数列通项公式方法总结.doc

数列通项公式方法总结导语：数列既是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，因此，每年高考对本章内容均作较全面的考查，而且经常是以综合题、主观题的形式出现，难度较大，以下是小编整理数列通项公式方法总结的资料，欢迎阅读参考。不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。一、已知数列的前几项已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。例1、求数列的通项公式（1）0，221/3，321/4，421/5（2）9，99，999，分析：（1）0=121/2，每一项的分子是项数的平方减去1，分母是项数加上1，n21/n1n1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，易知ann1。（2）各项可拆成10-1，102-1，103-1，an10n1。此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。二、已知数列的前n项和Sn已知数列的前n项和Sn，求通项公式an，主要通过an与Sn的关系转化，即an - S1（n1） Sn -Sn1（n2）例2、已知数列an 的前n项和Sn=2n+3，求an分析：Sn=a1+a2 +an1+anSn1a1+a2 +an1上两式相减得 Sn -Sn1=an解：当n=1时，a1=S1=5当n2时，an =Sn -Sn1=2n+3-（2n1+3）=2n1n=1不适合上式an =5（n=1） 2n1（n2）三、已知an与Sn关系已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。（1）an=an1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。例3、已知数列an，满足a1=3，an=an1+8，求an。分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。（2）an=kan1（k为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。例4、数列an的前n项和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（nN+）求数列an的通项公式。分析：根据an与Sn的关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1的关系。解：由an+1=2Sn+1得an=2Sn-1+1（n2）两式相减，得an+1-an=2anan+1=3an （n2）a2=2Sn+1=3a2=3a1an是以1为首项，3为公比的等比数列an=3n-1（3）an+1=an+f（n），用叠加法思路：令n=1，2，3，n-1得a2=a1+f（1）a3=a2+f（2）a4=a3+f（3）+）an=an1+f（n-1）an=a1+f（1）+f（2）+f（n-1）例5、若数列an满足a1=2，an+1=an+2n则an的通项公式=（ ）解：an+1=an+2na2 =a1+21a3=a2+22a4=a3+23+）an=an1+2（n-1）an=a1+2（1+2+3+n-1）=2+2（1+n-1）（n-1）=n2-n+2（4）an+1=f（n）an，用累积法思路：令n=1，2，3，n-1得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3）an=f（n-1）an-1an=a1f（1）f（2）f（3）f（n-1）例6、若数列an满足a1=1，an+1=2n+an，则an=（ ）解：an+1=2nan a2 =21a1a3=22a2 a4=23a3） an=2n1an1an=222232n-1a1=2n（n-1）/2（5）an=pan1+q， an=pan1+f（n）an+1=an+pqn（pq0），an=p（an1）q， an+1=ran/pan+q=（pr0，qr）（p、q、r为常数）这些类型均可用构造法或迭代法。an=pan1+q （p、q为常数）构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。将关系式两边都加上x得an+x=Pan1+q+x=P（an1 + q+x/p）令x=q+x/p，得x=q/p-1an+q/p-1=P（an1+q/p-1）an+q/p-1是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1迭代法：an=p（an1+q）=p（pan-2+q）+q=p2（pan-3+q）+pq+q例7、数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-n（nN+）求an解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1） （n2,nN+）两式相减得an=2an-1+1两边加1得an+1=2（an-1+1） （n2，nN+）构造成以2为公比的等比数列an+1an=Pan-1+f（n）例8、数列an中，a1为常数，且an=-2an-1+3n-1（2，nN）证明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n32n-1/5分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。方法一：构造公比为-2的等比数列an+3n用比较系数法可求得=-1/5方法二：构造等差型数列an/（-2）n。由已知两边同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3（-3/2）n，用叠加法处理。方法三：迭代法。an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1=（-2）2an-2+（-2）3n-2+3n-1=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）3n-2+3n-1=（-2）3an-3+（-2）3n-3+（-2）3n-2+3n-1=（-2）n-1a1+（-2）n-13+（-2）n-3+32+（-2）3n-2+3n-1=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-232n-1/5an+1=an+pqn（pq0）（）当=qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列an/qn。例9、在数列an中，a1=4，an+1+2n+1，求an。分析：在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1an/2n是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。（）当q时，等式两边同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2令an/2n=bn则bn=3/2bn-1+1/2an=p（an1）q（p、q为常数）例11、已知an=1/a an12，首项a1，求an。方法一：将已知两边取对数得lgan=2lgan1-lga令bn=lgan得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。方法二：迭代法an=1/a a2n1=1/a （1/a a2n2）2=1/a3 a4n2=1/a3 （1/a a2n3）4=1/a7an38=a（an3/a）23=a（a1/a）2n1an+1=ran/pan+q（p、q、r为常数，pr0，qr）将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r1/an+p/r，再构造成等比数列求an。例12、在an中，a1=1，an+1=an/an+2，求an解：an+1=an/an+21/an+1=21/an+1两边加上1，得1/a