2010高考全国新课标卷数学(含解析).pdf

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 全国新课标卷全国新课标卷 理科数学理科数学 解析解析 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 已知集合 2 AxxR 4 BxxxZ 则AB A 0 2 B 0 2 C 0 2 D 0 1 2 解析 22 0 1 2 3 4 AB 0 1 2 AxxB 选 D 命题意图 考察集合的基本运算 2 已知复数 2 3 13 i z i z是 z 的共轭复数 则zz A 1 4 B 1 2 C 1D 2 解析 2 334 343 164 13 22 3 iiii z ii 331 444 ii z z ii 所以选 A 命题意图 考察复数的四则运算 3 曲线 2 x y x 在点 1 1 处的切线方程为 A y 2x 1 B y 2x 1C y 2x 3D y 2x 2 解析 1 2 2 2 2 x yky x 所以点 1 1 处的切线方程为 y 2x 1 命题意图 考察导数的几何意义 4 如图 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动 其初始位置为 P0 2 2 角 速 度 为 1 那么 点P到x 轴 距 离 d 关 于 2 时间 t 的函数图像大致为 解析 法一 排除法 取点0 2td 时 排除 A D 又当点 P 刚从 t 0 开始运动 d 是关于 t 的减函数 所以排除 B 选 C 法二 构建关系式 x 轴非负半轴到 OP 的角 4 t 由三角函数的定义可知 2sin 4 p yt 所以2sin 4 dt 选 C 命题意图 考察三角函数的定义及图像 5 已知命题 1 p 函数22 xx y 在 R 为增函数 2 p 函数22 xx y 在 R 为减函数 则在命题 1 q 12 pp 2 q 12 pp 3 q 12 pp 和 4 q 12 pp 中 真命题是 A 1 q 3 q B 2 q 3 q C 1 q 4 q D 2 q 4 q 解析 对于 1 p 1 2 2 x x y 显然在 R 为增函数 命题为真 对于 2 p 1 2 2 x x y 1 2 ln22ln2 2 ln2 2 xxx x y 当 00 00 xyyxyy 时 单调递减 时 单调递增 命题为假 对于 2 p 也可通过复合函数单调性法则 分解为简单函数 1 2 x tyt t 处理 利用复合命题真值表 显然 12 pp 12 pp 为真命题 选 C 命题意图 复合命题真假判断为背景考察函数的单调性 6 某种种子每粒发芽的概率都为 0 9 现播种了 1000 粒 对于没有发芽的种子 每粒需再 3 补种 2 粒 补种的种子数记为X 则X的数学期望为 A 100 B 200 C 300 D 400 解析 设发芽的粒数为 1000 0 9 900BE 则 又 1000 222000 22000200XEXE 选 B 命题意图 考察二项分布期望公式及公式 E abaEb 7 如果执行右面的框图 输入5N 则输出的数等于 A 5 4 B 4 5 C 6 5 D 5 6 解析 所以选 D 命题意图 以算法为背景考察裂项相消求和 8 设偶函数 f x满足 3 8 0 f xxx 则 2 0 x f x A 24 x xx或 B 04 x xx或 C 06 x xx或 D 22 x xx或 解析 3 0 802xf xxx 当时 由得 022f xf xxx 或即或 选 B 命题意图 利用函数性质解不等式 9 若 4 cos 5 是第三象限的角 则 1tan 2 1tan 2 A 1 2 B 1 2 C 2 D 2 解析 是第三象限的角 2 是第二或四象限角 11111 1 22 33 44 55 6 1111111115 1 2233445566 S 4 又 222 2 222 cossin1tan 4 222 cos tan9 tan3 522 cossin1tan 222 化简得 故 1tan 1 2 2 1tan 2 选 A 命题意图 考察三角函数的化简求值 10 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱长都为a 顶点都在一个球面上 则该球的表面 积为 A 2 a B 2 7 3 a C 2 11 3 a D 2 5a 解析 22 22222 7 4312 aa ROBOEBEa 22 7 4 3 Saa 命题意图 考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式 11 已知函数 lg 010 1 6 10 2 xx f x xx 若 a b c互不相等 且 f af bf c 则abc 的取值范围是 A 1 10 B 5 6 C 10 12 D 20 24 解析 a b c互不相等 不妨设abc lglgf af bab 由得 即ab 1 abcc 显然1012c 6 635 所以有 99 的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 III 由 II 的结论知 该地区老年人是否需要帮助与性别有关 并且从样本数据能看出该 地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异 因此在调查时 先确定该地区 老年人中男 女的比例 再把老年人分成男 女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽 样方法更好 20 本小题满分 12 分 设 12 F F分别是椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 的左 右焦点 过 1 F斜率为 1 的直线i与E 9 相交于 A B两点 且 22 AFABBF成等差数列 1 求E的离心率 2 设点 0 1 p 满足PAPB 求E的方程 解 I 由椭圆定义知 22 4AFBFABa 又 22 2ABAFBF 得 4 3 ABa l的方程为yxc 其中 22 cab 设 11 A x y 22 B xy 则 A B 两点坐标满足方程组 22 22 1 yxc xy ab 化简的 2222222 20abxa cxacb 则 222 2 1212 2222 2 acb a c xxx x abab 因为直线 AB 斜率为 1 所以AB 2 211212 224xxxxx x 得 2 22 44 3 ab a ab 故 22 2ab 所以 E 的离心率 22 2 2 cab e aa II 设 AB 的中点为 00 N xy 由 I 知 2 12 0 22 2 23 xxa c xc ab 00 3 c yxc 由PAPB 得1 PN k 即 0 0 1 1 y x 得3c 从而3 2 3ab 10 故椭圆 E 的方程为 22 1 189 xy 21 本小题满分 12 分 设函数 2 1 x f xexax 1 若0a 求 f x的单调区间 2 若当0 x 时 0f x 求a的取值范围 解解 1 0a 时 1 x f xex 1 x fxe 当 0 x 时 0fx 故 f x在 0 单调减少 在 0 单调增加 II 12 x fxeax 由 I 知1 x ex 当且仅当0 x 时等号成立 故 2 12 fxxaxa x 从而当120a 即 1 2 a 时 0 0 fxx 而 0 0f 于是当0 x 时 0f x 由1 0 x ex x 可得1 0 x ex x 从而当 1 2 a 时 12 1 1 2 xxxxx fxea eeeea 故当 0 ln2 xa 时 0fx 而 0 0f 于是当 0 ln2 xa 时 0f x 综合得a的取值范围为 1 2 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已经圆上的弧 过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点 证明 ACE BCD 11 BC 2 BF CD 解解 I 因为 ACBC 所以BCDABC 又因为EC与圆相切于点C 故ACEABC 所以ACEBCD II 因为 ECBCDBEBCBCD 所以BDC ECB 故 BCCD BEBC 即 2 BCBECD 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线 C1 x1tcos sinyt t 为参数 C2 xcos siny 为参数 当 3 时 求 C1与 C2的交点坐标 过坐标原点 O 做 C1的垂线 垂足为 P 为 OA 中点 当 变化时 求 P 点的轨迹的参 数方程 并指出它是什么曲线 解 当 3 时 1 C的普通方程为3 1 yx 2 C的普通方程为 22 1xy 联立 方程组 22 3 1 1 yx xy 解得 1 C与 2 C的交点为 1 0 13 22 1 C的普通方程为sincossin0 xy A 点坐标为 2 sincossin 故当 变化时 P 点轨迹的参数方程为 2 1 sin 2 1 sincos 2 x y 为参数 P 点轨迹的普通方程为 2 2 11 416 xy 12 故 P 点轨迹是圆心为 1 0 4 半径为 1 4 的圆 24 本小题满分 10 分 选修 4 5