高等代数(北大版第三版)习题答案III (1).pdf

高等代数 北大高等代数 北大 第三版 第三版 答案答案 目录 第一章第一章 多项式多项式 第二章第二章 行列式行列式 第三章第三章 线性方程组线性方程组 第四章第四章 矩阵矩阵 第五章第五章 二次型二次型 第六章第六章 线性空间线性空间 第七章第七章 线性变换线性变换 第八章第八章 矩阵矩阵 第九章第九章 欧氏空间欧氏空间 第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 注 注 答案分三部分 该为第该为第三三部分部分 其他请搜索 谢 谢 第九章第九章 欧氏空间欧氏空间 1 设 ij a 是一个n阶正定矩阵 而 21n xxx 21n yyy 在 n R中定义内积 1 证明在这个定义之下 n R成一欧氏空间 2 求单位向量 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 n 的度量矩阵 3 具体写出这个空间中的柯西 布湿柯夫斯基不等式 解 1 易见 是 n R上的一个二元实函数 且 1 2 kkkk 3 4 ji jiij yxa 由于 A 是正定矩阵 因此 ji jiij yxa 是正定而次型 从而 0 且仅当 0 时有 0 2 设单位向量 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 n 的度量矩阵为 ij bB 则 0 1 0 i jiij b nnnn n n aaa aaa aaa 21 22222 11211 0 1 0 j ij a 2 1 nji 因此有B A 4 由定义 知 ji jiij yxa ijij i j a x x ijij i j a y y 故柯西 布湿柯夫斯基不等式为 2 在 4 R中 求 之间 内积按通常定义 设 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 1 5 1 3 3 2 1 1 1 0 1 2 3 解 1 由定义 得 012 1 32112 所以 2 2 因为 1813521231 1833222211 3633221133 2 2 3618 18 cos 所以 4 3 同理可得 3 17 3 77 3 cos ijijijijijij i ji ji j a x ya x xa y y 所以 77 3 cos 1 3 d 通常为 的距离 证明 ddd 证 由距离的定义及三角不等式可得 d dd 4 在 R 4 中求一单位向量与 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 正交 解 设 4321 xxxx 与三个已知向量分别正交 得方程组 032 0 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 因为方程组的系数矩阵 A 的秩为 3 所以可令 x3 0 41 4213 xxx 即 3 1 0 4 再将其单位化 则 3 1 0 4 26 11 a 即为所求 5 设 n 21 是欧氏空间 V 的一组基 证明 1 如果V 使 2 10 ni i 那么0 2 如果V 21 使对任一V 有 21 那么 21 证 1 因为 n 21 为欧氏空间 V 的一组基 且对V 有 n i 2 10 所以可设 nn kkk 2211 且有 nn nn kkk kkk 2211 2211 即证0 2 由题设 对任一V 总有 211 特别对基 i 也有 ii 211 或者 ni i 2 10 21 再由 1 可得0 21 即证 21 6 设 3 2 1 是三维欧氏空间中一组标准正交基 证明 3213 3212 3211 22 3 1 22 3 1 22 3 1 也是一组标准正交基 证 因为 32132121 22 22 9 1 332211 2 22 2 9 1 0 2 2 4 9 1 同理可得 0 3231 另一方面 32132111 22 22 9 1 332211 4 4 9 1 1 144 9 1 同理可得 1 3322 即证 321 也是三维欧氏空间中的一组标准正交基 7 设 54321 也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基 3221 LV 其中 511 4212 3213 2 求 1 V 的一组标准正交基 解 首先证明 321 线性无关 事实上 由 001 010 100 110 211 54321321 其中 001 010 100 110 211 A的秩为 3 所以 321 线性无关 将正交化 可得 5111 11 22 22 5421 2 1 2 1 单位化 有 2 2 511 22 10 10 54212 2 1 53213 则 321 为 1 V 的标准正交基 8 求齐次线性方程组 0 032 5321 54321 xxxx xxxxx 的解空间 作为 5 R的子空间 的一组标准正交基 解 由 3215 32154 23 xxxx xxxxx 可得基础解系为 1 5 0 0 1 1 1 4 0 1 0 2 1 4 1 0 0 3 它就是所求解空间的一组基 将其正交化 可得 1 5 0 0 1 11 2 1 0 9 7 9 1 1 11 12 22 2 1 15 6 7 15 1 2 22 23 1 11 13 33 再将 321 单位化 可得 1 5 0 0 1 33 1 1 2 1 0 9 7 153 1 2 2 1 15 6 7 353 1 3 则 321 就是所求解空间的一组标准正交基 9 在 R X 4 中定义内积为 f g dxxgxf 1 1 求 R X 4 的一组标准正交基 由基 1 32 出发作正交化 解 取 R X 4的一组基为 1 3 4 2 321 xxx 将其正交化 可得1 11 x 1 11 12 22 其中 01 1 112 dxx 又因为 3 2 2 1 12213 dxx 211 1 111 dx 0 2 1 123 xdxx 所以 3 1 2 2 22 23 1 11 13 33 x 同理可得xx 5 3 3 3 33 34 2 22 24 1 11 14 44 再将 4321 单位化 即得 2 21 1 1 1 x2 61 2 2 2 13 4 10 2 3 x 35 4 14 3 4 xx 则 4321 即为所求的一组标准正交基 10 设 V 是一 n 维欧氏空间 0 是 V 中一固定向量 1 证明 V 0 1 Vxaxx 是 V 的一个子空间 2 证明 V1的维数等于 n 1 证 1 由于 0 0 1 V 因而 V1非空 下面证明 V1对两种运算封闭 事实上 任取 121 Vxx 则有 0 21 xx 于是又有 0 2121 xxxx 所以 121 xxV 另一方面 也有 0 11 xkkx 即 11 kxV 故 V1是 V 的 一个子空间 2 因为0 是线性无关的 可将其扩充为 V 的一组正交基 2 n 且 0 i 3 2ni 1 2 3 i V in 下面只要证明 对任意的 1 V 可以由 n 32 线性表出 则 1 V的维数就是1 n 事实上 对任意的 1 V 都有V 于是有线性关系 nn kkk 221 且 221 nn kkk 但有假设知 2 1 0 ni i 所以0 1 k 又因为0 故0 1 k 从而有 nn kk 22 再由 的任意性 即证 11 1 证明 欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的 2 利用上述结果证明 任一欧氏空间都存在标准正交基 证 1 设 n 21 与 n 21 是欧氏空间V的两组不同基 它们对应的度量矩阵 分别是 ij aA 和 ij bB 另外 设 n 21 到 n 21 的过渡矩阵为 ij cC 即 nnnnnn nn ccc ccc 2211 12121111 1111nnjjnniijiij ccccb n k nnjjkki ccc 1 11 n k n s sksjkic c 11 n k n s kssikic c 11 另一方面 令 ijij eDCACCdACD 则 D 的元素为 n k kskiis cd 1 故ACC 的元素 n s n n ijsjkski n s sjisij njibcccde 111 2 1 即证BACC 再由 2121nn 皆为 V 的基 所以 C 非退化 从而 B 与 A 合同 2 在欧氏空间 V 中 任取一组基 n 21 它的度量矩阵为 ij aA 其中 ijij 且度量矩阵 A 是正定的 又因为正定矩阵与单位矩阵合同 即ACCE 于是只要 C nn 2121 则由上面 1 可知基 n 21 的度量矩阵为 E 这就是说 n 21 就是所求的 标准正交基 12 设 n 21 是n维 欧 氏 空 间V中 的 一 组 向 量 而 11121 21222 12 m m mmmm 证明 当且仅当0 时 m 21 线性无关 证 设有线性关系 0 2211 mm kkk 将其分别与 i 取内积 可得方程组 2 1 0 2211 mikkk mimii 由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于 0 即证 13 证明 上三角的正交矩阵必为对角矩阵 且对角线上元素为 1 或 1 证 设 nn n n a aa aqa A 222 11211 为上三角矩阵 则 nn n n b bb bbb A 222 11211 1 也是上三 角矩阵 由于 A 是正交阵 所以 1 AA 即 nn n n nnnn b bb bbb aaa aa a A 222 11211 21 2212 11 所以 0jiaij 因而 nn a a a A 22 11 为对角阵 再由 EAA 知1 2 ii a 即证1 ii a或 1 14 1 设 A 为一个 n 阶矩阵 且0 A 证明 A 可以分解成 A QT 其中 Q 是正交矩阵 T 是一上三角矩阵 nn n n t tt ttt T 222 11211 且 2 1 0nitii 并证明这个分解是唯一的 2 设 A 是 n 阶正交矩阵 证明存在一上三角矩阵 T 使 TTA 证 1 设 A 的 n 个列向量是 21n aaa 由于0A 因此 n aaa 21 是线性无关的 从 而它们也是 V 的一组基 将其正交单位化 可得一组标准正交基为 n n n n nn n n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 12 2 2 1 1 1 其中 111 11222 11 nnnnnn nnnnnn ttt tt t 2211 2221122 1111 其中 2 1 0nit iii 即 nn n n nn t tt ttt A 222 11211 2121 令 nn n t tt T 111 则 T 是上三角矩阵 且主对角线元素0 ii t 另一方面 由于 i 是 n 维列向量 不妨记为 2 1 2 1 ni b b b ni i i i 且令 21 1 111 n nnn n bb bb Q 则有QTA 由于 n 21 是一组标准正交基 故Q是正交矩阵 再证唯一性 设QTTQA 11 是两种分解 其中 1 QQ是正交矩阵 1 TT是主对角线元素 大于零的上三角阵 则 1 1 1 1 TTQQ 由于 1 1 1 1 TTQQ从而是正交矩阵也是正交矩阵 且 1 1 TT为上三角阵 因此 1 1 TT是主对角线元为 1 或 1 的对角阵 但是 1 TT与的主对角 线元大于零 所以 1 1 TT的主对角线元只能是 1 故ETT 1 1 即证TT 1 进而有 1 QQ 从而分解是唯一的 2 因为A是正定的 所以A与E合同 即存在可逆阵C使CCA 再由 1 知QTC 其 中Q是正交矩阵T为三角阵 所以TTQTQTA 15 设 是欧氏空间中一单位向量 定义 2 A 证明 1 A是正交变换 这样的正交变换称为镜面反射 2 A是第二类的 3 如果n维欧氏空间中正交变换A以 1 作为一个特征值 且属于特征值 1 的特征子空间 1 V的维数为1 n 那么A是镜面反射 证 1 有 2 212121 kkkkkkA AkAkkkkk 212121 2 2 所以A是线性变换 又因为 2 2 AA 4 2 2 注意到1 故 AA 此即A是正交变换 2 由于 是单位向量 将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基 n 2 则 3 2 2 2 niA A iiii 即 1 1 1 22 nn A 所以A是第二类的 3 A的特征值有n个 由已知A有1 n个特征值为 1 另一个不妨设为 0 则存在 一组基 n 21 使 1 1 0 2121 nn A 因为A是正交变换 所以 11 2 01111 AA 但0 0 所以1 0 于是 3 2 0 3 2 1 11 ni niAA ii 现令 1 1 1 则 是单位向量 且与 n 2 正交 则 n 2 为欧氏空间 V 的 一组基 又因为 nn kkk AAA 221 1 1 1 1 1 1 11 1 nnnn kkkAkAkAkA 221221 1221 kkkk nn 所以 nn kkk 221 2 即证 16 证明 反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数 证 设 是属于特征值 的特征向量 即 A 则 AAAAA 于是 令abi 可得0 a 即证bi 17 求正交矩阵T使ATT 成对角形 其中A为 1 020 212 022 2 542 452 222 3 0041 0014 4100 1400 4 1333 3133 3313 3331 5 1111 1111 1111 1111 解 1 由 241 20 212 022 AE 可得 A 的特征值为2 4 1 321 对应的特征向量为 2 2 1 1 2 2 2 1 2 321 将其正交单位化 可得标准正交基为 3 2 3 1 3 2 1 3 1 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 1 3 故所求正交矩阵为 212 221 122 3 1 T且 2 4 1 AT T 2 由 101 542 452 222 2 AE 可得 A 的特征值为10 1 321 10 3 的特征向量为 1 2 1 1 12 1 的特征向量为 0 1 2 2 1 1 2 3 正交化 可得 1 5 4 5 2 0 1 2 2 2 1 321 再单位化 有 5 4 2 53 1 0 1 2 5 1 2 2 1 3 1 321 于是所求正交矩阵为 53 5 0 3 2 53 4 5 1 3 2 53 2 5 2 3 1 T且 1 1 10 ATT 3 由 3355 041 014 410 140 AE 可得 A 的特征值为3 3 5 5 4321 相应的特征向量为 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 43 将其正交单位化 可得标准正交基为 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 43 故所求正交矩阵为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 T且 3 3 5 5 AT T 4 由 84 1333 3133 3313 3331 3 AE 可得 A 的特征值为4 8 4321 相应的特征向量为 0 0 1 1 1 1 1 1 21 1 0 0 1 0 1 0 1 43 正交化后得 0 0 1 1 11 1 1 21 1 3 1 3 1 3 1 0 1 2 1 2 1 43 再单位化 可得 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 32 3 32 1 32 1 32 1 0 6 2 6 1 6 1 43 故所求正交矩阵为 32 3 00 2 1 32 1 6 2 0 2 1 32 1 6 1 2 1 2 1 32 1 6 1 2 1 2 1 T且 4 4 4 8 AT T 5 由 4 1111 1111 1111 1111 3 AE 可得A的特征值为0 4 4321 相应的特征向量为 0 0 1 1 1 1 1 1 21 1 0 0 1 0 1 0 1 43 将其正交化 可得 0 0 1 1 1 1 1 1 21 1 3 1 3 1 3 1 0 1 2 1 2 1 43 再单位化后 有 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 32 3 32 1 32 1 32 1 0 6 2 6 1 6 1 43 故所求正交矩阵为 32 3 00 2 1 32 1 6 2 0 2 1 32 1 6 1 2 1 2 1 32 1 6 1 2 1 2 1 T且 0 0 0 8 AT T 18 用正交线性替换化下列二次型为标准形 1 3221 2 3 2 2 2 1 4432xxxxxxx 2 323121 2 3 2 2 2 1 84422xxxxxxxx 3 4321 22xxxx 4 434232413121 2 4 2 3 2 2 2 1 264462xxxxxxxxxxxxxxxx 解 1 设原二次型对应的矩阵为 A 则 320 222 021 A 且 A 的特征多项式为 5 1 2 AE 特征值为 5 1 2 321 相应的特征向量为 1 2 2 2 1 2 21 2 2 1 3 单位化后 有 2 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 1 2 3 1 321 令 X TY 其中 212 221 122 3 1 T 则 2 3 2 2 2 1 52 yyyAXX 2 原二次型对应的矩阵为 242 422 221 A 且 A 的特征多项式为 2 2 7 AE 特征值为 2 7 321 相应的特征向量为 1 0 2 0 1 2 2 2 1 321 正交化 可得 1 5 4 5 2 0 1 2 2 2 1 321 再单位化 有 53 5 53 4 53 2 0 5 1 5 2 3 2 3 2 3 1 321 令 X TY 其中 53 5 0 3 2 53 4 5 1 3 2 53 2 5 2 3 1 T 则 2 3 2 2 2 1 227yyyAXX 3 原二次型对应的矩阵为 0100 1000 0001 0010 A 且 A 的特征多项式为 22 1 1 AE 特征值为 1 1 4321 相应的特征向量为 1 1 0 0 0 0 1 1 21 1 1 0 0 0 0 1 1 43 标准正交基为 1 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 1 1 2 1 43 令 X TY 其中 1010 1010 0101 0101 2 1 T 则 2 4 2 3 2 2 2 1 yyyyAXX 4 原二次型对应的矩阵为 1132 1123 3211 2311 A 且 A 的特征多项式为 7 3 1 1 AE 特征值为 3 1 7 1 4321 相应的特征向量为 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 43 标准正交基为 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 21 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 43 令 X XY 其中 1111 1111 1111 1111 2 1 T 故 2 4 2 3 2 2 2 1 37yyyyAXX 19 设 A 是 n 级实对称矩阵 证明 A 正定的充分必要条件是 A 的特征多项式的根全大于零 证明 二次型AXX 经过正交变换 X TY 可使 22 22 2 11 n ny yyAXX 其中 n 21 为 A 的特征根 由于 A 为正定的充分必要条件是上式右端的二次型为正 定 而后者为正定的充分必要条件是0 1 2 iin 即证 20 设 A 是 n 级实矩阵 证明 存在正交矩阵 T 使ATT 为三角矩阵的充分必要条件是 A 的 特征多项式的根是实的 证明 为确定起见 这里三角矩阵不妨设为上三角矩阵 先证必要性 设 nn n n c cc ccc ATT 222 11211 其中 T A 均为实矩阵 从而 ij c都是实数 又因为相似矩阵有相同的特征多项式 所以 2211 222 11211 1 nn nn n n ccc c cc ccc ATTEAE 从而 A 的 n 个特征根 nn ccc 1211 均为实数 再证充分性 设 s 21 为 A 的所有不同的实特征根 则 A 与某一若尔当形矩阵 J 相似 即存在可逆实矩阵 0 P 使 JAPP 0 1 0 其中 S J J J 1 而 2 1 1 1 1 siJ i i i i i 由于 i 都是实数 所以 J 为上三角实矩阵 另一方面 矩阵 0 P可以分解为 000 STP 其中 0 T是正交矩阵 0 S为上三角矩阵 于是 JSATTSAPP 00 1 0 1 00 1 0 即 1 000 1 0 JSSATT 由于 1 00 SJS都是上三角矩阵 因而它们的乘积也为上三角矩阵 即证充分性 21 设 A B 都是上三角实对称矩阵 证明 存在正交矩阵 T 使BATT 1 的充分必要 条件是 A B 的特征多项式的根全部相同 证明 必要性是显然的 因为相似矩阵有相同的特征值 现证充分性 设 n 21 是 A 的特征根 则它们也是 B 的特征根 于是存在正交 矩阵 X 和 Y 使 BYYAXX 1 4 1 1 所以 YX 1 AXY 1 B 令 T XY 1 则 T 也是正交矩阵 从而 T 1 AT B 即 证 22 设 A 是 n 级实对称矩阵 且 A 2 A 证明 存在正交矩阵 T 使得 T 1 AT 0 0 1 1 1 证 设 是 A 的任一特征值 是属于 的特征向量 则 A A 2 A A 2 由于 A 2 A 2 2 0 又因为0 所以 2 0 即得 1 0 2 1 换句话说 A 的特征值不是 1 就是 0 故存在正交矩阵 T 使 T 1 AT 0 0 1 1 1 上式中 对角线元素中 1 的个数为 A 的特征值 1 的个数 0 的个数是 A 的特征值 0 的个数 23 证明 如果 是 n 维欧氏空间的一个正交变换 那么 的不变子空间的正交补也是的 不变子空间 证 设 W 是 的任意一个不变子空间 现证 W 也是 的不变子空间 任取 W 下证 W 取 1 2 m是 W 的一组标准正交基 再扩 充成 V 的一组标准正交基为 1 2 m 1 m n 则 W L 1 2 m W L 1 m n 因为 是正交变换 所以 1 2 n也是一组标准正交基 由于 W 是 子空间 1 2 m W 且为的一组标准正交基 于是 1 m n W 所以 k 1 m 1 m kn n W 24 欧氏空间 V 中的线性变换 称为反对称的 如果对任意 V 有 证明 1 为反对称的充分必要条件是 在一组标准正交基下的矩阵 为反对称的 2 如果 V1是反对称线性变换的不变子空间 则 V1 也是 证 1 必要性 设 是反对称的 1 2 n是一组标准正交基 则 i k1 i 1 k 2i 2 kin n I 1 2 n i j k ij j i kji 由反对称知 i j i j k ij kji 从而 2 1 0 nji jik ji k ji ij 时当 时当 故 1 2 n 1 2 n 0 0 0 21 212 112 nn n n kk kk kk 1 2 n 充分性 设 在标准正交基 1 2 下的矩阵为 有已知 有 i j i j 对任意 V 设 1 a 1nn a 1 b nn b 则 nnnn bbAaAa 1111 ji jiji AAba 同理 ji jiji AbaA 故 所以 是反对称的 2 任取 V1 可证 V1 即 V 1 事实上 任取 V1 由于 V1是 子空间 因此 1 V 而 V1 故 0 再由题设 是反对称的 知 0 由 的任意性 即证 V 1 从而 V1 也是 A 子空间 25 证明 向量 V1是向量 在子空间 V 1 上的内射影的充分必要条件是 对任意 1 V 有 证 必要性 设 V1是 在 V 1 上的内射影 则 1 V 111 VVV 于是 有 1111 1 1 VV 充分性 设 那么是的内射影 由 必要性的证明知另一方面 由充分性假设 又有所以 11 11 111111 因为 1 11 1 0 由于 因此 从而换句话说 就是在上的内射影 26 设的两个子空间 证明 是欧氏空间VVV 21 2121 2121 VVVV VVVV 12121 1211 2121212 121212 121212 121 0 VVVVV VVVV VVVVVVV VVVVVV VVVV VVVV 证先证第一式设 即 对任意 有 于是 所以 同理可证从而 故 其次 任取 那么且即 任取 则 所以由 的任意性 有 2 从而 12121212 VVVVVVVV 即证得 再证第二式 用得换换 2211 VVVV 212121 VVVVVV 所以 2121 VVVV 27 求下列方程的最小二乘解 150 135 1 168 193 0 180 161 0 189 139 0 yx yx yx yx 用 到子空间距离最短的线是垂线 的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义 由此 列出方程并求解 用三位有效数字计算 解 令 1 1 1 1 50 135 1 68 193 0 80 161 0 89 139 0 21 B y x XaaA yx yx yx yx yaxaAXY 50 135 1 68 193 0 80 161 0 89 139 0 21 那么 到子空间距离最短的线是垂线 的意思就是 2 12 YBL a aBY 的值最小 因而最小二乘解的几何意义是在中求 的内射影 令 C B Y 由最小二乘法可得BAAXA 其中 884 114225 5 4225 52121 3 50 135 1 68 193 0 80 161 0 89 139 0 50 168 180 189 1 35 193 061 039 0 A A 87 6 28 3 1 1 1 1 50 168 180 189 1 35 193 061 039 0 B A 即 87 6884 114225 5 28 34225 52121 3 yx yx 解之得 49 0 20 0 y x 三 补充题参考三 补充题参考解解答答 1 证明 正交矩阵的实特征根为1 证 设 A 正交矩阵 A 是任一实特征值是 是 A 的对应于特征值 的特征向量 则 A 于是 2 AA 注意到 11 0 2 为实数 即证 又因为因而有 2 证明 奇数维欧氏空间中的旋转一定以 1 作为它的一个特征值 证 因为 A 是正交矩阵 fAnA的特征多项式为为奇数 设且 1 AE 则f AEAEAEAAAAAE n 11 f 1 即f 10 1EAA 故 是 的特征值 3 证明 第二类正交变换一定以 1 作为它的一个特征值 证 当 则的特征多项式为时 设 1AEfAA f 111 fAEAAEAEAAAE 即 f 10 1EAA 故是 的特征值 4 设有即对于保持内积不变如果证明的一个变换是欧氏空间 VV 那么它一定是线性的 因而它是正交变换 证 因为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 所以 0 故 又因为 2 2 2 kkkkk kkkkkkkk 0 2 222 kkk 所以 kk 即证 是线性变换由题设知保持内积不变 从而是正交变换 5 21 m 和证明存在一量组维欧氏空间中的两个向是 21 n m 的充分必要条件为使个正交变换mi ii 2 1 mji jiji 2 1 证 下证充分性 设若记 为的一个极大线性无关组 2121rm rrr r 1 111 则有 知再由充分性假设 0 jiji 0 1 111 rrr r 于是 1 2 线性无关 r 另一方面 因 无关组都可以由它的极大线性中的任一向量mi im 2 1 21 线性表出 即 r 21 mikkk rri 2 1 2211 于是 在 12 1 2 miijij im 中任取由 即知 0 22112211 rrirri kkkkkk 从而 1 t r t ti k 即证 1212 r m 是的一个极大线性无关组 再将且可得单位正交的向量组正交单位化 2121rr 且对角线元素都是正实为上三角矩阵其中 2121 TT rr 于是只要令数 T rr 2121 则由充分性假设 量组 也是一个单位正交的向 知 rjiji 21 组分别将单位正交的向量的维欧氏空间扩充为 和 Vn rr 2121 两组标准正交基 n 21 和 2 1n 则存在可逆线性变换 使 2 1 ni ii 且 21r T 21n 21r T nr 2121 21n 即 ii I 1 2 r 于是 2 1 mi i 由 r i tti 1 有 r i tti 1 故 ri 2211r rn 2211 i I 1 2 m 即证 6 是 n 级实对称矩阵 且 2 证明 存在正交矩阵 T 使得 r r 0 0 1 证 证法 1 因为 A 是 n 级实对称矩阵 所以存在 n 级矩阵Q 使 21 1 n diagQQ 其中 n 21 为 的 n 个特征值 重根按重数列出 于是 22 2 2 1 2121 1121 n nn diag diagdiagAQAQQQQAQ 又因为 2 所以 22 2 2 1 211 n diagQAQEQQ 因此有 i 1 I 1 2 n 不妨设 i 1 的重数为 r 则1 i 的重数为 n r 只要将 1 i 集中排列在前面 则有正交矩阵 T 使 rn r 0 0 1 证法 2 因为 n 级实对称矩阵 且 2 E 若令 g x 1 2 则 g x 为 A 的零多项式 且它无重根 故 A 相似于对角矩阵 设 为 A 的任一特征 值 则1 不妨设1 i 的重数为 n r 只要 将1 i 集中排列在前 面 则有正交矩阵 使 rn r 0 0 1 7 设 f n 21 AXX 是一实二次型 n 21 是 A 的特征多项式的根 且 n 21 证明 对任意一个 X n R 有 1n 证 存在正交矩阵 Q 使 21 n diagQQ 其中 n 21 为 的n个特征值 作正交变换 QY则实二次型可化为 22 22 2 11 21 nnn yyyAQYQYAXXxxxf 由题设有 n 2 于是 Y nnnn YyyyAXXyyyYY 22 2 2 1 22 2 2 11 1 且 YYQYQYXX 故 XXAXXXX n 1 8 设二次型 21n xxxf 对应的矩阵为A 是A的特征多项式的根 证明 存在 n R中的非零向量 21 n xxx 使的 f 21n xxx 22 2 2 1 n xxx 证 设 是矩阵 A 的特征值 则存在非零向量 使 其中 21 n xxx 于是有 f 21 n xxx 22 2 2 1 n xxx 即证 9 1 设 是欧氏空间中两个不同的单位向量 证明存在一镜面反射 使 2 证明 n 维欧氏空间中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积 证 1 记 n 维欧氏空间为 V 当 为欧氏空间为 V 的单位向量时 由 2 VA 所确定的正交变换 A 是一个镜面反射 代入单位向量 有 2 A 若记 2 则 2 因为 是欧氏空间中两个不同的 单位向量 所以0 故可解得 2 其中 1 2 1 2 即 1 2 1 2 于是只要取 12 就有 1 即 为欧氏空间V中的单位向量 从而 是一个镜面反射 且 2 2 设 是维欧氏空间V的任一正交变换 取V的一组标准正交基 1 2 n 则 1 1 2 2 n n 也是V的一组标准正交基 此时 若 nn 2211 则A是一个恒等变换 只要作镜面反射 2 111 VA 则有 3 2 1111 njAA jj 且 11A AA 结论成立 若 n 21 与 n 21 不全相同 不妨设 11 则 11 为两个不同的单位向量 由1 知 存 在 镜 面 反 射 1 A 使 111 A 令 3 2 1 njA jj 若 3 2 nj jj 则 1 AA 结论成立 否则可设 22 再作镜面反射 2 2 VA 其 中 1 2 22 22 则 22 A且 112 A 如此继续下去 设 n A n A n A n s 21221211 21 则 121 AAAAA ss 其中 2 1 sjAj 都是镜面反射 即证 10 设BA 是两个nn 实对称矩阵 且B是正定矩阵 证明 存在一个nn 实可逆矩阵T使 ATT 与BTT 同时为对角形 证 因为B是正定矩阵 所以存在一个n阶实对称矩阵C 使 EBCC 其中E为n阶单 位矩阵 又因为ACC 还是n阶实对称矩阵 所以也存在一个n阶正交矩阵Q 使 21n diagQACCQ 其中 n 21 为ACC 的特征值 于是 只要令 CQT 就有 21n diagQACCQATT 且 EQQQBCCQBTT 即证 11 证明 酉空间中两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵 证 设 n 1 与 n 21 分别为酉空间V中两组标准正交基 且 A aa aa n nnn n nn 1 21 1 111 2121 则 ji ji jiji 0 1 于是 2211221111nnjjjnniiinjniji aaaaaaaaaa ji ji ji 0 1 即 所以过渡矩阵 是酉矩阵 12 酉矩阵的特征值根的模为 1 证 因为酉矩阵 A 对应的变换是酉变换 设 的任一特征值是 是 的对应于 的 特征向量 则 注意到 0 因而有 1 即1 13 设 A 是一个 n 级可逆复矩阵 证明 可以分解成 A UT 其中 U 是酉矩阵 T 是一个上三角矩阵 T nn n n t tt ttt 00 0 222 11211 其中对角元素 2 1 nitii 都是正实数 并证明这中分解是唯一的 证 设 A 21n 其中 n 21 为 A 的列向量 则由 A 可逆知向 量组 n 21 线性无关 由施密特正交化方法 可得 1 1 11 112 22 11 n i i ii in nn 其中 2 1 ni i 单位化 可得 2 1 1 ni i i i 则 n 21 是一组正交基 从而 U n 21 为又酉矩阵 且可解得 UT t tt ttt nn n n nn 222 11211 2121 其中 T 为上三角矩阵 且 2 1 0nit iii 为正实数 再证分解的唯一性 设还有酉矩阵 1 U及对角线元素都是正实数的上三角形矩阵 1 T 使得 11T UA 则 11T UUTA 于是 1 11 1 TTUUB既是一个酉矩阵 又是一个上三 角形矩阵 从而B是对角矩阵 但B的对角线元素都是正实数 即 2 1 0 21 nibbbbdiagB in 再由B是酉矩阵 知B是单位矩阵 故 11 TTUU 即证 14 证明 埃尔米特矩阵的特征值是实数 并且它的属于不同特征值的特征向量相互正交 证 设 是埃尔米特矩阵A的任一特征值 是A的对应于 的特征向量 则有 AAA 于是 AA 因此有 AAA 即 0 但0 故 即证 为实数 另外 是A的任意两个不 同的特征值 分别为A的对应于 和 的特征向量 则有 AA 由 于 AA 因此 AA 但 故 0 即证A的属于不同特征值的特征向量相互正交 第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 1 设 V 是数域 P 上的一个三维线性空间 1 2 3是它的一组基 f 是 V 上的 一个线性函数 已知 f 1 3 1 f 2 2 3 1 f 1 2 3 求 f X1 1 X2 2 X3 3 解 因为 f 是 V 上线性函数 所以有 f 1 f 3 1 f 2 2 f 3 1 f 1 f 2 3 解此方程组可得 f 1 4 f 2 7 f 3 3 于是 f X1 1 X2 2 X3 3 X1 f 1 X2 f 2 X3 f 3 4 X1 7 X2 3 X3 2 设 V 及 1 2 3同上题 试找出一个线性函数 f 使 f 1 3 f 2 2 3 0 f 1 2 1 解 设 f 为所求 V 上的线性函数 则由题设有 f 1 f 3 0 f 2 2 f 3 0 f 1 f 2 1 解此方程组可得 f 1 1 f 2 2 f 3 1 于是 a V 当 a 在 V 的给定基 1 2 3下的坐标表示为 a X1 1 X2 2 X3 3时 就有 f a f X1 1 X2 2 X3 3 X1 f 1 X2 f 2 X3 f 3 X1 2 X2 X3 3 设 1 2 3是线性空间 V 的一组基 f1 f2 f3 是它的对偶基 令 1 1 3 2 1 2 3 3 2 3 试证 1 2 3 是 V 的一组基 并求它的对偶基 证 设 1 2 3 1 2 3 A 由已知 得 A 110 011 1 11 因为A 0 所以 1 2 3 是 V 的一组基 设 g1 g2 g3 是 1 2 3 得对偶基 则 g1 g2 g3 f1 f2 f3 A 1 f1 f2 f3 011 112 111 因此 g1 f2 f3 g2 f1 f2 f3 g3 f1 2f2 f3 4 设 V 是一个线性空间 f1 f2 fs 是 V 中非零向量 试证 V 使 fi 0 i 1 2 s 证 对 s 采用数学归纳法 当 s 1 时 f1 0 所以 V 使 fi 0 即当 s 1 时命题成立 假设当 s k 时命题成立 即 V 使 fi i 0 i 1 2 k 下面证明 s k 1 时命题成立 若 f 1k 0 则命题成立 若 f 1k 0 则由 f 1k 0 知 一定 V 使 f 1k b 设 fi di i 1 2 k 于是总可取数 c 0 使 ai cdi 0 i 1 2 k 令c 则 V 且 fi ai cdi 0 i 1 2 k f 1k cb 0 即证 5 设 1 2 s 是线性空间 V 中得非零向量 试证 fi i 0 i 1 2 s 证 因为 V 是数域 P 上得一个线性空间 V 是其对偶空间 若取定 V 中得一个非零向量 则可定义 V 的一个线性函数 如下 f f f V 且 是 V 的对偶空间 V 中的一个元素 于是 V 到其对偶空间的对偶空间 V 的 映射 是一个同构映射 又因为 1 2 s 是 V 中的非零向量 所以 1 2 s 对偶空间 V 的对偶空间 V 中的非零向量 从而由上题知 f V 使 f i i f 0 i 1 2 s 即证 6 设 V P x 3 对 P x C0 C1x C2x 2 V 定义 f1 p x 1 0 p x dx f2 p x 2 0 p x dx f3 p x 1 0 p x dx 试证 f1 f2 f3都是 V 上线性函数 并找出 V 的一组基 p1 x p2 x p3 x 使 f1 f2 f3是它的对偶基 证 先证是 V 上线性函数 即 f1 V 对 g x h x V k P 由定义有 f1 g x h x 1 0 g xh x dx 1 0 g x dx 1 0 h x dx f1 g x f1 h x f1 kg x 1 0 kg x dx k 1 0 g x dx k f1 g x 即证 f1 同理可证 f2 f3 V 再设 p1 x p2 x p3 x 为 V 的一组基 且 f1 f2 f3是它的对偶基 若记 P1 x C0 C1x C2x 2 则由定义可得 f1 p x 1 0 p x dx C0 1 2 C1 1 3 C2 1 f2 p x 2 0 p x dx 2C0 2C1 8 3 C2 0 f3 p x 1 0 p x dx C0 1 2 C1 1 3 C2 0 解此方程组得 C0 C1 1 C2 3 2 故 P1 x 1 x 3 2 x 2 同理可得 p2 x 1 6 1 2 x 2 p3 x 1 3 x 1 2 x 2 7 设 V 是个 n 维线性空间 它得内积为 对 V 中确定得向量 定义 V 上的 一个函数 1 证明 是 V 上的线性函数 2 证明 V 到 V 的映射是 V 到 V 的一个同构映射 在这个同构下 欧氏空间可看成 自身的对偶空间 3 证 1 先证明 是 V 上的线性函数 即 V 对 1 2 V k P 由定义有 1 2 1 2 1 2 1 2 k 1 k 1 k 1 k 1 故 是 V 上的线性函数 2 设 1 2 n是 V 的一组标准正交基 且对 V 由定义 i i i 1 2 n 知 i j i j 1 0 ij ij 于是 1 2 n 是 1 2 n的对偶基 从而 V 到 V 的映射是 V 与 V 中两基间的一个双射因此它也是 V 到 V 的一个同构映射 8 设A是数域 P 上 N 维线性空间 V 得一个线性变换 1 证明 对 V 上现行函数 f fA仍是 V 上的线性函数 2 定义 V 到自身的映射为 f fA证明A 是 V 上的线性变换 3 设 1 2 n是 V 的一组基 f1 f2 fn是它的对偶基 并设A在 1 2 n的矩阵为 A 证明 A 在 f1 f2 fn下的矩阵为 A 证 1 对 V 由定义知 fA f A 是数域 P 中唯一确定的元 所 以 fA是 V 到 P 的一个映射 又因为 V k P 有 fA f A f A A fA fA fA k f A k f k A k f A k fA 所以 fA是 V 上线性函数 2 对 f V 有A f fA V 故A 是 V 上的线性变换 3 由题设知 A 1 2 n 1 2 n A 设A f1 f2 fn f1 f2 fn B 其中 A aij n n B bij n n 且 f1 f2 fn是 1 2 n的对偶基 于是 f j A A f j 所以 aji bij i j 1 2 n 即证A 在 f1 f2 fn 下的矩阵为 B A 9 设 V 是数域 P 上的一个线性空间 f1 f2 fn是 V 上的 n 个线性函数 1 证明 下列集合 W V fi 0 1 i n 是 V 的一个子空间 W 成为线性函数 f1 f2 fn的零化子空间 2 证明 V 的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间 证 1 因为 f1 f2 fn是 V 上的 n 个线性函数 所以 f V 1 i n 且 fi 0 0 i 1 2 n 因而 0 W 即证 W 非空 又因为 V P 有 fi fi fi 0 i 1 2 n fi fi 0 所以 W W 即证 W 是 V 的一个子空间 2 设 W1是 V 的任一子空间 且 dim W1 m 则当 m n 时 只要取 f 为 V 的零函数 就有 W1 V V f 0 所以 W1是 f 的零化子空间 当m 2 f 是 V 上的一个对称双线性函数 1 证明 V 中有非零向量 使 f 0 2 如果 f 是非退化的 则必有线性无关的向量 满足 f 1 f f 0 证 1 设 1 2 n为复数域上 N 维线性空间 V 的一组基 f 是 V 上的对称双 线性函数 则 f 关于基 1 2 n的度量矩阵 A 为对称矩阵 于是 存在非退 化的矩阵 T 使 T AT 0 00 r E B 若令 1 2 3 n 1 2 n T 则 1 2 3 n也是 V 的一组基 且 f 关于基 1 2 3 n 的度量矩阵为 B 因此 X1 1 X2 2 Xn n Y1 1 Y2 2 Yn n V 有 f X1 Y1 X2 Y2 Xr Yr f X 2 1 X 2 2 X 2 r 0 r n 故而 当 r 0 时 对 V 中任一非零向量 恒有 f 0 当 r 1 时 只要取 2 0 就有 f 0 当 r 2 时 只要取 i 1 2 0 就有 f 0 2 如果 f 是非退化的 则 f X1 Y1 X2 Y2 Xn Yn 因而只要取 1 2 1 2 i 2 1 2 1 2 i 2 就