点t且在0t时，s(t)0，在t时，s(t)0，即s(t)在t时取得最大值2，此时有k2(1s()解法三：由Cauchy不等式，()2(1)(2xy)即()对一切正实数x，y成立当k时，取x，y1，有，而kk即不等式不能恒成立而当k时，由于对一切正实数x，y，都有k，故不等式恒成立（注：解法二、三、酌情给分）16（本题满分18分）如图,已知两点、，的内切圆的圆心在直线上移动。(1) 求点的轨迹方程；(2).过点作两条射线，分别交(1)中所求轨迹于、两点