第六章 测量误差基本知识.pdf

1 第六章第六章 测量误差基础知识 2 6 6 1 测量误差的概念测量误差的概念 一 测量误差的来源一 测量误差的来源 1 仪器精度的局限性 仪器精度的局限性 2 观测者感官的局限性 观测者感官的局限性 3 外界环境的影响 外界环境的影响 3 一一 产生产生测测 量量误差的原误差的原 因因 一 一 产生测量误差的原因产生测量误差的原因 产生测量误差的三大因素 产生测量误差的三大因素 仪器原因仪器原因仪器精度的局限 轴系残余误差 等 仪器精度的局限 轴系残余误差 等 人的原因人的原因判断力和分辨率的限制 经验 等 判断力和分辨率的限制 经验 等 外界影响外界影响气象因素 温度变化 风 大气折光 气象因素 温度变化 风 大气折光 结论 结论 观测误差不可避免观测误差不可避免 粗差除外 有关名词有关名词 观测条件 观测条件 上述三大因素总称为上述三大因素总称为观测条件 等精度观测 在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测 称为 观测条件 等精度观测 在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测 称为等精度观测 等精度观测 4 二 测量误差的分类与对策二 测量误差的分类与对策 一 分类 一 分类 系统误差系统误差 在相同的观测条件下 误差 出现在符号和数值相同 或按 在相同的观测条件下 误差 出现在符号和数值相同 或按一定的规律一定的规律 变化 变化 例 误差 钢尺尺长误差 D 例 误差 钢尺尺长误差 Dk k 钢尺温度误差 D钢尺温度误差 Dt t 水准仪视准轴误差i 经纬仪视准轴误差C 处理方法 计算改正 计算改正 操作时抵消 前后视等距 操作时抵消 盘左盘右取平均 水准仪视准轴误差i 经纬仪视准轴误差C 处理方法 计算改正 计算改正 操作时抵消 前后视等距 操作时抵消 盘左盘右取平均 5 二 测量误差的分类与对策二 测量误差的分类与对策 一 分类一 分类 偶然误差偶然误差 在相同的观测条件下 误 差出现的符号和数值大小都不相同 从 表面看没有任何规律性 但大量的误差 有 统计规律 在相同的观测条件下 误 差出现的符号和数值大小都不相同 从 表面看没有任何规律性 但大量的误差 有 统计规律 例 例 估读数 气泡居中判断 瞄准 对中等误差 导致观测值产生误差 估读数 气泡居中判断 瞄准 对中等误差 导致观测值产生误差 粗差粗差 特别大的误差 错误 6 二 处理原则二 处理原则二 处理原则二 处理原则 粗差粗差 细心 多余观测细心 多余观测 系统误差系统误差 找出规律 加以改正找出规律 加以改正 偶然误差偶然误差 多余次测 制定限差多余次测 制定限差 7 如何处理含有偶然误差的数据 如何处理含有偶然误差的数据 如何处理含有偶然误差的数据 如何处理含有偶然误差的数据 例如 例如 对同一量观测了对同一量观测了n n次次 观测值为观测值为 l l 1 1 l l2 2 l l3 3 l l n n 如何如何取值取值取值取值 如何评价数据的精度 8 三 偶然误差的特性三 偶然误差的特性 1 偶然误差的定义 1 偶然误差的定义 设某一量的真值为X 对该量进行了n次观测 得n个观测值 则产生了n个真误 差 n lll 21 L n 21 L ii lX 6 1 1 6 1 1 真 误 差 真 值 观 测 值 9 例如 例如 对对358358个三角形在相同的个三角形在相同的 观测条件下观测了全部内观测条件下观测了全部内 角 三角形内角和的误差角 三角形内角和的误差 i i 为为 三角形闭合差三角形闭合差 i i 180 180 i i i i I I 其结果如表其结果如表6 6 1 1 图 图6 6 1 1 分析三角形内角和的误分析三角形内角和的误 差差 I I 的规律 的规律 10 误差区间误差区间负误差负误差正误差正误差误差绝对值误差绝对值 d d K K n K K n K K n K K n K K n K K n 0 30 345450 1260 12646460 128 91 0 2540 128 91 0 254 3 63 640400 1120 11241 0 115 81 0 22641 0 115 81 0 226 6 9 336 9 330 0920 09233 0 092 66 0 18433 0 092 66 0 184 9 12 239 12 230 064 21 0 0590 064 21 0 05944440 1230 123 12 1512 1517170 0470 04716 0 04516 0 04533330 0920 092 15 1815 1813130 0360 03613130 0360 03626260 0730 073 18 2118 21 6 6 0 017 5 0 014 0 017 5 0 014 11110 0310 031 21 24 421 24 40 011 20 011 20 0060 006 6 6 0 0170 017 2424以上以上 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 181 0 505 177 0 495 358 1 000181 0 505 177 0 495 358 1 000 表表表表6 6 6 6 1 1 1 1 偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计 个数 相对个数 11 24 21 18 15 12 9 6 3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 X k d 有限 性 偶然 误差应小于 限值 渐降 性 误差 小的出现的 概率大 对称 性 绝对 值相等的正 负误差概率 相等 抵偿 性 当观 测次数无 限增大 时 偶然 误差的平 均数趋近 于零 12 偶然误差偶然误差偶然误差偶然误差的特性的特性的特性的特性 有限性有限性 在有限次观测 在有限次观测 中 偶然误差应小于限中 偶然误差应小于限 值 值 渐降性渐降性 误差小的出现 误差小的出现 的概率大的概率大 对称性对称性 绝对值相等的 绝对值相等的 正负误差概率相等正负误差概率相等 抵偿性抵偿性 当观测次数无 当观测次数无 限增大时 偶然误差的限增大时 偶然误差的 平均数趋近于零 平均数趋近于零 2 2 2 1 x exf 13 6 6 2 2评定精度的标准评定精度的标准评定精度的标准评定精度的标准 一 方差和一 方差和标准差 中误差 标准差 中误差 的偶然误差是观测值式中 叫标准差当 离散型 方差 ii n i i i n i ii l nn p p dfD 1 1 2 2 1 2 2 22 中误差 14 6 6 2 2评定精度的标准评定精度的标准评定精度的标准评定精度的标准 n 二 相对中误差二 相对中误差 平均误差 l n m 一 中误差一 中误差 15 按观测值的真误差计算中误差按观测值的真误差计算中误差 第一组观测 第二组观测 次序 观测值 l 2 观测值 l 2 1 180 00 03 3 9 180 00 00 0 0 2 180 00 02 2 4 159 59 59 1 1 3 179 59 58 2 4 180 00 07 7 49 4 179 59 56 4 16 180 00 02 2 4 5 180 00 01 1 1 180 00 01 1 1 6 180 00 00 0 0 179 59 59 1 1 7 180 00 04 4 16 179 59 52 8 64 8 179 59 57 3 9 180 00 00 0 0 9 179 59 58 2 4 179 59 57 3 9 10 180 00 03 3 9 180 00 01 1 1 24 72 24 130 中误差 7 2 2 1 n m 6 3 2 2 n m 4 2 21 n 16 1 21 21 2 1 dxxf xx dxxfxXxP x x xf 如果函数如果函数是是连续型连续型 随机变量随机变量X X的分布密度函数的分布密度函数 概率概率概率概率 17 正态分布正态分布正态分布正态分布 2 2 2 2 2 2 1 1 0 0 2 1 x x exf x exf 则 若 18 m m1 1较小 误差分布比较集中 观测值精度较高 m 较小 误差分布比较集中 观测值精度较高 m2 2较大 误差分布比较离散 观测值精度较低 较大 误差分布比较离散 观测值精度较低 两组观测值中误差图形的比较 两组观测值中误差图形的比较 m m1 1 2 7 m 2 7 m2 2 3 6 3 6 19 正态分布的特征正态分布的特征正态分布的特征正态分布的特征 正态分布密度以正态分布密度以为对称轴为对称轴 并在并在处处 达到最大 达到最大 当当时 时 f x 0f x 0 所以所以f x f x 以以x x轴为渐近轴为渐近 线 线 用求导方法可知 在用求导方法可知 在处处f x f x 有两个拐有两个拐 点 点 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机对分布密度在某个区间内的积分就等于随机 变量在这个区间内取值的概率变量在这个区间内取值的概率 x x x x 20 9973 0 33 9545 0 22 6826 0 1 3 3 2 2 2 2 XPxf XPxf XPxf xf X NX 的正态分布为 服从参数随机变量 时当 21 1 21 21 2 1 dxxf xx dxxfxXxP x x xf 随机变量随机变量X X在区间 在区间 x x 1 1x x2 2 之之 间的间的概率概率为为 则函数则函数是连续型随是连续型随 机变量机变量X X的的分布密度函数分布密度函数 如果如果 就得就得正态分布正态分布 区别错误与误差的阀值区别错误与误差的阀值区别错误与误差的阀值区别错误与误差的阀值 2 2 2 2 1 x exf 22 三 极限误差三 极限误差 2 2 2 2 1 0 x exf 则 若 9973 0 9545 0 6826 0 3 3 2 2 xf xf XPxf 23 m2 允 m3 允 或 24 但大多数被观测对象的真值不但大多数被观测对象的真值不 知 任何评定观测值的精度 知 任何评定观测值的精度 即 即 m m 寻找最接近真值的值寻找最接近真值的值x x 6 6 3观测值的算术 平均值及改正值 25 集中趋势的测度 最优值 集中趋势的测度 最优值 集中趋势的测度 最优值 集中趋势的测度 最优值 中位数中位数 设把 设把n n个观测值按大小排列 这个观测值按大小排列 这 时位于最中间的数就是时位于最中间的数就是 中位数中位数 众数众数 在 在n n个数中 重复出现次数最多的个数中 重复出现次数最多的 数就是数就是 众数众数 切尾平均数切尾平均数 去掉去掉 l lmax max l l minmin以后的平均 以后的平均 数 数 x n l n i i l 1算术平均数 满足最小二乘原则的最优解 26 x n l n l n i i l 1 一 算术平均 值 满足最小二乘原则的最优解 27 nn lX lX lX L 22 11 证明 证明 证明 证明 x x是最或然值 是最或然值 是最或然值 是最或然值 将上列等式相加 并除以将上列等式相加 并除以n n 得到得到 X n l n n n l X n n lim 0 lim 4 特性更据偶然误差第 x n l 28 二 观测值的改正值二 观测值的改正值二 观测值的改正值二 观测值的改正值 若被观测对象的真值不知若被观测对象的真值不知 则取平均数则取平均数 为最优解为最优解x x iii lxllv l 改正值的特性 0 i vv 定义改正值似真差 满足最小二乘原则的最优解 0l 2 2 xv dx vvd min iiv v 最小二乘 0 i lx x n l 29 6 6 4 4观测值的精度评定观测值的精度评定观测值的精度评定观测值的精度评定 标准差可按下式计算标准差可按下式计算 1 1 2 n v m n i i 1 1 2 2 n v n i i 中误差 30 证明证明证明证明 将上列左右两式相减 得将上列左右两式相减 得 nn lX lX lX L 22 11 nn lxv lxv lxv L 22 11 22 11 xXv xXv xXv nn L 31 分别取平方分别取平方分别取平方分别取平方 222 2xXxXvv ii i 取和 2 2 xXnxXvvv 2 xXnvv 0 v 32 取和取和取和取和 22 13121 2 22 2 2 1 2 2 2 2 nn nn xX n xX xXnxXnv nn n L L xXv ii 对 1 2 n vv n n vvxXnvv 代入前式代入前式 33 计算标准差例子计算标准差例子计算标准差例子计算标准差例子 毫米16 3 2 32 6 15 40 452 123 m n l l 次序 观测值 l 改正数 v vv 1 123 457 5 25 2 123 450 2 4 3 123 453 1 1 4 123 449 3 9 5 123 451 1 1 和 123 452 0 40 34 小结小结小结小结 一 已知真值一 已知真值X X 则则 真误差真误差 一 真值不知 则一 真值不知 则 ii lX n m i lx i v n l x 1 n vv m 二 中误差二 中误差 35 6 6 5 5误差传播定律误差传播定律误差传播定律误差传播定律 已知 已知 mmx1 x1 m mx2 x2 mmxn xn 求 求 mm y y 21 xxfy 设有函数式 n m yy y y 36 观测值函数的中误差 误差传播定律 一 观测值的函数一 观测值的函数 例 例 高差 cos sin sin 1 21 Dx ba dMD sss n S bah n L 平均 平均距离 实地距离 三角边 和或差函数 线性函数 倍数函数 一般函数 坐标增量一般函数 37 二 几种常用函数的中误差二 几种常用函数的中误差 一 和 差 函数 一 和 差 函数 yxz 已知 mx my 求 mz n m zz z yyxxzz yxz 38 二 几种常用函数的中误差 一 和 差 函数 二 几种常用函数的中误差 一 和 差 函数yxz 已知 mx my 求 mz yxz 111 yxz 222 yxz MM M nnn yxz 222 2yyxxz 2 111 2 1 2 1 2yyxxz 2 222 2 2 2 2 2yyxxz MMM 222 2 nnnnn yyxxz 和和 2 222 yyxxz 39 二 几种常用函数的中误差 一 和差函数 二 几种常用函数的中误差 一 和差函数yxz 已知 mx my 求 mz yxz 222 2yyxxz 和和 2 222 yyxxz n y n yx n x n z 2 222 2 z m 2 x m 2 y m 0 222 yxz mmm 40 二 几种常用函数的中误差 一 和差函数 二 几种常用函数的中误差 一 和差函数yxz 已知 mx my 求 mz 222 yxz mmm yxz 41 二 几种常用函数的中误差 一 和差函数 二 几种常用函数的中误差 一 和差函数yxz 已知 mx my 求 mz yxz 222 2yyxxz 和和 2 222 yyxxz n y n yx n x n z 2 222 2 z m 2 x m 2 y m0 222 yxz mmm 42 二 几种常用函数的中误差 二 倍乘函数 二 几种常用函数的中误差 二 倍乘函数 kxz 已知 mx 求 mz n m zz z xkz 11 xkz 22 xkz M M 22 xkz 2 1 22 1 xkz 2 2 22 2 xkz 222 nn xkz M M 222 xkz 和 平方 43 二 几种常用函数的中误差 二 倍乘函数 二 几种常用函数的中误差 二 倍乘函数 kxz 已知 mx 求 mz n m zz z xkz 222 xkz n xk n z 22 2 222 xz mkm xz mkm 44 m2 0m5 168 m2 0mm2002 010001000 1000 222 S mm mm lS lS 即 lS 1000解 解 例例 量得地形图上两点间长度 168 5mm 0 2mm 计算该两点实地距离S及其中误差ms l1000 1 列函数式 中误差式 45 二 几种常用函数的中误差二 几种常用函数的中误差 三 线性函数三 线性函数 nn xkxkxkz L 2211 已知 mxi 求 mz 222 xy mkm iii xky 令 n yyyz L 21 22 2 2 1 2 n yyyz mmmmL 222 2 2 2 2 1 2 1 2 n xnxxz mkmkmkmL 46 三 线性函数三 线性函数 nn xkxkxkz L 2211 222 2 2 2 2 1 2 1 2 n xnxxz mkmkmkmL 特殊 n lll x n L 21 mmmm n L 21 2 2 2 2 2 2 12 2 111 n x m n m n m n mL 2 1 m n n m mx xi为独立独立观测值 47 例例6 6距离误差距离误差 例 例 对某距离用精密量距方法丈量六次 求 该距离的算术 平均值 观测值的中误差 算术平均值的中误 差 算术平均值的相对中误差 x x m MxM 凡是相对中误差 都必须用分子为1的分数表示 48 二二二二 误差传播误差传播误差传播误差传播 定律定律定律定律 四 一般函数的中误差公式 四 一般函数的中误差公式 误差传播定律误差传播定律 设有函数 21n xxxfZL xi为独立独立观测值 对上式上式线性化 n n n dx x f dx x f dx x f xxxfZ LL 2 2 1 1 00 2 0 1 nn n dxfdxfdxfxxxf LL 2211 00 2 0 1 Q iii dxxx 0 i dx i x mm 222 2 2 2 1 22 1 2 n xnxxz mfmfmfm L 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 n xxxz m x f m x f m x f m L 49 中误差关系式中误差关系式中误差关系式中误差关系式 小结小结 第一步 写出函数式第一步 写出函数式 第二步 写出全微分式第二步 写出全微分式 线性化线性化 第三步 写出中误差关系式第三步 写出中误差关系式 注意 注意 只有自变量微分之间相互独立才可以进只有自变量微分之间相互独立才可以进 一步写出中误差关系式一步写出中误差关系式 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 nny mfmfmfm 50 观测值函数中误观测值函数中误 差公式汇总差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式函数的中误差 一般函数 倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 21n xxxFZL 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n Z m x F m x F m x F m LL xxZ KmmKmKxZ 22 n xxxZ LL 21 nmmZ nnx kxkxkZ LL 2211 222 2 2 2 2 1 2 1nnZ mkmkmkm L nnnnn l lllx 1 2 1 1 1 LL n m m X 51 例例已知某矩形长a 500米 宽b 400米 ma mb 0 02cm 求矩形的面积中误差mp 三 几种常用函数的中误差三 几种常用函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤 求观测值函数中误差的步骤 1 列出函数式 2 对函数式线性化 全微分 3 套用误差传播定律 写出中误差式 abP adbbdadP 2222 bap mambm 22 02 0500 02 0400 222 8 12108m 52 例题例题例题例题 已知已知 有有 求 求 mmmm 3 180 f f m 222 9 1 f mmm 22222 3mmmmmf 2222 3 4 3 9 1 mmmm 错误 53 例题例题例题例题 已知已知 有 有 求 求 mmmm 3 180 f f m mmm mmmmm 3 2 9 6 9 6 9 1 9 1 9 4 60 333 22222 54 观测值 斜距观测值 斜距S S和竖直角和竖直角v v 待定值 待定值 水平距离水平距离DD 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 cos sincos sincos cos vSD vSD mhmvm mvSmvm dvvSdsvdD vSD 或 三 二 一 6 6 6 误差传布定律 应用举例 55 6 6 6 6 误差传播定律应用误差传播定律应用 观测值 斜距观测值 斜距S S和竖直角和竖直角v v 待定值 待定值 高差高差h h 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 sin cossin cossin sin vSh vSh mDmvm mvSmvm dvvSdsvdh vSh 或 三 二 一 56 误差传播定律误差传播定律误差传播定律误差传播定律 应用举例应用举例应用举例应用举例 算术平均值算术平均值 已知 已知 mm 1 1 m m 2 2 mm n n m m 求 求 mm x x n lll x n L 21 m n m n m n m n m dl n dl n dl n dx nx n 1 1 1 1 111 222 2 22 1 2 21 L L 57 算例 用三角形闭合差求测角中误差算例 用三角形闭合差求测角中误差算例 用三角形闭合差求测角中误差算例 用三角形闭合差求测角中误差 次序观测值 l 1180 00 10 3 10 3106 1 2179 59 57 2 2 87 8 3179 59 49 0 11 0121 4180 00 01 5 1 52 6 5180 00 02 6 2 66 8 S 1 6244 3 秒0 7 5 3 244 m CBA 2 2 3mm mm3 秒0 43 mm 58 误差传播定律的应用误差传播定律的应用 解 解 由题意 每个角的测角中误差 3 4 3 5 7 x m 测回即4 3 4 5 8 5 8 3 4 2 2 n nn m mx 由于DJ6一测回角度中误差为 由角度测量n测回取平均值的中误差公式 5 82 6 m 例 例 要求三角形最大闭合差 问用DJ6经 纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回 15 f 5 7 152 ff mmf则 1 2 3 3 180 321 xf mm f 用DJ6经纬仪观测三角形内角时 每个内角观测 4个测回取平均 可使得三角形闭合差 15 f 59 D M P x y cos sin xD yD X Y O 由误差传播定律 2 2 22 2 2 22 20 cossincos72 20 40240sin72 20 25 3 206 3 20 sincossin72 20 40240cos72 20 38 8 206 3 xD yD m mmDmm m mmDmm 解 解 180 206265 P点的点位中误差 2222 25 338 346 3 Pxy Mmmmm 例例9 已知直线MP的坐标方位角 72 20 00 水平距离D 240m 如已知方位角中误差 距离中误差 求由此引起的P点的坐标中误差 以及P点的点位中误差 20 m 40 D mmm x m y m P M cossin sincos d Ddd d Ddd Dy Dx 60 6 6 7 7加权平均数及其中误差加权平均数及其中误差加权平均数及其中误差加权平均数及其中误差 现有三组观测值 计算其最或然值现有三组观测值 计算其最或然值 A A组 组 123 34 123 39 123 35123 34 123 39 123 35 B B组 组 123 31 123 30 123 39 123 32123 31 123 30 123 39 123 32 C C组 组 123 34 123 38 123 35 123 39 123 32123 34 123 38 123 35 123 39 123 32 各组的平均值各组的平均值A A组 组 123 360123 360 B B组 组 123 333123 333 C C组 组 123 356123 356 A l C l B l 3 CBA lll x x 61 加权平均数加权平均数加权平均数加权平均数 各组的平均及其权各组的平均及其权 A A组 组 123 360 123 360 权权P P A A 3 3 B B组 组 123 333 P123 333 P B B 4 4 C C组 组 123 356 P123 356 P C C 5 5 A l C l B l 12 12874321 lllllll x LL C P B P A P 543 lPlPlP lll CCBBA ACBA 543 62 一 权与中误差一 权与中误差一 权与中误差一 权与中误差 ll C B A A A pmm mm mm mm mm llll 5 4 3 9 3 3 2 2 321 平均数的权平均数的权p p A A 3 3 平均数的中误差平均数的中误差 mm 单位权中误差单位权中误差 权与误差的平方成反比权与误差的平方成反比 2 2 l l m m p 63 二 加权平均数二 加权平均数二 加权平均数二 加权平均数 i ii n nn p lp ppp lplplp x L L 21 2211 n l x pp i i 当 64 三 加权平均值的中误差三 加权平均值的中误差三 加权平均值的中误差三 加权平均值的中误差 C S C B S B A S A S ii i ii l P p l P p l P p P lp p lp x s x p m m ppP sx 2 2 2 2 2 2 2 C S C B S B A S A x m P p m P p m P p m 2 2 2 2 2 2 2 CS C BS B AS A x p m P p p m P p p m P p m SS C S B S A x P m m P p m P p m P p m 2 2 2 2 2 2 2 2 65 四 单位权中误差的计算四 单位权中误差的计算四 单位权中误差的计算四