2011年高考试题——文数(陕西卷).pdf

1 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 陕西卷年普通高等学校招生全国统一考试 陕西卷 文科文科 全解全析全解全析 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 设a b 是向量 命题 若ab 则 ab 的逆命题是 A 若ab 则 ab B 若ab 则 ab C 若 ab 则ab D 若 ab 则ab 分析 首先确定原命题的条件和结论 然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题 解 选 D 原命题的条件是ab 作为逆命题的结论 原命题的结论是 ab 作为逆 命题的条件 即得逆命题 若 ab 则ab 故选 D 2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为2x 则抛物线的方程是 A 2 8yx B 2 4yx C 2 8yx D 2 4yx 分析 由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键 解 选 C 由准线方程2x 得2 2 p 且抛物线的开口向右 或焦点在x轴的正半轴 所以 2 28ypxx 3 设0ab 则下列不等式中正确的是 A 2 ab abab B 2 ab aabb c 2 ab aabb D 2 ab abab 分析 根据不等式的性质 结合作差法 放缩法 基本不等式或特殊值法等进行比较 解 选B 方 法 一 已 知ab 和 2 ab ab 比 较a与ab 因 为 22 0aaba ab 所以aab 同理由 22 0babb ba 得abb 作差法 0 22 abba b 所以 2 ab b 综上可得 2 ab aabb 故选 B 方 法二 取2a 8b 则4ab 5 2 ab 所以 2 ab aabb 4 函数 1 3 yx 的图像是 2 分析 已知函数解析式和图像 可以用取点验证的方法判断 解 选 B 取 1 8 x 1 8 则 1 2 y 1 2 选项 B D 符合 取1x 则1y 选项 B 符合题意 二 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 6 2 8 3 7 8 3 8 8 2 9 2 3 分析 根据已知的三视图想象出空间几何体 然后由几何体的组成和有关几何体体积公式 进行计算 解 选 A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体 即一个正方体中间去掉一个圆锥体 所以它的体积是 32 18 2228 33 V 6 方程cosxx 在 内 A 没有根 B 有且仅有一个根 C 有且仅有两个根 D 有无穷多个根 分析 数形结合法 构造函数并画出函数的图象 观察直观判断 解 选 C 构造两个函数 yx 和cosyx 在同一个坐标系内画出它们的图像 如图所 示 观察知图像有两个公共点 所以已知方程有且仅有两个根 3 7 如右框图 当 12 6 9 xx 8 5p 时 3 x等于 A 7 B 8 C 10 D 11 分析 按照程序框图的逻辑顺序进行计算 解 选 B 12 6 9 xx 3 9 3x 又8 5p 12 7 5 2 xx 显然 3 9 3x 不成立 即为 否 有 3 9 3x 即 3 612x剟 此时有 3 9 8 5 2 x 解得 3 8x 符合题意 故选 B 8 设集合 22 cossin My yxx xR 1 x Nx i i为虚数单位 x R 则MN 为 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 0 1 分析 确定出集合的元素是关键 本题综合了三角函数 复数的 模 不等式等知识点 解 选 C 22 cossin cos2 0 1 yxxx 所以 0 1 M 因为 1 x i 即 1xi 所以 1x 又因为x R 所以11x 即 1 1 N 所 以 0 1 MN 故选 C 9 设 1122 x yxy nn xy是变量x和y的n个样本点 直线l是由这些样本点通 过最小二乘法得到的线性回归直线 如图 以下结论正确的是 A 直线l过点 x y B x和y的相关系数为直线l的斜率 C x和y的相关系数在 0 到 1 之间 4 D 当n为偶数时 分布在l两侧的样本点的个数一定相同 分析 根据最小二乘法的有关概念 样本点的中心 相关系数线 性回归方程的意义等进 行判断 解 选 A 选项 具体分析 结论 A 回归直线l一定过样本点中心 x y 由回归直线方程的计算公式 aybx 可知直线l必过点 x y 正确 B 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度 直线的斜率表示直线的倾斜 程度 它们的计算公式也不相同 不正确 C 相关系数的值有正有负 还可以是 0 当相关系数在 0 到 1 之间时 两个 变量为正相关 在1 到 0 之间时 两个变量负相关 不正确 D l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关 也不一定是平均分布 不正确 10 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵树相距 10 米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 现将树坑从 1 到 20 依次编号 为使各位同学从各 自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小 树苗可以放置的两个最佳 坑位的编号为 A 和 B 和 C 和 D 和 分析 根据选项分别计算四种情形的路程和 或根据路程和的变化规律直接得出结论 解 选 D 方法一 选项 具体分析 结论 A 和 10 1219 23800 比较各个 路程和可 知 D 符合 题意 B 10 128 2 1211 2 2040 10 129 10 1210 2 2000 C 10 129 10 1210 2 2000 D 和 路程和都是 2000 方法二 根据图形的对称性 树苗放在两端的树坑旁边 所得路程总和相同 取得一个最 值 所以从两端的树坑向中间移动时 所得路程总和的变化相同 最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时 所得的路程总和达到另一个最值 所以计算两个路程和进行比较即可 树苗放 在第一个树坑旁 则有路程总和是10 1219 2 19 1 19 1023800 2 树苗 放 在 第10个 或 第11个 树 坑 旁 边 时 路 程 总 和 是 5 10 129 10 1210 2 9 1 9 10 1 10 102 102 22 900 11002000 所以路程总和最小为 2000 米 二 填空题 把答案填在答题卡相应题号后的横线上 二 填空题 把答案填在答题卡相应题号后的横线上 本大题共本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 分 11 设 lg 0 10 0 x x x f x x 则 2 f f 分析 由2x 算起 先判断x的范围 是大于 0 还是不大于 0 再判断 2 f 作为自 变量的值时的范围 最后即可计算出结果 解 20 x 2 1 2 100 100 f 所 以 22 10 lg102f 即 2 2f f 答案 2 12 如图 点 x y在四边形 ABCD 内部和边界上运动 那么2xy 的最小值为 分析 本题为线性规划问题 采用数形结合法解答 解答本题的关键是确 定目标函数过哪一个点时取得最小值 解 目标函数2zxy 当0 x 时 zy 所以当y取得最大值时 z的值最小 移动直线20 xy 当直线移动到过点 A 时 y最大 即z 的值最小 此时2 1 11z 答案 1 13 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第五个等式应为 分析 归纳总结时 看等号左边是子的变化规律 右边结果的特点 根据以上规律写出第 五个等式 注意行数 项数及其变化规律是解答本题的关键 解 把已知等式与行数对应起来 则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n 加数的 个数是21n 等式右边都是完全平方数 行数 等号左边的项数 1 1 1 1 6 2 3 4 9 2 3 3 4 5 6 7 25 3 5 4 5 6 7 8 9 10 49 4 7 则第 5 行等号的左边有 9 项 右边是 9 的平方 所以 2 56 5 2 5 1 1 9 即561381 答案 56789 10 11 12 1381 或561381 14 设nN 一元二次方程 2 40 xxn 有整数 根的充要条件是n 分析 直接利用求根公式进行计算 然后用完全平方数 整除等进行判断计算 解 4164 2 n x 24n 因为x是整数 即24n 为整数 所以4n 为 整数 且4n 又因为nN 取1 2 3 4n 验证可知3 4n 符合题意 反之3 4n 时 可推出一元二次方程 2 40 xxn 有整数 根 答案 3 或 4 15 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题评分 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题评分 A 不等式选做题 若不等式 1 2 xxa 对任意x R 恒成立 则a的取值范围 是 分析 先确定 1 2 xx 的取值范围 则只要a不大于 1 2 xx 的最小值即可 解 当1x 时 1 2 12213xxxxx 当12x 时 1 2 123xxxx 当2x 时 1 2 12213xxxxx 综上可得 1 2 3xx 所以只要3a 即实数a的取值范围是 3 答案 3 B 几何证明选做题 如图 B D AEBC 90ACD 且 AB 6 AC 4 AD 12 则 AE 分析 寻找两个三角形相似的条件 再根据相似三角形的对应边成比例求解 解 因为AEBC 7 所以 AEB 90ACD 又因为 B D 所以 AEB ACD 所以 ACAD AEAB 所以 6 4 2 12 AB AC AE AD 答案 2 C 坐标系与参数方程选做题 直角坐标系xOy中 以原点 O 为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标 系 设点 A B 分别在曲线 1 C 3cos sin x y 为 参数 和曲线 2 C 1 上 则 AB的最小值 为 分析 利用化归思想和数形结合法 把两条曲线转化为直角坐标系下的方程 解 曲线 1 C的方程是 22 3 1xy 曲线 2 C的方程是 22 1xy 两圆外离 所以 AB 的最小值为 22 301 11 答案 1 3 解答题 接答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 解答题 接答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分 分 P 本小题满分 12 分 如图 在 ABC 中 ABC 45 BAC 90 AD 是 BC 上的高 沿 AD 把 ABD 折起 使 BDC 90 1 证明 平面 平面 2 设 BD 1 求三棱锥 D 的表面积 分析 1 确定图形在折起前后的不变性质 如角的大小不变 线段长度不变 线线关系 不变 再由面面垂直的判定定理进行推理证明 2 充分利用垂直所得 的直角三角形 根据直角三角形的面积公式计算 解 1 折起前 是 边上的高 当 折起后 AD AD 又 DB 平面 又 AD 平面 BDC 平面 ABD 平面 BDC 2 由 1 知 DADB DBDC DCDA 8 DB DA DC 1 AB BC CA 2 11 1 1 22 DAMDBCDCA SSS 13 22sin60 22 ABC S 三棱锥 D 的表面积是 1333 3 222 S 17 本小题满分 12 分 设椭圆C 22 22 10 xy ab ab 过点 0 4 离心率为 3 5 1 求C的方程 2 求过点 3 0 且斜率为 4 5 的直线被C所截线段的中点坐标 分析 1 由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组 解方程组即可 也可以分 步求解 2 直线方程和椭圆方程组成方程组 可以求解 也可以利用根与系数关系 然后 利用中点坐标公式求解 解 1 将点 0 4 代入C的方程得 2 16 1 b b 4 又 3 5 c e a 得 22 2 9 25 ab a 即 2 169 1 25a 5a C的方程为 22 1 2516 xy 2 过点 3 0且斜率为 4 5 的直线方程为 4 3 5 yx 设直线与 的交点为 11 x y 22 xy 将直线方程 4 3 5 yx 代入 的方程 得 2 2 3 1 2525 xx 即 2 380 xx 解得 1 341 2 x 2 341 2 x AB 的中点坐标 12 3 22 xx x 12 12 26 6 255 yy yxx 9 即所截线段的中点坐标为 36 25 注 注 用韦达定理正确求得结果 同样给分 18 本小题满分 12 分 叙述并证明余弦定理 分析 本题是课本公式 定理 性质的推导 这是高考考查的常规方向和考点 引导考生 回归课本 重视基础知识学习和巩固 解 叙述 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦之积的两倍 或 在 ABC 中 a b c 为 A B C 的对边 有 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 证明 证法一 如图 2 cBC ACABACAB 22 2ACACABAB 22 2cosACACABAAB 22 2cosbbcAc 即 222 2cosabcbcA 同理可证 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 证法二 已知ABC 中 A B C所对边分别为 a b c 以A为原点 AB所在直线为x 轴建立直角坐标系 则 cos sin 0 C bA bA B c 222222222 cos sin cos2cossinaBCbAcbAbAbcAcbA 22 2cosbcbcA 即 222 2cosabcbcA 同理可证 222 2cosbcacaB 10 222 2coscababC 19 本小题满分 12 分 如图 从点 1 0 0 P做 x 轴的垂线交曲线 x ye 于点 1 0 1 Q曲线在 1 Q点处的切线与 x 轴交于 点 2 P 再从 2 P做 x 轴的垂线交曲线于点 2 Q 依次重复上述过程得到一系列点 1122 nn PQ PQP Q记 k P点的坐标为 0 1 2 k xkn 试求 1 x与 1k x 的关系 2 kn 求 112233 nn PQPQPQPQ 分析 1 根据函数的导数求切线方程 然后再求切线与x轴的交点 坐标 2 尝试求出通项 nn PQ的表达式 然后再求和 解 设 11 0 kk Px 由 x ye 得 1 11 k x kk Qxe 点处切线方程为 11 1 kk xx k yeexx 由0y 得 1 1 2 kk xxkn 11 0 1 kk xxx 得 1 k xk 1 k xk kk PQee 112233 nnn SPQPQPQPQ 1 12 1 1 1 1 11 nn n eee eee ee 20 本小题满分 13 分 如图 A 地到火车站共有两条路径 1 L和 2 L 现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进 行调查 调查结果如下 所用时间 分钟 10 2020 3030 4040 5050 60 选择 1 L的人数 6 12 18 12 12 选择 2 L的人数 0 4 16 16 4 1 试估计 40 分钟内不能 赶到火车站的概率 11 2 分别求通过路径 1 L和 2 L所用时间落在上表中各时间段内的 频率 3 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站 试通过计算说明 他们应如何选择各自的路径 分析 1 读懂数表 确定不能赶到火车站的人数所在的区间 用相应的频率作为所 求概率的估计值 2 根据频率的计算公式计算 3 计算选择不同的路径 在允许的时间 内赶往火车站的概率 通过比较概率的大小确定选择的最佳路径 解 1 由已知共调查了 100 人 其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12 12 16 4 44 人 用频率估计相应的概率为 0 44 2 选择 1 L的有 60 人 选择 2 L的有 40 人 故由调查结果得频率为 所用时间 分钟 10 2020 3030 4040 5050 60 选择 1 L的人数 0 1 0 2 0 3 0 2 0 2 选择 2 L的人数 0 0 1 0 4 0 4 0 1 3 用 1 A 2 A分别表示甲选择 1 L和 2 L时 在 40 分钟内赶到火车站 用 1 B 2 B分别表 示乙选择 1 L和 2 L时 在 50 分钟