大学物理力学7.pdf

1 刚体的平动刚体的定轴转动刚体的平动刚体的定轴转动 x v t d d vx a tt 2 2 dd dd t d dtt 2 2 dd dd Pmv K Emv 2 1 2 LJ K EJ 2 1 2 F m M J AFx ddFtdAM ddMtd Fma MJ FtPP 0 dMtLL 0 d Fxmvmv 22 0 11 d 22 MJJ 22 0 11 d 22 复习上一次课的内容 只讨论具有对称轴的刚体的旋进问题只讨论具有对称轴的刚体的旋进问题 v v v v M dL dt dLMdtM vvv vvv 则只改变方向则只改变方向 v v L 不改变大小 不改变大小 例 陀螺进动问题例 陀螺进动问题 LLdLM vvvv 时 当 时 当 L r M r L r d r O r gmr 5 7 5 7 5 7 5 7 进动进动进动进动 进动 旋进 高速旋转的物体 其自转轴绕另一个轴转动的现象进动 旋进 高速旋转的物体 其自转轴绕另一个轴转动的现象 则则M dL dt v v Ld dt sin 当时 当时 90 M J dLMdtM vvvvv v M v dLLdsin v dt d 令 令 sin L 即 即 sinL M sinJ M 1 L v L v sin J 以上只是近似讨论 因为当旋进发生后 这时才有 以上只是近似讨论 因为当旋进发生后 这时才有 总总 vv r rr 总 只有高速自转时 才有只有高速自转时 才有 r 2 转台对地角速度为零时转台对地角速度为零时 人相对转台的速度人相对转台的速度v 0 5 因为系统对因为系统对O轴 的合外力矩 为零 轴 的合外力矩 为零 所以系统角动量守恒 所以系统角动量守恒 o 2 R R v r M m 解 解 1 选人和圆盘为系统 选人和圆盘为系统 以地为参照系 由角动量守恒得 以地为参照系 由角动量守恒得 2 2 0 2 2 22 1 22 1R mMR R mMR 其中 人对地的角速度 其中 人对地的角速度 2 R v 人和圆盘的质量关系为 人和圆盘的质量关系为 mM10 解出 解出 R v 21 2 0 2 由圆盘对地的角速度为零条件 由上式得 由圆盘对地的角速度为零条件 由上式得 0 2 21 R v 10 一质量为一质量为M 长为 的均匀细棒 悬在通 过其上 长为 的均匀细棒 悬在通 过其上O且与棒垂直的水平光滑固定轴上而自 由下垂 如图所示 现有一质量为 且与棒垂直的水平光滑固定轴上而自 由下垂 如图所示 现有一质量为m的小泥团 以与水平方向夹角为 速度为击在棒长 的处 并粘在其上 的小泥团 以与水平方向夹角为 速度为击在棒长 的处 并粘在其上 l 0 v r 4 3 o l 4 3 0 v r 解 解 1 选细棒 泥团为 选细棒 泥团为系统系统 泥团击中后 泥团击中后系统系统的转动惯量为 的转动惯量为 求 求 1 细棒被击中后的角速度 细棒被击中后的角速度 2 细棒摆到最高点时 细棒 与铅直 方向间的夹角 细棒摆到最高点时 细棒 与铅直 方向间的夹角 o l 4 3 0 v r 2 2 4 3 3 1 lmMlJ 在泥团与细棒碰撞过程中对轴在泥团与细棒碰撞过程中对轴O的的 角动量守恒 角动量守恒 Jlmv 90sin 4 3 0 0 lmM mv 2716 cos36 0 2 选细棒 泥团和地为系统 在摆动过程中 选细棒 泥团和地为系统 在摆动过程中 机械能守恒机械能守恒 cos1 4 3 cos1 2 1 2 1 2 mglMglJ o l 4 3 0 v r glmMmM vm 271632 cos54 1cos 22 0 2 1 解出 解出 11 质量为质量为M 半径为半径为R并以角速度旋转的 飞轮 在某一瞬时 突然有一片质量为 并以角速度旋转的 飞轮 在某一瞬时 突然有一片质量为m的碎 片从轮的边缘飞出 假定碎片脱离了飞轮时 的速度正好向上 碎片相对飞轮很小 的碎 片从轮的边缘飞出 假定碎片脱离了飞轮时 的速度正好向上 碎片相对飞轮很小 求 求 1 碎片上升的高度 碎片上升的高度 H 2 余下部分的 角动量及动能又各为多少 余下部分的 角动量及动能又各为多少 o R 0 v r 6 g R g v H 22 222 0 o R 0 v r RmvJJ 0 0 0 vRv 解解 1 碎片作匀加速运动碎片作匀加速运动 2 系统 碎片和圆盘余下部分 在碎裂瞬间对 系统 碎片和圆盘余下部分 在碎裂瞬间对O轴角动量守恒轴角动量守恒 RmvmRMRMR 0 222 2 1 2 1 Rv 0 解得 22 2 1 mRMRJL 2222 2 1 2 1 2 1 mRMRJEk 余下部分的角动量和转动动能 余下部分的角动量和转动动能 o c l AB l 12 一半径为一半径为R 的圆盘 可绕一垂直于圆盘面的转轴作 定轴转动 如果由于某种原因转轴偏离了盘心 的圆盘 可绕一垂直于圆盘面的转轴作 定轴转动 如果由于某种原因转轴偏离了盘心O而在而在C 处 如图所示 处 如图所示 A B 是通过是通过CO的圆盘直径上的两个端 点 则 的圆盘直径上的两个端 点 则A B 两点的速率将有所不同 现在假定圆盘转 动的角速度是已知的 而 可以通过仪器 测出 试通过这些可观测量求出偏心距 两点的速率将有所不同 现在假定圆盘转 动的角速度是已知的 而 可以通过仪器 测出 试通过这些可观测量求出偏心距 A v B v 解 由图上得 解 由图上得 l RrAl RrB AA rv l R o c l AB lRvA lRvB l2 BA vv 2 BA vv l 0 求盘在任意时刻的角速度求盘在任意时刻的角速度0 t 13 质量为 质量为m 半径为 半径为R的圆盘 可绕过盘中心且垂直于盘面的 轴转动 在转动过程中单位面积所受空气的阻力为 的圆盘 可绕过盘中心且垂直于盘面的 轴转动 在转动过程中单位面积所受空气的阻力为kvf 时 圆盘的角速度为 时 圆盘的角速度为 t o r dr 解 取半径为解 取半径为r宽为宽为dr的圆带的圆带 2 2rdrrfdM drkvr 2 4 drrk 3 4 R drrkM 0 3 4 4 kR 由转动定理 由转动定理 M dt d J dt d mR 2 2 1 4 kR dt m kRd 2 2 t dt m kRd 0 2 2 0 t m kR e 2 2 0 14 质量为 质量为m 长为 长为l的均匀棒 如图 用水平力的均匀棒 如图 用水平力F打击在离轴下打击在离轴下 y处 作用时间 处 作用时间 解 轴反力设为解 轴反力设为 x R y R x R y R y F 由转动定律 由转动定律 d