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方差与标准差 问题引入 1 有甲 乙两种钢筋 现从中各抽取一个标本 如表 检查它们的抗拉强度 单位 kg mm2 2 问题 哪种钢筋的质量较好 由图可以看出 乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110 最大值145高于甲样本的最大值135 这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定 极差 一组数据的最大值与最小值的差 极差越大 数据越分散 越不稳定 极差越小 数据越集中 越稳定 极差体现了数据的离散程度 运用极差对两组数据进行比较 操作简单方便 但如果两组数据的集中程度差异不大时 就不容易得出结论 考察样本数据的分散程度的大小 最常用的统计量是方差和标准差 我们还可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差 离差越小 稳定性就越高 结合上节有关离差的讨论 我们可用各次抗拉强度与平均抗拉强度的平方和表示 由于两组数据的容量可能不同 因此应将上述平方和除以数据的个数 我们把由此得到的值称为这组数据的方差 因为方差与原始数据的单位不同 且平方后可能夸大了离差的程度 我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差 建构数学 标准差 标准差也可以刻画数据的稳定程度 方差和标准差的意义 描述一个样本和总体的波动大小的特征数 方差或标准差大说明波动大 数学运用 例1 甲 乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下 单位 t hm2 试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定 解 甲品种的样本平均数为10 样本方差为 9 8 10 2 9 9 10 2 10 1 10 2 10 10 2 10 2 10 2 5 0 02 乙品种的样本平均数也为10 样本方差为 9 4 10 2 10 3 10 2 10 8 10 2 9 7 10 2 9 8 10 2 5 0 24因为0 24 0 02 所以 由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定 例2 为了保护学生的视力 教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换 已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下 试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差 练习 1 课本第68页练习第1 2 3 4题 2 在一次歌手大奖赛上 七位评委为歌手打出的分数如下 9 4 8 4 9 4 9 9 9 6 9 4 9 7 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平
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