高等数学考研重要ppt课件.ppt

高等数学在考研中占的比重尤其大 其中在数学一和数学三占56 线性代数和概率统计占44 而数学二占高等数学占78 线性代数和概率统计占22 其中一元函数的微积分 多元函数的微分和多元函数在积分中在二重积分数一 数二 数三考试必考的知识点 高等数学基础课 历年考试真题 2011 数学二 21 证明方程 1 在 1 2 1 内有且仅有一个实根 2 记一问中的根为 2011 数一 10 分析 方法一令x 1 sint方法二几何法 012 2011 数三1 第一章函数极值连续 高等数学是以极限作为工具来研究函数的基本性态 也就是说函数是我们高等数学研究的对象 而极限是我们用来研究函数在工具 所以我们首先要介绍研究对象 然后再介绍研究工具 而连续是以极限作为工具研究函数的第一个基本性态 函数 1 函数的概念 定义域 对应法则 值域 2 函数的基本性态 单调性 奇偶性 周期性 有界性 注 有界性有界与无界 而无穷大量与无界相关 但有本质区别 3 复合函数与反复合函数 求复合函数和反函数 4 基本的初等函数与初等函数 基本初等函数 将幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数统称为基本初等函数 初等函数 由常数和五类基本初等函数经过有限次加减乘除和复合所得 而且能够用一个解析式表示的函数 经过20多年的试卷调研发现 本知识常考题型i 函数有界性 单调性 周期性及奇偶性的判定ii 复合函数例题1A有界函数B单调函数C周期函数D偶函数例题2的定义域为 例题3极限极限是整个高等数学的基础 而且定理和性质非常多 高等数学教材中的极限包括数列极限和函数极限 极限的概念也称思考1 n an描述什么 2 一个数列有没有极限 有谁来决定 注意 单调有界数列一定有极限 前面有限项不能满足其要求 不影响极限 只跟后面无穷多项有关 比如可以从10000项才开始单调 函数极限定义单侧极限 关系 函数趋近某点在极限定义 1函数与某点在极限与该点有没有定义毫无关系 比如说 跟这一点的去心领域邻近点的函数值有关 比如说 原因是在零点附近找不到一个很小的去心领域满足 x 1 n n无论取什么书 分母都会为0 关系 几个值得注意在极限 错因 错因 注意 确定水平渐近线是要考虑x 的极限值 所以存在一条水平渐近线 错因 极限的性质 数列极限和函数极限具有对应性1 局部界性 若对应数列收敛必须有界 但有界数列不一定收敛比如 1 n有界但不收敛 有界是收敛的必要非充分条件 2 保号性 大前提条件 i 如果A 0 则存在ii 如果当x如果一个函数在这点的极限值不等于0 那么在这点一定有一个去心领域使得在这个去心领域里函数值和极限值保值同样的符号 称为极限值的正负保函数值的正负 第二条指函数值保极限值的符号 保号性的两条可以简单记忆为 1 A 0 f x 0 严格大于 2 f x 0 A 0注意A 0 f x 0 X 比如说 但f x 在x 0的去心领域并不满足x 0 若f x 0 A 0 X 比如说f n 1 n 0但是1 n的极限值 0 f x 0也只能得出A 0 3 有理运算性质 若limf x A limg x B那么 lim f x g x limf x limg x A Blim f x g x limf x limg x A B lim f x g x limf x limg x A Blim f x g x limf x limg x A B B 0 延伸 i 极限存在 极限不存在 极限不存在反证法很容易证明 ii 极限不存在 极限不存在 不确定比如 f n n g n n 则f n g n 的极限不存在 比如f n n g n n 则f n g n 0极限存在 ii 极限存在 极限不存在 不确定比如说 f n 1 n g n 则f n g n 极限存在为0 若f n 1 n g n n2则f n g n 极限不存在 极限不存在 极限不存在 不确定 比如说 f n n g n n 则f n g n 极限不存在 若f n 1 n g n 1 n 则f n g n 极限为1 Iii 连续 导数 级数结论与上面一样 Iiii 两个常用的结论 若limf x g x 存在 limg x 0则limf x 0证明用有理运算法则中的乘法法则若limf x g x A 0 limf x 0 则limg x 0 证明方法用有理法则中的除法法则 iiiii 极限值与无穷小之间的关系 1之间我们在讲解极限的概念和性质 接下来我们一起来探讨极限的存在准则 数列的夹逼准则 适用范围n项和 单调有界准则 单调有界数列必有极限 单调增上有界 单调减下有界 适用范围 利用递推关系给的极限 常用基本极限 1 无穷小量 定义 若无穷小的比较 设 常用等价无穷小 1当x 0时 X sinx tanx arcsinx arctanx ln 1 x ex 11 cosx 1 2x2 1 x a axax 1 xlna等价无穷小代换若a a b b 且lima b 存在 则lima b lima b 只能用在乘除关系不能用在加减关系 无穷小的性质 1 有限个无穷小的和仍然为无穷小 2 有限个无穷小的乘积仍然为无穷小3 无穷小量与有界变量之积仍然为无穷小量 注 有限二字不能拿掉 无穷大量概念 常用的一些无穷大量的比较i Ii 当x 时 无穷大量与无界变量的关系 总之 无穷大量一定是无界变量 无界变量不一定是无穷大量 如数列 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 无穷大量与无穷小量在同一个极限过程中 如果f x 是无穷大量 则1 f x 为无穷小量 反之 如果f x 是无穷小量且f x 0则1 f