高中数学第一章1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案.docx

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标重点、难点1.能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题2能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题3会用赋值法求展开式系数的和.重点：1.二项式系数的性质及应用2“赋值法”的应用难点：利用杨辉三角解决实际问题.1杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是_，与这两个1等距离的项的系数_(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的_，即_2二项式系数的性质(1)对称性：在(ab)n的展开式中，与_的两个二项式系数相等，即CC，CC，CC.(2)增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐_的，由对称性可知它的后半部分是逐渐_的，且在中间取到最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数_取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数_相等，且同时取到最大值3各项二项式系数的和(1)CCCC_.(2)CCCCCC_.预习交流(1)(12x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A第n1项 B第n项C第n1项 D第n项，第n1项(2)(x1)10的展开式中的各项系数和是()A0 B1 C1 D210答案：1(1)1相等(2)和CCC2(1)首末两端等距离(2)增大减小，3(1)2n(2)2n1预习交流：(1)提示：C(2)提示：D在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、与杨辉三角有关的问题如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()A144B146C164 D461思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和下列是杨辉三角的一部分(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察二、二项式系数的性质(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项思路分析：求(abx)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，An1，再设第k1项系数最大，则由不等式组确定k的值1在(ab)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是()A第15项 B第16项C第17项 D第18项2若n(nN*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为()A462 B252 C210 D10(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得三、二项式系数、展开式系数的求和1(2012山东临清三中模拟，理14)设(3xx)n的二项展开式中各项系数之和为t，二项式系数和为h，若ht272，则二项展开式含x2项的系数为_思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和2设函数f(x，y)x(m0，y0)若f(4，y)a0，且a0a1a2a3a481，则a0a2a4_.思路分析：由a0a1a2a3a481表示的为各项系数和，可令y1求得m值a0a2a4为奇数项系数和，可令y1，结合已知求出1(2012北京昌平期末考试，理13)已知(xm)7a0a1xa2x2a7x7的展开式中x4的系数是35，则m_，a1a2a3a7_.2已知(2x1)na0a1xa2x2anxn展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h，奇数次项的系数和为t，则h2t2_.赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项一般地，对于多项式f(x)a0a1xa2x2anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为f(1)f(1)，偶次项系数和为f(1)f(1)，a0f(0)答案：活动与探究1：C解析：由题图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第15项是C，第16项是C.S(16)CCCCCC(CCC)(CCC)(CCCCC)(CCC)CC1164.迁移与应用：解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和(2)设a11，a23，a36，a410，若令bnan1an，则b12，b23，b34，所以可得bn是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列活动与探究2：解：T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26n8.(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第k1项系数最大，则有5k6.k5，或k6(k0,1,2，8)系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.迁移与应用：1.B解析：由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项2C解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n10，于是得其常数项为C210.活动与探究3：1.1解析：由已知令x1，则展开式各项系数和t(31)n4n，二项式系数和hCCC2n，ht4n2n272，解得n4.()n()4.则展开式的通项公式为Tr1C()4r()r34rC，令2，则r4.含x2项的系数为1.241解析：f(4，y)a04，令y1，得a0a1a2a3a4(1m)481，又m0，m2.令y1，得a0a1a2a3a4(1m)41.两式相加得2(a0a2a4)82，a0a2a441.迁移与应用：1.11解析：展开式通项公式Tr1Cx7r(m)r，令7r4，则r3.C(m)335.m1.(x1)7a0a1xa2x2a7x7.令x0，得a0(1)71；令x1，得a0a1a2a70，a1a2a3a71.2729解析：由已知2n132，n6.(2x1)6a0a1xa2x2a6x6.令x1，得a0a1a2a61，令x1，得a0a1a2a3a4a5a6(3)6.而ha0a2a4a6，ta1a3a5，h2t2(ht)(ht)36729.1.11的展开式中二项式系数最大的项是()A第6项 B第8项C第5,6项 D第6,7项2若(2)n的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等，则含x4项的系数为()A45 B45 C180 D1803已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5()A32 B1 C243 D1或2434(2012山东济南二月月考，理14)已知n的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x的系数为_5若(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013(xR)，则的值为_答案：1D解析：由n11为奇数，则展开式中第项和第1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大2C解析：由已知CC，n10.(2)n(2)10.展开式通项公式为Tr1C210r()r(1)rC210rx，令4，则r8.含x4项的系数为(1)8C224C180.3B解析：展开式的通项为Tr1(1)rCa5rxr，令r2，则a2(1)2Ca380，a2.(2x