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数学实验上机指导 抛射曲线实验抛射曲线实验 飞行航程计算实验飞行航程计算实验 定积分计算实验定积分计算实验 动物养殖问题动物养殖问题 人口模型与人口预测人口模型与人口预测 圆周率的计算实验圆周率的计算实验 MATLAB 主要命令函数主要命令函数 附 标准实验报告与试题附 标准实验报告与试题 应用数学学院 2007 年年 2 月月 实验一实验一 抛射曲线实验抛射曲线实验 古代一位将军曾说过 我向空中射一支箭 不知道它将落向何处 欧洲文艺复兴时 期 列奥纳多 达 芬奇在他的绘画作品中表现了炮弹的轨道是一条抛物线这一事实 抛 射体在初速度作用下 由确定的发射角产生空间运动轨迹 形成抛射曲线 研究抛射曲线 的数学模型 并通过实验可以明确抛射体射程和落点之间关系 在现实世界中 投蓝问题 掷标枪问题 高压水龙头灭火问题等等 都将引出抛射曲线问题 当初始速度为常数时 可以调整发射角使抛射体到达预定的目标 落点 一 问题分析一 问题分析 考虑发射点和落点在同一水平线上简单情况 首先建立平面直角坐标系 设坐标原点 为发射点 记抛射体的初始速度值为v0 发射角度为 于是初始速度向量为 sin cos 00 vvv 对每一确定的发射角 抛射曲线的参数方程为 2 0 0 2 1 sin cos gttvy tvx 1 1 其中g是重力加速度近似值为 9 8 米 秒2 对于发射角度在区间 2 0 内变化时 所有 发射角对应的曲线形成曲线族 图 1 1 抛射曲线族 发射点到落点的距离是射程 初始速度不变时落点仅与发射角有关 由参数方程 1 1 中y的表达式 令 0 2 1 sin 2 0 gttv 解之 得落点所对应的参数值 g v t sin2 0 1 2 代入参数方程 1 1 中x 的表达式 得射程计算公式 1 2sincossin2 2 0 2 0 1 g v g v x 1 3 显然 当发射角 2 时 对应的抛射曲线射程最远 二 计算机仿真二 计算机仿真 取60 在区间 0 2 内插入等分点 1 2 29 对每一个 k k k 1 2 29 计算对应曲线上点坐标 并绘曲线 记录落点的坐标 形成曲线族 输出最远射程所对应的发射角 max 为了简便 取初始速度v0 100 米 秒 MATLAB 程序 最大射程与最大发射角仿真 抛射曲线仿真程序 2007 01 24 g 9 8 v0 100 dalpha pi 60 alpha 0 xmax 0 alpha0 0 for k 1 29 alpha alpha dalpha vx v0 cos alpha 计算初速度向量第一分量 vy v0 sin alpha 计算初速度向量第二分量 Talpha 2 vy g 计算飞行时间 t 0 16 Talpha 16 x vx t y vy t g t 2 2 计算航点 plot x y k hold on 绘抛射曲线 x0 max x if x0 xmax xmax x0 alpha0 alpha 求最大射程和最大发射角 x1 x y1 y end end plot x1 y1 r 绘最大射程对应的抛射曲线 xmax 显示最大射程数据 Amax round alpha0 180 pi 显示最大发射角度 程序运行结果 xmax 1 0204e 003 Amax 45 由此可知 最大射程为 1020 4 米 最大发射角为 45 o 三 弹道数据计算公式三 弹道数据计算公式 弹道数据包括射程 发射角及炮弹飞行时间 由式 2 和式 3 得如下计算公式 1 已知发射角计算飞行时间 g v t sin2 0 2 2 已知发射角计算射程 2sin 2 0 g v x 3 已知射程计算发射角 arcsin 2 1 2 0 vgSS 问题 1 当抛射体的发射点和落点不在同一水平线上时 假定发射点坐标为 0 h 记抛射体初始速度值为v0 发射角度为 抛射曲线的参数方程为 2 0 0 2 1 sin cos gttvhy tvx 设落点的高度为H 则抛射体最远射程的数学模型为 0 sin 2 1 cosmax 0 2 0 hHtvgtts tvx 1 4 当H h时 落点高于发射点 当H h时落点低于发射点 由约束条件 求解得落点 所对应的参数值 g hHgvv t 2sinsin 22 00 1 别讨论H h Hh时 判别式非负对应实际问题的意义 2 用拉格朗日函数方法求解数学模型 4 并分析 H h 和v0的联系 问题 2 根据网址为 的网站 上关于 54 式 122 毫米榴弹炮资料 炮弹初始速度为 515 米 秒 下表中已有一些数据 对 确定目标其射程为已知 为使炮弹击中目标需调整发射角 对不同目标计算发射角和炮弹 飞行时间 将计算结果填入表中空白处 目标 目标 1 目标 2 目标 3 目标 4 距离 10 公里 15 公里 20 公里 27 公里 发射角 飞行时间 实验二实验二 飞行航程计算实验飞行航程计算实验 经济全球化使更多的跨国公司兴起 每天有大量的人来往于世界各地之间 当人们乘 飞机在两大城市之旅行时 很关心旅程有多长 飞行距离用大地线长度表示 虽然地球的 几何模型是一个椭球 但可以用球面短程线做近似计算 一 飞行航程近似计算的数学原理一 飞行航程近似计算的数学原理 大地坐标系采用大地纬度 经度和大地高程三个数据描述三维空间中一个定点P 即 B L h 数学教科书一般用符号 h 纬度 是某点与参考椭球面的法线和赤道面的 3 夹角 变化范围为 90o 90o 向北取正称为北纬 向南取负称为南纬 经度 是某点与地球椭球自转轴所 在平面和格林尼治起始子午面的夹角 变化范围为 180o 180o 由起始子午起算 向东取正称为东经 向 西取负称为西经 高度h为空间点到椭球面的垂直距离 z P x y z O y P x 图 2 1 地心坐标系 地心坐标系是以地球球心为坐标原点的直角坐标 系 Z轴由原点指向北极 X轴由原点指向零经度和零 纬度所在点 而Y轴与Z轴 X轴垂直构成右手系 已 知球面上一点P的经纬度 地心坐标转化公式为 x R cos cos y R cos sin 2 1 z R sin 其中 R 6400 km 2 2 为简化计算 将地球视为半径为R 6400 km 的球体 假设飞机在一万米高空平稳飞 行 则应该以 6410 代替上面的数据 设球面上两点分别为 P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 则球面上过P1和P2两点的短程线长度计算公式为 L R 2 2 其中 是从球心指向P1 P2两点的两向量的夹角 弧度 即 cos x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 y1 z1 x2 y2 z2 2 3 二 三维地球与短程线图形绘制二 三维地球与短程线图形绘制 1 三维地球图形绘制 由于 平面矩形区域上的点与球面上的点可建立 1 1 对应 故将矩形域作剖 分 i i 1 m j j 1 n 所形成的网线将对应于球面上的经线和纬线 所以形成R2 R3的映射 由网格点 i j 对应于球面上点 xij yij zij 映射关系如下 xij R cos i cos j y ij R cos i sin j z ij R sin i 其中 R 6400 km 令 X xij m n Y yij m n Z zij m n 由MATLAB命令 mesh X Y Z 图 2 2 球面图形 可绘出球面图形 球面绘制程序如下 MATLAB 程序 shere R 6400 theta 9 1 5 9 pi 18 fai 18 1 5 18 pi 18 X R cos theta cos fai Y R cos theta sin fai Z R sin theta ones size fai 4 colormap 0 0 0 mesh X Y Z axis off 2 球面上短程线图形绘制 球面短程线是过球面上两点P1和P2以及坐标原点O的平面与球面的交线 由于P1 P2在截平面上 故利用圆周上弧线长的计算公式可以计算出球面短程线的近似值 球面短 程线近似计算程序如下 MATLAB 程序 distance function d distance p1 p2 图 2 3 球面短程线 R 6400 10 theta p1 1 pi 180 fai p1 2 pi 180 x1 R cos theta cos fai y1 R cos theta sin fai z1 R sin theta pp1 x1 y1 z1 theta p2 1 pi 180 fai p2 2 pi 180 x2 R cos theta cos fai y2 R cos theta sin fai z2 R sin theta pp2 x2 y2 z2 d R acos pp1 pp2 R 2 计算北京 纽约的直飞航程 程序段如下 p1 40 118 输入起始点经纬度 p5 41 76 输入目标点的经纬度 D15 distance p1 p5 调用短程线绘图和计算程序 计算结果为 Dnew 1 091477475274307e 004 问题 1 北京飞往纽约的另一条航线 北京 上海 东京 旧金山 纽约 航点 纬度 经度 北京 北纬 40o东经 116o 上海 北纬 31o东经 122 o 东京 北纬 36o东经 140 o 旧金山 北纬 37o西经 123 o 纽约 北纬 41o西经 76o 试用球面短程线方法编写函数计算相邻航点的距离以及总的累计距离 问题 2 已知中国国内几个大城市的地理位置 航点 纬度 经度 5 成都 北纬 30 o东经 104 o 北京 北纬 40o东经 116o 上海 北纬 31o东经 122 o 海口 北纬 20 o东经 110 o 拉萨 北纬 30 o东经 91 o 乌鲁木齐 北纬 44 o东经 87 o 试用球面短程线方法计算成都到各大城市的飞行航程 问题 3 已知世界上几个大城市的地理位置 航点 纬度 经度 伦敦 北纬 51 o西经 0 o 巴黎 北纬 48o东经 2o 柏林 北纬 52 东经 13 莫斯科 北纬 55 东经 37 罗马 北纬 42 东经 12 雅典 北纬 38 东经 24 悉尼 南纬 34 东经 151 试用球面短程线方法计算成都到各大城市的飞行航程 实验三实验三 定积分计算实验定积分计算实验 一 定积分的数值计算一 定积分的数值计算 定积分的数值计算命令为quad 使用该命令时需定义被积函数 使 用格式为 b a dxxf quad f a b 其中 f为所定义的被积函数名 a和b分别为积分下限和积分上限 例 1 数值计算求定积分 5 0 3 1 dx e x x 的值 首先用命令 inline 定义被积函数 1 3 x e x xf 然后用命令 quad 计算定积分值 注意 为了避免当x 0 时 被积函数分母为零发生错误 用数 eps MATLAB 中的一个非 常小的常数 代替积分下限零 命令如下 f inline x 3 exp x 1 quad f eps 5 两条命令执行后 MATLAB 的命令窗口将显示数据 ans 4 8999 所以 5 0 3 1 dx e x x 4 8999 注意事项 使用 inline 定义被积函数时方幂运算符 和除法运算符 前一定要加点 即使用 和 二 定积分的符号计算二 定积分的符号计算 6 MATALB 求定积分的符号计算命令为 int 使用前必须定义被积函数的符 号表达式 使用格式为 b a dxxf int f a b 其中 f为被积函数的符号表达式名 a和b分别为积分下限和积分上限 例 2 符号计算定积分 6 0 2 sin dxx 05 1 3 y x 图 3 1 被积函数图形 syms x f sin x 2 ezplot f 0 5 q int f 0 pi 6 计算结果为 q 1 2 3 1 2 1 3 pi 1 所以3 2 1 3 1 2 sin 6 0 dxx 注意事项 积分结果的计算机显示不同于数学教材 可用 pretty q 命令改变形式 三 定积分的计算机演示程序三 定积分的计算机演示程序 设被积函数f x 是连续函数 取正数n 令h b a n xk kh k 0 1 n 则定积分可以表示为各段小区间上积分之和 n k x x b a k k dxxfdxxf 1 1 由于 xk xk 1 h 故 hxfdxxf k x x k k 1 这一公式称为右矩形公式 定积分近似等于如下和式的值 n k k xfhS 1 应用右矩形公式计算定积分 5 0 3 1 dx e x x 近似值 MATLAB 程序 定积分演示程序 05 0 y 1 5 x 图3 2 曲边梯形与复合右矩形 n input input n a 0 b 5 h b a n f inline x 3 exp x 1 xx a 1 2 b xx 1 eps yy f xx figure hold on x a h b x 1 eps N n 1 y f x 7 s1 sum y 1 N 1 h 05 0 y 1 5 图3 2 曲边梯形与加细的复合右矩形 x s2 sum y 2 N h t1 x 1 for k 2 N t2 x k u2 y k t t1 t1 t2 t2 u 0 u2 u2 0 line t u fill t u c t1 t2 end plot xx yy r 程序运行时 输入不同的参数n 记录数据得表格 n h 右矩形公式 5 1 5 2908 10 0 5 5 1044 20 0 25 5 0041 50 0 1 4 9420 问题 1 利用 quad 命令和 int 命令分别计算下列定积分 1 a 1 b 3 2 dxbxeax 2 1 sin 2 2 1 1 1 1 dxe x x x x 问题 2 我国第一颗人造地球卫星近地点距离 h 439km 远地点距离H 2384km 地球半 径为R 6378km 由于人造地球卫星的轨道为一椭 圆 地球位于椭圆的一个焦点上 故由近地点距离 和远地点距离可分别计算出椭圆长半轴 椭圆半焦 距 椭圆短半轴 y x O 2 2 RHha 2 hHc 22 cab 图 3 3 卫星轨道图 利用椭圆周长公式 2 2222 cossin2bxaL 出椭圆周长近似计算公式 试用 MA dxx计算人造地球卫星轨道周长 并导 TLAB 的 comet 命令绘制人造卫星运动的演示图 问题 3 已知函数 0 k 1 2 3 4 5 试验程序如下 c input input c x0 1000 1000 1000 L 0 4 3 1 2 0 0 0 1 4 0 x1 L x0 c x2 L x1 c x3 L x2 c x4 L x3 c x5 L x4 c x1 x2 x3 x4 x5 程序运行时输入不同的参数 c 观察数据计算结果 取 c 100 时 能保证每一年龄动物数量 不为零 问题 1 昆虫繁殖问题 一种昆虫按年龄分为三个组 第一组为幼虫 不产卵 第 二组每个成虫在两周内平均产卵 100 个 第三组每个成虫在两周内平均产卵 150 个 假设 11 每个卵的成活率为 0 09 第一组和第二组的昆虫能顺利进入下一个成虫组的存活率分别为 0 1 和 0 2 设现有三个组的昆虫各 100 只 计算第 2 周 第 4 周 第 6 周后各个周龄的昆 虫数目 并考虑下面问题 1 以两周为一时间段 分析这种昆虫各周龄组数目演变趋势 写出莱斯利矩阵 2 如果使用一种除虫剂可以控制昆虫的数目 使得各组昆虫的成活率减半 问这种除虫 剂是否有效 问题 2 出租汽车问题 在仅有两个城市 A 和 B 的岛国上 有一家汽车出租公司 该公司只有两个营业部 其中一个设在城市 A 另一个设在城市 B 每天 A 城营业部可出 租汽车的 10 被顾客租用驾驶到 B 城 而 B 城营业部可出租汽车的 12 被顾客驾驶到了 A 城 通常情况下 公司每周做一次整体调整 周日 A 城营业部出租汽车数量为 120 辆 而 B 城营业部汽车数为 150 辆 一周以后两个营业部汽车数量再次调整恢复 试建立第 k 天和 第 k 1 天两个城市汽车数量变化规律的数学模型并进行计算机模拟 如果你对周日两营业 部的汽车数量分配方案提出合理化建议 该公司将会乐意接受 问题 3 顾客流动问题 在城市的某商业区街口 两家有名的快餐店 肯德基 分 店和 麦当劳 分店在竞争中发展 据统计每年 肯德基 保有其上一年老顾客的 1 3 而 另外的 2 3 顾客转移到 麦当劳 每年 麦当劳 保有其上一年的老顾客的 1 2 而另外的 1 2 顾客转移到 肯德基 用二维向量X k xk yk T表示两个快餐店市场分配的情况 初 始的市场分配为 X0 1 3 2 3 试构造矩阵L 使得 Xk 1 LXk 这里称 L 为状态转移矩阵 构造数学模型描述顾客流 动问题 根据递推关系计算几年内顾客的分布情况 实验五实验五 人口模型与人口预测人口模型与人口预测 据统计 上世纪六十年代世界人口数据如下 单位 亿 年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口 29 72 30 61 31 5132 1332 3432 8533 5634 20 34 83 根据表中数据 预测公元 2000 年世界人口会超过 60 亿 作出这一预测结果所用的方法就 是数据拟合方法 一 问题分析一 问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论 当人口总数 N 不是很大时 在不长的时期内 人 口增长率与人口数 N 成正比 这就是著名的马尔萨斯人口模型 用微分方程描述为 bN dt dN 5 1 其中 b为人口增长系数 用分离变量法解常微分方程 得 ln N b t a 即 N t e a b t 5 2 由此可知 马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型 由于指数函数表达式中a和b 均未知 需要用人口数据来确定 即用指数函数对数据进行拟合 确定指数函数中参数使 指数函数与人口数据偏差 残差平方和 尽可能小 下图是经数所拟合后的指数函数图形 与原始数据散点图的对比 残差平方和为 3 6974 10 4 12 图 5 1 指数函数图形与原始数据散点图 为了计算方便 将上式两边同取对数 还原为 ln N a b t 令 y ln N 或 N e y 变换后的拟合函数为 y t a b t 5 3 由人口数据取对数 y ln N 计算 得下表 表 5 1 世界人口数据 单位 亿 t 1960 1961 196219631964196519661967 1968 y 3 3918 3 4213 3 4503 3 4698 3 4763 3 4920 3 5133 3 5322 3 5505 二 求解超定方程组的数学原理二 求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a b t k y k k 1 2 9 可列出关于两个未知数a b的 9 个方程的线性方程组 5505 31968 5322 31967 5133 31966 4920 31965 4763 31964 4698 31963 4503 31962 4213 31961 3918 31960 ba ba ba ba ba ba ba ba ba 5 4 由于这一问题中方程数目多于未知数个数 被称为超定方程组 用矩阵形式表示为 AU f 5 5 显然A矩阵的行数大于列数 求解这一类方程组的数学原理是将等式左 右同时乘以A的转 置矩阵 得新的线性方程组 13 ATAU AT f 5 6 令G ATA b AT f 得系数矩阵为方阵的线性方程组 GU b 求解得原方程组的最小二乘解 广义解 由于原方程组一般无解 将最小二乘解代入下式 计算 R f A U 5 7 通常会得非零向量 这一向量称为残差 残差的内积可以用来度量最小二乘解的逼近程度 三 问题求解的计算机实验三 问题求解的计算机实验 输入下面命令 t 1960 1968 N 29 72 30 61 31 51 32 13 32 34 32 85 33 56 34 20 34 83 f log N A ones 9 1 t G A A b A f U G b a U 1 b U 2 R f A U R R Y exp a b t tt 1960 8 2000 YY exp a b tt plot t N t Y figure bar tt YY 程序运行结果为 U 33 0383 0 0186 ans 3 6974e 004 由方程组最小二乘解得 a 33 0383 b 0 0186 残差向量的内积 3 6974 10 4 代入拟合函数有 t etN 0186 00383 33 经计算 N 2000 64 1805 所以2000年的世界人口预测为64 1805亿 这一数据基本反映了人口变化趋 14 图5 2 预测的人口数据变化图 问题 1 由中国人口网数据资料 单位 亿 年 t 1991 1992 1993 1994 1995 1996 数量 N 11 58 11 72 11 85 11 98 12 11 12 24 推求 2008 年人口数量的预测 问题 2 求解下列问题 1 用最小二乘法求解超定方程组 241 353 26 421 xy xy xy xy 1 4 2 下表是美国公共道路局收集的汽车紧急刹车数据 x 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 y 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266 其中 x表示刹车时汽车行驶的速度 以英里 小时计 y表示刹车后汽车滑行的距离 以英 尺计 分析数据变化规律 能否用y cx2的数学公式近似表示 比例系数为多少 是否可用 其它的数学公式描述数据变化 3 用最小二乘法求一个形如 的经验公式 使与下列数据相拟合 yA e B x x 1 2 3 4 y 60 30 20 15 实验六实验六 圆周率的计算实验圆周率的计算实验 在我国古代 数学家祖冲之对圆周率 计算出了当时最好的结果 体现出东方人的智 慧 古希腊数学家阿基米德也曾利用圆的外接正多边形计算过 的近似值 体现西方人的 智慧 他们的数学思想对人类文明作出了重大贡献 计算工具的发展使我们可以选择不同的算法来计算圆周率 通过实验比较不同方法之 15 间的优劣 发现计算技巧是很有意义的事情 下面是几种常见的算法 一 几种常见的圆周率近似计算方法介绍一 几种常见的圆周率近似计算方法介绍 1 级数计算方法 算法原理 由反正切函数的 Taylor 展开式 0 12 12 1 arctan n n n n x x 6 1 取x 1 则级数收敛到 4 记 n k k n k S 0 12 1 1 4 有 n n Slim 算法注意事项 交错级数中通项的计算以及正负号控制 MATLAB 源程序如下 k 0 n 1 f 1 an 1 s 1 while an 0 00002 f f n n 2 an 1 n s s f an k k 1 end P 4 s 这一算法约需用 25000 次循环 可计算出近似值 3 14156 2 内接正多边形逼近圆的几何算法 用圆的内接正多边形逼近圆 利用周长或面积近似值计算圆周率 考虑半径为 R 0 5的圆内接正多边形周长问题 易得正 n 边形周长为 n nLn sin 6 2 2 cos sin 2n n n n sin2 2 nL n cos 2 LL nn 图 6 1 圆内正多边形逼近圆 所以有递推公式 2 n 2 cos 1 n 2 cos n 当n 3 时 计算初值 2 33 3 sin 3 3 L 1 3 cos 2 利用初值使用递推公式计算得如下程序 k 0 eor 0 5 c 1 2 L 3 sqrt 3 2 while eor 0 00005 c sqrt 1 c 2 L L c eor pi L k k 1 end P L 这一算法大约需用 7 次循环次数 计算出近似值 3 14156 3 在平面上随机投点的概率算法 考虑边长为 1 的正方形 以坐标原点为圆心 半径为 1 作圆 在正方形内画出一条 1 4 16 圆弧 设二维随机变量 X Y 在正方形内服从均匀分布 则任一随机点落入 1 4 圆内的 概率为 P X 2 Y 2 1 4 6 3 首先 生成N个随机点 xk yk k 1 2 N 其中 xk yk都是 0 1 上的 均匀分布随机数 如果有n个随机点坐标满足 xk 2 yk 2 1 则表明这 n 个点落入 1 4 圆内 用计算机模拟随机试验 N 个随机点表示随机投点 N 次 如果有 n 个随机点落入 1 4 圆内 则表示 N 次重复随机试验中 随机点落入圆内这一随机 事件发生的频率为 fN n N 根据大数定律 随机事件发生的频率fN依概率收敛于概率p P X 2 Y 2 1 即 P n N p 1 N y 书馆 x 图6 2 几何概率图 因此 圆周率的概率估算公式 4 n N 当试验次数充分大时 估计值的精度会增大 MATLAB 程序如下 N input input N x rand N 1 y rand N 1 m sum x 2 y 2 1 P 4 m N 这一算法的精度不高 如果每次选择 2000 个随机点 每 次计算结果将不一致 但数据结果始终在 3 14 附近摆动 4 定积分的定义计算方法 右图为单位圆与x轴 y 轴正半轴所围曲边梯形 即 1 4 圆 设其面积为 s 则单位圆面积 1 2 0 441sx dx 然后利用微积分中有关计算曲边梯形面积近似值 的方法 定积分的定义 把x轴的区间 0 1 n 等分 得到 n 个小矩形 这 n 个小矩形的面积之和为 2 1 1 1 n n 当所分小区间个数 时 有Sn S 因此 得到圆周率的估算公式 4Sn MATLAB 程序如下 n input input n x linspace 0 1 n 1 y sqrt 1 x 2 s 0 s 1 n sum y 2 end k n skn 图6 3 定积分图 17 P 4 s 这一算法约需把 0 1 等分成 22000 个小区间 计算出圆周率近似值 3 14150 当所分小区间 个数 充分大时 所得圆周率估计值的精度将有所提高 但总的来说收敛速度较慢 问题 1 割圆术 中国古代数学家刘徽在 九章算术注 方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率 刘 徽注意到单位圆内接正多边形的面积总是小于圆面积 且边数愈大愈接近于单位圆面积 他先将单位圆分割为 6 等分 再分割成 12 等分 24 等分 如此继续下去 设an 和 Sn分别表示圆内接正n边形的边长和面积 试根据以上思想 利用圆内接正多边形边长递推 公式 和圆内接正 2n 边形面积公式 编程计算圆周率的近似值 若采 2 1 2 nn Sna 2 2 24 nn a a 用加速公式 来计算圆周率的近似值 试比较与前者的收敛速度 问题 2 假设一个团队有 n 个人 n C A C B A C B B A B C A C B A CC A C B B C A D A B C 4 5 6 7 8 0 A 1 A 3 屏幕上将出现 的结果是 A 15 B 30 C 36 D 69 8 正确表达命题 A 和 B 都大于 C 的逻辑表达式应该用下面哪一行 29 A A C B B C C A C alpha 2 18 pi 40 v1 cos alpha v2 sin alpha t0 2 v2 g t t0 0 16 16 x diag v1 t y diag v2 t g t 2 2 plot x y k 3 下面程序的功能是绘制一空间区域的边界曲面 写出该空间区域的数学表达式并说明程 序所用数学原理和算法 操作步骤 图 2 区域边界曲面 r 0 20 20 theta 0 72 pi 36 x r cos theta y r sin theta z1 sqrt x 2 y 2 z2 1 sqrt 1 x 2 y 2 mesh x y z1 hold on mesh x y z2 axis off 三 程序设计 30 分 1 利用 ezplot 命令 画函数在 22 sin xxxf 上的图形 写出 MATLAB 程序 2 给定非负实数 a0 b0满足a0 b0 按递推公式 nnn nnn bab baa 1 1 2 1 n 0 1 2 产生的数列 an bn 称为高斯算术 几何平均数列 试写出用for end语句计算a10和b10的 MATLAB程序 例如输入数据a0 5 b0 2 输出数据a 3 3290 b 3 3290 3 假设一个团队有 n 个人 n 365 n 个人之中至少有两人生日同一天 概率列表如下 n 30 40 50 60 P 0 7063 0 8912 0 9704 0 9941 编写程序模拟这一随机现象 程序功能如下 输入正整数n 产生n个 1 365 的随机正整数 30 代表n个人的生日 输出n阶矩阵A aij n n记录有两人生日相同这一事件 若第i个人与第j 个人生日相同 则aij 1 否则aij 0 要求A是对称阵 且A的主对角元素为 0 四 建立数学模型 20 分 1 出租汽车问题 在仅有两个城市 A 和 B 的