2012年北京高考数学试题(理数).pdf

2012 年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷 数学 理科 本试卷共5页 150分 考试时长120分钟 考试生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 选择题共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合胜目要求 的一项 1 已知集合 A x R 3x 2 0 B x R x 1 x 3 0 则 A B A 1 B 1 2 3 C 2 3 3 D 3 解析 和往年一样 依然的集合 交集 运算 本次考查的是一次和二次不等式的解法 因 为 3 2 023 xxRxA 利用二次不等式可得1 x画出数 轴易得 3 xxBA 故选 D 答案 D 2 设不等式组 20 2 0 y x 表示平面区域为 D 在区域 D 内随机取一个点 则此点到坐标 原点的距离大于 2 的概率是 A 4 B 2 2 C 6 D 4 4 解析 题目中 20 20 y x 表示的区域如图正方形所示 而动点 D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分 因此 4 4 22 2 4 1 22 2 P 故选 D 答案 D 3 设 a b R a 0 是 复数 a bi 是纯虚数 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 当0 a时 如果0 b同时等于零 此时0 bia是实数 不是纯虚数 因此不 是充分条件 而如果bia 已经为纯虚数 由定义实部为零 虚部不为零可以得到0 a 因此想必要条件 故选 B 答案 B 4 执行如图所示的程序框图 输出的 S 值为 A 2B 4C 8D 16 解析 0 k 11 ks 21 ks 22 ks 8 s 循环结束 输 出的 s 为 8 故选 C 答案 5 如图 ACB 90 CD AB 于点 D 以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E 则 A CE CB AD DBB CE CB AD AB C AD AB CD D CE EB CD 解析 在ACB 中 ACB 90 CD AB 于点 D 所以DBADCD 2 由切割线定 理的CBCECD 2 所以 CE CB AD DB 答案 A 6 从 0 2 中选一个数字 从 1 3 5 中选两个数字 组成无重复数字的三位数 其中奇数的个数为 A 24B 18C 12D 6 解析 由于题目要求的是奇数 那么对于此三位数可以分成两种情况 奇偶奇 偶奇奇 如果是第一种奇偶奇的情况 可以从个位开始分析 3 种选择 之后十位 2 种选择 最后百 位 2 种选择 共 12 种 如果是第二种情况偶奇奇 分析同理 个位 3 种情况 十位 2 种 情况 百位 不能是 0 一种情况 共 6 种 因此总共 12 6 18 种情况 答案 B 7 某三棱锥的三视图如图所示 该三梭锥的表面积是 A 28 65B 30 65C 56 125D 60 125 解析 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥 如图所示 图中蓝色数字所表示的为 直接从题目所给三视图中读出的长度 黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长 本题 所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和 利用垂直关系和三角形面积公式 可得 10 底 S 10 后 S 10 右 S 56 左 S 因 此 该 几 何 体 表 面 积 5630 左右后底 SSSSS 故选 B 答案 B 8 某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示 从目前记录的结果看 前 m 年的年 平均产量最高 m 值为 A 5B 7C 9D 11 解析 由图可知 6 7 8 9 这几年增长最快 超过平均值 所以应该加入 因此选 C 答案 C 第二部分 非选择题共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 直线t ty tx 1 2 为参数 与曲线 sin3 cos3 y x 为参数 的交点个数为 解析 直线的普通方程01 yx 圆的普通方程为9 22 yx 可以直线圆相交 故有 2 个交点 答案 2 10 已知 n a等差数列 n S为其前 n 项和 若 2 1 1 a 32 aS 则 2 a 解析 因为 2 1 2 111132132 addadaaaaaaS 所以1 12 daa nndnnnaSn 4 1 4 1 1 2 1 答案 1 2 a nnSn 4 1 4 1 2 11 在 ABC 中 若a 2 b c 7 cosB 4 1 则 b 解析 在 ABC 中 利用余弦定理 c bcbc ac bca B 4 4 4 1 2 cos 222 c bc 4 74 化简得 0478 bc 与题目条件7 cb联立 可解得 2 4 3 a b c 答案 4 12 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 过抛物线 4x 的焦点 F 且与该撇物线相交于 A B 两点 其中点 A 在 x 轴上方 若直线 l 的倾斜角为 60 则 OAF 的面积为 解析 由xy4 2 可求得焦点坐标 F 1 0 因为倾斜角为 60 所以直线的斜率为 360tan k 利用点斜式 直线方程为33 xy 将直线和曲线联立 3 32 3 1 32 3 4 33 2 B A xy xy 因此3321 2 1 2 1 AOAF yOFS 答案 3 13 已知正方形 ABCD 的边长为 1 点 E 是 AB 边上的动点 则CBDE 的值为 DCDE 的最大值为 解析 根据平面向量的数量积公式 DADECBDE cos DADE 由图可知 cos DADE 因此1 2 DACBDE cos DCDEDCDE cos DE 而 cos DE 就是向量DE在DC边上的射影 要想让DCDE 最大 即让 射影最大 此时 E 点与 B 点重合 射影为DC 所以长度为 1 答案 1 1 14 已知 3 2 mxmxmxf 22 x xg 若同时满足条件 Rx 0 xf或0 xg 4 x xf0 xg 则 m 的取值范围是 解析 根据022 x xg 可解得1 x 由于题目中第一个条件的限制Rx 0 xf或0 xg成立的限制 导致 x在1 x时必须是0 xf的 当0 m时 0 xf不能做到 xf在1 x时0 xf 所以舍掉 因此 xf作为二次函数开口只 能向下 故0 4 2 1 13 12 2 1 m m mx mx 和大前提0 m取交集结果为04 m 又由于条件 2 要求 4 x xgxf0 的限制 可分析得出在 4 x时 xf恒负 因 此就需要在这个范围内 xg有得正数的可能 即4 应该比 21 x x两根中小的那个大 当 0 1 m时 43 舍 当 1 4 m时 42 m 解得2 m 综上所述 2 4 m 答案 2 4 m lbylfx 三 解答题公 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 已知函数 x xxx xf sin 2sin cos sin 1 求 xf的定义域及最小正周期 2 求 xf的单调递增区间 解 1 sin0 xxkkZ 得 函数 f x的定义域为 x xkkZ sincos sin2 sincos 2cos sin xxx f xxxx x sin2 1 cos2 2sin 2 1 4 xxx 得 xf的最小正周期为 2 2 T 2 函数sinyx 的单调递增区间为 2 2 22 kkkZ 则 3 222 24288 kxkkxk 得 xf的单调递增区间为 3 88 kkkkkZ 16 本小题共 14 分 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 BC 3 AC 6 D E 分别是 AC AB 上的点 且 DE BC DE 2 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1C CD 如图 2 I 求证 A1C 平面 BCDE II 若 M 是 A1D 的中点 求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小 III 线段 BC 上是否存在点 P 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 说明理由 解 1 CDDE 1 A EDE DE 平面 1 ACD 又 1 AC 平面 1 ACD 1 AC DE 又 1 ACCD 1 AC 平面BCDE 2 如图建系Cxyz 则 200D 002 3A 030B 220E 1 032 3A B 1 210AE 设平面 1 A BE法向量为 nxyz 则 1 1 0 0 A B n A E n 32 30 20 yz xy 3 2 2 zy y x 123n 又 103M 103CM 1342 cos 2 143132 2 2 CM n CMn CM与平面 1 A BE所成角的大小45 3 设线段BC上存在点P 设P点坐标为 00a 则 03a z y x A1 0 0 2 3 D 2 0 0 E 2 2 0 B 0 3 0 C 0 0 0 M 则 1 02 3A Pa 20DPa 设平面 1 A DP法向量为 1111 nxyz 则 11 11 2 30 20 ayz xay 11 11 3 6 1 2 zay xay 1 363naa 假设平面 1 A DP与平面 1 A BE垂直 则 1 0nn 31230aa 612a 2a 03a 3 g xxbx 1 若曲线 yf x 与曲线 yg x 在它们的交点 1 c处具有公共切线 求a b的值 2 当 2 4ab 时 求函数 f xg x 的单调区间 并求其在区间 1 上的最大值 解 1 由 1c 为公共切点可得 2 1 0 f xaxa 则 2fxax 1 2ka 3 g xxbx 则 2 3fxxb 2 3kb 23ab 又 1 1fa 1 1gb 11ab 即ab 代入 式可得 3 3 a b 2 2 4ab 设 322 1 1 4 h xf xg xxaxa x 则 22 1 32 4 h xxaxa 令 0h x 解得 1 2 a x 2 6 a x 0a 26 aa 原函数在 2 a 单调递增 在 26 aa 单调递减 在 6 a 上单调递增 若 1 2 a 即2a 时 最大值为 2 1 4 a ha 若1 26 aa 即26a 解得 7 5 2 m 由韦达定理得 2 16 21 MN k xx k 2 24 21 MN x x k 设 4 NN N xk x 4 MM M xkx 1 G G x MB方程为 6 2 M M kx yx x 则 3 1 6 M M x G kx 3 1 6 M M x AG x k 2 NN ANxx k 欲证AGN 三点共线 只需证AG AN 共线 即 3 2 6 M NN M x x kx x k 成立 化简得 3 6 MNMN kk x xxx 将 代入易知等式成立 则AGN 三点共线得证 lby lfx 20 本小题共 13 分 设A是由m n 个实数组成的m行n列的数表 满足 每个数的绝对值不大于1 且所 有数的和为零 记 S m n为所有这样的数表组成的集合 对于 AS m n 记 i r A为A 的第i行各数之和 1im j cA为A的第j列各数之和 1jn 记 k A为 1 r A 2 r A m rA 1 c A 2 c A n c A中的最小值 1 对如下数表A 求 k A的值 110 8 0 10 3 1 2 设数表 2 3AS 形如 求 k A的最大值 3 给定正整数t 对于所有的 2 21ASt 求 k A的最大值 解 1 由题意可知 1 1 2r A 2 1 2rA 1 1 1cA 2 0 7cA 3 1 8cA 0 7k A 2 先用反证法证明 1k A 若 1k A 则 1 1 11cAaa 0a 同理可知0b 0ab 由题目所有数和为0 即1abc 11cab 11 c a b1 1221 121 1 22 ttt tt cAcAcA tt 下 面证 明 21 2 t t 是 最大 值 若 不然 则 存在 一个 数表 2 21 ASt 使得 21 2 t k Ax t 由 k A的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x 而两个绝对值不超过 1 的数的和 其绝对值不超过 2 故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间 2 x中 由于 1x 故A的每一列两个数符号均与列