第5章 测量误差的基本知识 (2).ppt

第五章测量误差的基本知识 授课人 杨灿灿 CompanyLogo 主要内容 一 概述二 衡量观测值精度的标准 重点 三 误差传播定律 重点 四 等精度直接观测平差五 不等精度直接观测平差 自学 理论 实际 现象 1 观测值与其理论值 真值 之间有差异 任何观测量 客观上总是存在一个能反映其真正大小的数值 这个数值称为观测值的真值或者理论值 一 概述 2 同一个量多次观测的观测值不相等 一 概述 观测过程中存在观测误差 观测值与其真值的差异 称为观测误差 也称测量误差 原因 观测误差 观测误差 真值 观测值 以 表示观测误差 表示真值 表示观测值 则上式可写为 通常称 为观测值的真误差 简称误差 1 真误差与测量条件 观测者 采用一定的 仪器 在一定的 外界条件 下对 技术水平工作态度感觉器官鉴别力 构造缺陷校正后残余误差精密度 温度 湿度风力 大气折光等 观测条件 观测值 observatinvalue 获取 一 概述 进行测量 观测目标 目标本身的结构 状态 清晰程度等 任何观测都不可避免的含有误差 观测条件 测量精度 好 高 差 低 相同 等精度 不相同 非等精度 一定的观测条件对应着一定的测量精度 观测条件相同 测量精度相等 观测条件不同测量精度不等 一 概述 2 观测误差的分类与处理 1 粗差 2 系统误差 3 偶然误差 observationalerrorsandtheirtypes 1 粗差 定义 粗差是指超出正常观测条件所出现的 而且数据超出规定的误差 例如 读错 记错或测错等 产生原因 测错 读错 记录错 计算错 仪器故障等所引起的偏差 1467mm 1533mm 处理措施 舍弃或重测 变更仪器或操作程序 进行必要的重复测量或多余观测 采用必要而又严格的验算等 特性 比最大误差还大 对测量结果影响很大 1 粗差 定义 2 系统误差 相同观测条件下做一系列观测 若误差在大小 符号上表现出系统性 或按一定规律变化 或为一常数 那么这种误差则为系统误差 产生原因 仪器构造的缺陷或检验校正不严格引起的 如 钢尺量距误差 水准仪i角误差等 特性 具有一定的规律性 具有累积性 对测量结果影响较大 2 系统误差 处理措施 采取科学合理的操作方法 后前前后消弱仪器下沉的影响 利用公式进行系统误差改正 2 系统误差 相同观测条件下做一系列观测 若误差在大小 符号上表现出偶然性 即单个误差无规律性 但是大量误差具有一定的统计规律 则称为偶然误差 随机误差 定义 3 偶然误差 水平度盘读数 73 04 43 产生原因 偶然误差产生的原因很多 往往无法预知和控制 如空气的不稳定 观测目标的亮度差 仪器的构造不严密 观测者的感觉器官受一定的限制等 3 偶然误差 CompanyLogo 例如 对三角形的三个内角进行测量 由于观测值含有偶然误差 三角形各内角之和l不等于其真值180 用X表示真值 则l与X的差值 称为真误差 即偶然误差 即 3 偶然误差 1 2偶然误差的统计性质 1 在一定的观测条件下 误差的绝对值有一定的限值 有界性 例1 在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角 计算各内角和的真误差 并按误差区间的间隔进行统计 2 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的个数多 密集性 例1 在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角 计算各内角和的真误差 并按误差区间的间隔进行统计 3 绝对值相等的正负误差出现的个数相近 对称性 例1 在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角 计算各内角和的真误差 并按误差区间的间隔进行统计 例2 在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角 计算各内角和的真误差 并按误差区间的间隔进行统计 CompanyLogo 特点 4 同一量的等精度观测 其偶然误差的算术平均值 随着观测次数的无限增加而趋于零 即 补偿性 3 偶然误差 用直方图表示 CompanyLogo 3 偶然误差 由上式可以看出 当 0时 它代表误差概率分布曲线的峰值 设有不同精度的两组观测值 对应的参数为 1和 2 并设 1 2 则 CompanyLogo 3 偶然误差 它们所对应的误差概率分布曲线为下图中的 和 所示 曲线陡峭 误差较集中分布在原点附近 观测值精度较高 曲线平缓 误差分布较离散 观测精度较低 故参数 是与观测精度有关的量 CompanyLogo 3 偶然误差 5 2衡量观测值精度的标准 CompanyLogo CompanyLogo 在测量工作中 常采用以下几种标准评定测量成果的精度 中误差 相对中误差 极限误差 5 2衡量观测值精度的标准 CompanyLogo 设在相同的观测条件下 对某量进行n次重复观测 其观测值为l1 l2 ln 相应的真误差为 1 2 n 则观测值的中误差m为 式中 真误差的平方和 一 中误差 5 2衡量观测值精度的标准 CompanyLogo 例5 1设有甲 乙两组观测值 各组均为等精度观测 它们的真误差分别为 甲组 乙组 试计算甲 乙两组各自的观测精度 解 5 2衡量观测值精度的标准 CompanyLogo 比较m甲和m乙可知 甲组的观测精度比乙组高 结论 中误差所代表的是某一组观测值的精度 5 2衡量观测值精度的标准 CompanyLogo 5 2衡量观测值精度的标准 例5 2 某段距离用钢尺丈量了8次 观测值列于表中 该段距离用测距仪量得的结果为39 875m 由于其精度很高 可视为真值 试求用该50m钢尺丈量该距离一次的观测值中误差 CompanyLogo 解 从上表的计算结果来看 该组等精度观测值的中误差为 由于是等精度观测 故每个观测值的精度皆为 6 9mm CompanyLogo 相对误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比 并化为分子为1的分数 即 例丈量两段距离 D1 100m m1 1cm和D2 30m m2 1cm 试计算两段距离的相对误差 解 二 相对中误差 5 2衡量观测值精度的标准 用相对误差来衡量 就可容易地看出 前者比后者精度高 CompanyLogo 在一定观测条件下 偶然误差的绝对值不应超过的限值 称为极限误差 也称限差或容许误差 三 极限误差 5 2衡量观测值精度的标准 CompanyLogo 三 极限误差 上式的概率含义是 在一组等精度观测值中 真误差的绝对值大于一倍 的个数约占整个误差个数的32 大于两倍 的个数约占4 5 大于三倍 的个数只占0 3 由于大于三倍中误差的真误差个数 只占全部的0 3 及1000个真误差中 只有3个绝对值可能超过三倍 由于出现的几率很小 故可认为 绝对值大于3 的真误差实际上是不可能出现的 5 2衡量观测值精度的标准 CompanyLogo 在实际工作中 测量规范要求观测值中 不容许存在较大的误差 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值 称为容许误差 即 或 如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差 就可以认为该观测值含有粗差 应舍去不用或返工重测 三 极限误差 5 2衡量观测值精度的标准 CompanyLogo 与相对误差对应 中误差 容许误差 闭合差和较差等均称为绝对误差 绝对误差都有单位的 且应冠以正负号 当观测值的误差与观测值大小无关时 如角度 方向等观测值 其精度用绝对误差来衡量 三 极限误差 5 2衡量观测值精度的标准 CompanyLogo 5 3误差传播定律 某些未知量不可能或不便于直接进行观测 而需要由另外一些量的直接观测值根据一定的函数关系计算出来 独立观测值的中误差和函数的中误差必定存在某种关系 阐述这种关系的定律称为误差传播定律 下面分别讨论倍数函数 和差函数 一般线性函数和一般函数的误差传播定律 5 3误差传播定律 一 误差传播定律 令的系数为 c 式为 对 a 全微分 b 5 3误差传播定律 对Z观测了k次 有k个式 d 5 3误差传播定律 对K个 e 式取总和 g 式最后一项极小于前面各项 可忽略不计 则 即 h 5 3误差传播定律 h 考虑 代入上式 得中误差关系式 上式为一般函数的中误差公式 也称为误差传播定律 5 3误差传播定律 通过以上误差传播定律的推导 我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤 5 3误差传播定律 二 几种常用函数的中误差 5 3误差传播定律 解 列函数式求全微分中误差式 1 倍数函数的中误差 5 3误差传播定律 解 列函数式求全微分中误差式 1 倍数函数的中误差 5 3误差传播定律 例5 4 设测得圆形的半径r 2 548m 已知其中误差m 0 004m 求其周长l及其中误差ml 周长l 16 010m 0 025m 2 线性函数的中误差 设有函数式全微分中误差式 5 3误差传播定律 2 线性函数的中误差 例 设有某线性函数其中 分别为独立观测值 它们的中误差分别为求Z的中误差 解 对上式全微分 由中误差式得 5 3误差传播定律 由此可知 算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍 函数式全微分中误差式 3 算术平均值的中误差式 由于等精度观测时 代入上式 得 对某观测量进行多次观测 多余观测 取平均 是提高观测成果精度最有效的方法 5 3误差传播定律 想一想 对某观测量进行多次观测 多余观测 取平均 可以提高观测成果精度 请思考 观测次数越多 观测成果的精度越高 分析 设观测值精度一定时 例如设m 1 当n取不同值时 按计算mx的值如下表 从上表中可以看出 随着n的增大 m值不断减小 精度不断提高 当观测次数到某一定数目后 精度提高得很少 因此 要提高精度 单靠增加观测次数是不经济的 4 和或差函数的中误差 函数式 全微分 中误差式 当等精度观测时 上式可写成 5 3误差传播定律 4 和或差函数的中误差 例 测定A B间的高差 共连续测了9站 设测量每站高差的中误差 求总高差的中误差 5 3误差传播定律 解 列函数关系式 求中误差式 4 和或差函数的中误差 解 列函数关系式 C 180 A B对上式全微分 由中误差式得 5 3误差传播定律 例5 3 设在三角形ABC中 直接观测 A和 B 其中误差分别为mA 3 和mB 4 试求由 A和 B计算 C时的中误差mC 观测值函数中误差公式汇总 算术平均值 线性函数 和差函数 倍数函数 一般函数 函数式函数的中误差 观测值函数中误差公式汇总 教材第120页表5 3 误差传播定律的应用 例2 试用中误差传播定律分析视距测量的精度 解 1 测量水平距离的精度基本公式 求全微分 水平距离中误差 其中 1弧度 180 3 14 3600秒 误差传播定律的应用 例2 试用中误差传播定律分析视距测量的精度 解 2 测量高差的精度基本公式 求全微分 高差中误差 其中 误差传播定律的应用 例3 1 用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差 解 1 周长 面积 周长的中误差为 全微分 面积的中误差为 全微分 解 例3 2 用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中 求该正方形的周长S和面积A的中误差 2 周长 周长的中误差为 面积 得面积的中误差为 全微分 由于 代入上式得 CompanyLogo 5 4等精度直接观测平差 CompanyLogo 5 4 1求最或是值 实际工作中 对某一未知量进行观测 由于未知量的真值绝大多数是无法确知的 只有通过多次重复观测才能从观测值中求取未知量的最接近该量真值的近似值 称为观测值的最可靠值或观测值的最或然值 对一个未知量进行重复观测 属等精度独立观测 未知量观测值的算术平均值是该未知量的最可靠值 为什么 CompanyLogo 设观测量的真值为X 观测值为li 则观测值的真误差为 将上式内各式两边相加 并除以n 得 二 算术平均值 5 4 1求最或是值 将上式两边取极限 得 CompanyLogo 根据偶然误差的特性 当观测次数n无限增大时 则有 算术平均值较观测值更接近于真值 将最接近于真值的算术平均值称为最或然值或最可靠值 5 4 1求最或是值 CompanyLogo 5 4 2精度评定 根据上式计算中误差m 需要知道观测值的真误差 但是 真误差往往是不知道的 在实际应用中 多利用算术平均值与观测值之差 称为观测值的改正数v 似真误差 来计算中误差 接下来 推导由观测值的改正数求取观测值的中误差m的计算公式 1 观测值的中误差 CompanyLogo 观测量的算术平均值与观测值之差 称为观测值改正数 用v表示 当观测次数为n时 有 将 式内各式两边相加 得 将 代入上式 得 对于等精度观测 观测值改正数的总和为零 1 观测值的中误差 1 2 CompanyLogo 1 观测值的中误差 1 2 将 式两边对应相加 得 设L X 代入上式 并移项得 CompanyLogo 1 观测值的中误差 将上式分别自乘 然后求和 得 因 v 0 得 两边各除以n 得 CompanyLogo 1 观测值的中误差 又有 因而 由于 1 2 n是彼此独立的偶然误差 所以 1 2 1 3 也具有偶然误差的特性 当n 时 上式等号右边第二项应趋于零 得 CompanyLogo 1 观测值的中误差 将此式 代入 得 根据中误差的定义 上式可写为 CompanyLogo 由观测值改正数计算观测值中误差 白塞尔公式 1 观测值的中误差 CompanyLogo 例 根据下表中的观测值数据 计算该组观测数据的中误差 1 观测值的中误差 2 最或是值的中误差 由于x是线性函数 根据中误差传播公式 3 算术平均值的中误差式 例5 7 设用经纬仪测量某个角度6测回 观测值列于下表中 试求观测值的中误差及算术平均值的中误差 解 观测值的中误差 算术平均值的中误差 练一练 教材第133页复习思考题第3题 2 4 第4题 9 10 第6题 1 2 3 4 5 5不等精度直接观测平差 自学 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 5 5 1权的概念权是权衡利弊 权衡轻重的意思 在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标 表示不等精度观测可靠程度的指标 权 用P表示 在一定的观测条件下 必然对应一定的误差分布 同时也对应着一个确定的中误差 对不同精度的观测值来说 中误差越小 精度越高 观测结果也就越可靠 而将这种可靠程度用数字表示称之为权 可靠程度越高则其权值越大 所以可以用中误差来定义其权 设一组不同精度的观测值为li 其中误差为mi I 1 2 n 选定任一大于零的常数C 则定义权为 称Pi为观测值Ci的权 对于一组已知中误差mi的观测值而言 选定一个大于零的常数C值 就有一组对应的权 由此可得各观测值权之间的比例关系 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 权的性质 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 权与中误差均是用来衡量观测值精度的指示 但中误差是绝对性数值 表示观测值的绝对精度 权是相对性数值 表示观测值的相对精度 权与中误差的平方成反比 中误差越小 其权越大 表示观测值越可靠 精度越高 由于权是一个相对数值 对于单一观测值而言 权无意义 权衡取正值 权的大小是随C值的不同而异 但其比例关系不变 在同一问题中只能选定一个C值 否则就破坏了权之间的比例关系 可以是同一个量的观测中误差 也可以是不同量的观测中误差 即权可以反映同一量的若干个观测值之间的精度高低 也可以反映不同量的观测值之间的精度高低 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 解 由题意可得 若取 则若取C 36 则可见选择适当的C值 可使权成为便于计算的数值 1 设以不等精度观测某角度 各观测值的中误差分别为 求各观测值的权 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 5 5 2单位权与单位权中误差对于一组不同精度的观测值li 一次观测的中误差为mi 设某次观测的中误差为m 其权为P0 选定C m2 则有 数值等于1的权 称为单位权 权等于1的中误差称为单位权中误差 常用 表示 对于中误差为mi的观测值 其权为 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 5 5 3实用定权方法1 水准测量权的确定由n条不等精度的水准路线测定E点的高程 1 每站观测精度相同2 每条线路站数不同3 线路高差中误差与测站数的关系为 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 则各路线高差观测值的权可写为 L为可以选定的常数 单位权中误差观测站数 ni为第i条水准路线上的测站数 当各测站观测高差的精度相同时 水准路线观测高差的权与测站数成反比 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 例 右图表示有一个结点的水准网 网中水准点A B C的高程为已知 由三条同一等级的水准路线来测定E点高程 设三个观测高差为h1 h2 h3 相应的各观测高差的测站数为 n1 50 n2 25 n3 40 试确定这三条水准路线的权 解 可令L 100 即当n 100时 就是选择100个测站的观测高差的权为单位权 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 在水准测量中 也可以按水准路线的长度定权 因为是同一等级测设 所以每公里水准测量的中误差都是 则观测高差的中误差为 同理得 L为可以选定的常数 单位权中误差水准路线长度 Si为第i条水准路线长度 当每公里水准测量的精度相同时 水准路线观测高差的权与路线长度成反比 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 如上例已知各观测路线长度为 S1 4km S2 2km S3 3km 试确定这三条水准路线的权 可令L 10 即当S 10时 就是选择水准路线长为10公里的观测高差为单位权观测 它的权为单位权 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 注 在水准测量中 可以用距离或测站数来定权 但是必须注意前者要求每公里观测精度相同 后者要求每测站的精度相同 一般来说 在起伏不大的地区 每公里测站数相仿 可按距离来定权 而在起伏较大的地区 每公里测站数相差较大 则按测站数来定权 例 设对某角作三组同精度观测 第一组测4测回 其算术平均值为 第二组测6测回 其算术平均值为 第三组测8测回 其算术平均值为 求 的权 2 角度测量权的确定设对同一角度进行测量1 每测回观测精度相同m 2 对该角度进行k组观测 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 解 算术平均值的中误差为 m为观测值中误差 ni为参与求算术平均值的观测值个数 即测回数 也就是说 以c 个观测值的算术平均值作为单位权观测值 则上式为 得算术平均值的权为 由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值 其权与观测值个数成正比 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 上例令c 2 即以两个测回平均值为单位权观测值 则 3 距离丈量时权的确定丈量了n段距离1 单位距离丈量的精度相同 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 例 按同精度丈量三条边长 得 S1 3km S2 4km S3 6km 试定这三条边长的权 解 因为是同精度丈量 所以每公里的丈量精度是相同的 设为mkm 得三条边长的丈量的精度为 得各条边长丈量的权为 则上式为 设l 4 则 l为可以选定的常数 单位权中误差丈量距离 同精度丈量时 边长的权与边长成反比 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 对同一未知量进行了n次不等精度观测 观测值为其相应的权为则加权平均值为不等精度观测值的最或是值 计算公式可写成 或 校核计算式为 其中为观测值的改正数 5 5 4加权平均值及其中误差 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 当观测次数为n时 有 将 式内各式两边相加 得 将 代入 式 得 将 式内各式两边乘以各自的权pi 得 的中误差 式中 的中误差为 由式a根据误差传播定律 可得 下面计算加权平均值的中误差 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 所以 有 由 当n足够大时 mi可用 i代替 即可得单位权中误差m0为 有 来计算中误差 实际上常用观测值的改正数 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 例 在水准测量中 从三个已知高程点A B C出发测得E点的三个高程观测值及各水准路线的长度 求E点高程的最或是值及其中误差 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 解 不等精度直接观测平差计算 解 取路线长度的倒数乘以常数C为观测值的权 并令C 1 计算在表中进行 根据式 5 22 E点高程的最或是值为 根据式 5 27 加权平均值的中误差为 5 5不等精度观测的最可靠值及中误差 CompanyLogo 1 按获得观测者的方式 观测值之间的关系 观测值的可靠度可将观测分为直接观测与间接观测 独立观测与相关观测 必要观测与多余观测和等精度观测与不等精度观测四个类型 2 测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类 偶然误差具有以下四个特性 有限性 聚中性 对称性 抵消性 本章小结 CompanyLogo 3 中国采用中误差作为评定观测精度的标准 对于观测次数较少的测量工作 多数采用2倍中误差作为极限误差 对于某些观测成果 用中误差还不能完全判断观测精度的优劣 为了能客观反映实际精度 通常用相对误差来表示边长观测值的精度 4 在观测中有一些未知量不能直接测定 但与观测值有一定的函数关系 通过间接求得建立独立观测中误差与观测值函数中误差之间的函数关系式 测量中称为误差传播定律 本章小结 CompanyLogo 1 偶然误差具有四个特性 分别是 有限性聚中性对称性抵消性 2 在等精度观测中 取做为观测值的最可靠值 设观测值中误差为m 观测次数为n 则最可靠值的中误差为 3 误差传播定律描述了和之间的关系 一 填空题 算术平均值 观测值观测值函数 CompanyLogo 二 计算题 1 在相同的观测条件下 对某段距离测量了五次 各次长度分别为 121 314m 121 330m 121 320m 121 327m 121 335m 试求 1 该距离算术平均值 2 距离观测值的中误差 3 算术平均值的中误差 4 距离的相对误差 解 1 算术平均值L 121 325m 2 观测值的中误差m vv n 1 1 2 0 0083m 3 算术平均值的中误差mL vv n n 1 1 2 0 0037m 4 距离的相对误差为 mL L 1 32685 解 1 算术平均值 2 距离观测值中误差 CompanyLogo 解 3 算术平均值的中误差 4 距离的相对误差 CompanyLogo CompanyLogo 2 用30m钢尺丈量120m距离 共分4个尺段进行丈量 若每尺段丈量中误差为3mm 问全长120m中误差是多少 解 根据公式得 二 计算