2012年全国高考广东理科数学试题详细解析.pdf

2012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 广东理科数学试题详细解析广东理科数学试题详细解析 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设i为虚数单位 则复数 56i i A 65i 65i 65i 65i 答案答案 D 解析解析 解决本题的关键是分母实数化 2 2 5656 65 iii i ii 点评点评 本题属于简单题 主要考查复数的除法 分子分母同乘以分母的共轭复数 注意 运算准确 2 设集合 1 2 3 4 5 6 1 2 4UM 则 M U C A U B 1 3 5 C 3 5 6 D 2 4 6 答案答案 C 解析解析 在全集 U 中去掉含 M 的元素即得 3 5 6 U C M 点评点评 本题考查集合的运算 要求弄清补集的意义 用韦恩图来处理也是很好的方法 3 若向量 2 3 BA 4 7 CA 则BC A 2 4 B 2 4 C 6 10 D 6 10 答案答案 A 解析解析 2 4BCBAACBACA 点评点评 本题主要考查向量的线性运算 注意利用求和法则将所求与已知建立联系 4 下列函数中 在区间 0 上为增函数的是 A ln2yx B 1yx C 1 2 x y D 1 yx x 答案答案 A 解析解析 1yx 在区间 0 上为减函数 1 2 x y 在区间 0 上也为减函数 1 yx x 在区间 0 1上为减函数 在区间 1 上为增函数 点评点评 本题主要考查基本初等函数及复合函数的单调性 考察复合函数的单调性时 要把 复合函数拆成简单函数 再按照同增异减的原则进行判断 5 已知变量 x y满足约束条件 2 1 1 y xy xy 则3zxy 的最大值为 A 12 B 11 C 3 D 1 答案答案 B 解析解析 画准约束条件所表示的平面区域 令0z 得3yx 化目标函数为斜截式方程 3yxz 借助于图像可知 当3 2xy 时 max 11z 点评点评 本题主要考查线性规划问题 弄清意义 利用数学结合 准确作答 本题属于常规 题 估计下年高考也是重点考查的内容 6 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 A 12 B 45 C 57 D 81 答案答案 C 解析解析 三视图对应的实物图为 上部分为圆锥 下部分为圆柱 的几何体 易得圆锥的高为4 所以 22 1 343557 3 V 点评点评 本题主要考查三视图问题 是历年高考常考查考点 对本题而言难点是由三视图还 原为直观图和求圆锥的高这两点 有部分学生在这一题上会丢分 7 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 其中个位数为0的概率是 A 4 9 B 1 3 C 2 9 D 1 9 答案答案 D 解析解析 设个位数与十位数分别为 x y 则21 1 2 3 4 5 6 7 8 9xykk 所以 x y 分别为一奇一偶 第一类x为奇数 y为偶数 共有 11 45 20CC 个数 第二类x为偶数 y为奇数 共有 11 55 25CC 个数 故 个位数与十位数之和为奇数的两位数 的个数有252045 个 从中任取一个 个位数 为0的数有5个 故所求概率为 51 459 5 6 5 5 正视图 正视图 5 6 5 5 侧视图 侧视图 俯视图 第 6 题图 俯视图 第 6 题图 点评点评 本题主要考查概率及排列组合问题 此题看似简单 但知识考查点较多 又涉及到 分类与分步混合问题 对于计数原理及排列组合学的不好的同学难得分数 因而本题也就成 了得分率低的题了 从而也是有区分度的题 8 对任意两个非零的平面向量 和 定义 若平面向量 a b 满足0ab a 与b 的夹角0 4 且a b 和b a 都在集合 2 n nZ 中 则a b A 1 2 B 1 C 3 2 D 5 2 答案答案 C 解析解析 1 cos 2 ka a b b 2 cos 2 kb b a a 两式相乘得 2 12 cos 4 k k 因为 0 4 12 k k均为正整数 于是 12 2 cos1 22 k k 所以 12 24k k 所以 12 3 1kk 于是 3 2 a b 选 C 点评点评 二 填空题 本大题共 7 小题 考生答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 9 13 题 9 不等式21xx 的解集为 答案答案 1 2 x x 解析解析 当0 x 时 原不等式可化为21xx 解得x无解 当20 x 时 原不等式可化为21xx 解得 1 2 x 所以 1 2 2 x 当2x 时 原不等式可化为21xx 解得2x 综上知 1 2 x 故原不等式的解集为 1 2 x x 点评点评 本题主要考查含有绝对值不等式的解法 根据绝对值的意义 需进行分类讨论 10 6 2 1 x x 的展开式中 3 x的系数为 用数字作答 答案答案 20 解析解析 6 2 1 x x 的展开式第1r 项为 2612 3 166 1 rrrrr r TCxC x x 令1233r 得3r 所以 3 x的系数为 3 6 20C 点评点评 本题主要考查二项展开式定理及通项公式 易出错的地方是运算不准确 11 已知递增的等差数列 n a满足 2 132 1 4aaa 则 n a 答案答案 21n 解析解析 设等差数列 n a的公差为d 则 2 12 1 4dd 解得2d 因为等差数列 n a递增 所以2d 故21 n an 点评点评 本题主要考查等差数列的通项公式 关键是求基本量 1 a和d 建议在 2013 年的 复习中仍以等差数列及等比数列为重点 12 曲线 3 3yxx 在点 1 3处的切线方程为 答案答案 21yx 解析解析 点点 1 3在曲线 3 3yxx 上 2 31yx 所以由导数的几何意义可得切线的 斜率 12kf 又点斜式方程可得 点 1 3处的切线方程为21yx 点评点评 本题主要考查导数的几何意义及点斜式方程的求法 关键是求导 13 执行如图 2 所示的程序框图 若输入n的值为8 则输出s的值为 答案答案 8 是 否 输入 2 1 1iks 输出s 结束 开始 in 第 13 题图 第 13 题图 n 1 s i k s 2ii 1kk B 第 15 题图 第 15 题图 A C P O 解析解析 第一次循环得2 4 2sik 第二次循环得4s 6 3ik 第三次循环得 8 8 4sik 此时不满足8i 的最小正周期为10 1 求 的值 2 设 0 2 56516 5 5 35617 ff 求cos 的值 解析 考查三角函数的周期性 正 余弦函数的诱导公式 以及余弦的和角公式计算 1 最小正周期为10 得 2 10T 解得 1 5 2 所以函数 1 2cos 56 f xx 5 5 2cos 32 f 5 5 2cos 6 f 因为 0 2 由 56 5 35 f 得 3 cos 25 利用诱导公式得 3 sin 5 cos0 所以 4 cos 5 由 516 5 617 f 得 8 cos 17 15 sin 17 4831513 cos coscossinsin 51751785 点评点评 此题与 2011 年广东理科第 16 题很相似 与前三年三角考试试题变化不大 本题看似 简单 其实在 角 上还是做足了工夫 如果对角观察不细 或者有心理压力 此题也不好 得分 通过该题可以预测 2013 年高考对三角的考查仍然以三角恒等变换与三角函数图像与 性质及与解三角形是复习的重点 17 本小题满分 13 分 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示 其中成绩分组区间 是 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 求图中x的值 从成绩不低于80分的学生中随机选取2人 该2人中成绩在90分以上 含90分 的人数记为 求 的数学期望 解析 解析 由 0 006 30 010 054101x 解得0 018x 成绩不低于80分的学生人数有 500 0180 0061012 人 成绩在90分以上 含90分 的人数有50 0 006 103 人 随机变量 的可能取值为0 1 2 且 2 9 2 12 6 0 11 C P C 11 39 2 12 9 1 22 C C P C 2 3 2 12 1 2 22 C P C 所以 的分布列为 0 1 2 P 6 11 9 22 1 22 P A B C D E 第 18 题图 第 18 题图 的数学期望 6911 012 1122222 E 点评点评 本题主要考查了概率问题 离散型随机变量的分布列 要求学生能够读懂频率分布 直方图 弄清意义 正确求出随机变量取每一个值时的概率 18 本小题满分 13 分 如图所示 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD 点E在线 段PC上 PC 平面BDE 证明 BD 平面PAC 若1PA 2AD 求二面角BPCA 的正切值 解析 因为PA 平面ABCD BD 平面ABCD 所以PABD 又PC 平面BDE BD 平面BDE 所以PCBD 因为PAPCP 所以BD 平面PAC 由 可知BD 平面PAC 所以BDAC 又底面ABCD为矩形 从而底面ABCD为正方形 设ACBDO 连结OE 则 OEPC BOPC 所以BEO 为二面角BPCA 的平面角 在Rt PAC 中 由等面积法可得 11 1 2 22 2233 PA AC OE PC 又2BO 在Rt BOE 中 tan3 BO BEO OE 所以二面角BPCA 的正切值为3 点评点评 2012 年广东省立体几何试题是实行新课程标准以来最简单的一年 但是对于只会用 坐标法的同学来说 复杂的运算也会占用很多时间 19 本小题满分 14 分 设数列 n a的前n项和为 n S 满足 1 1 221 n nn SanN 且 123 5 a aa 成等 差数列 1 求 1 a的值 2 求数列 n a的通项公式 3 证明 对一切正整数n 有 12 1113 2 n aaa 解析 1 12 112 221 221 nn nnnn SaSa 相减得 1 21 32n nn aa 1n 时 1221321 2323 34613Saaaaaa 123 5 a aa 成等差数列 1321 2 5 1aaaa 2 解法一 12 1 5aa 得 1 32n nn aa 对 nN 均成立 1 11 3223 2 nnn nnnn aaaa 得 1221 121 23 2 3 2 3 2 32 nnnnnn nnnn aaaaa 解法二 由 可知 2 5a 当2n 时 由 1 1 221 n nn Sa 得 1 221 n nn Sa 两式相减整理得 1 32n nn aa 即 1 1 31 22 22 nn nn aa 即 1 1 3 11 222 nn nn aa 又 21 21 3 11 222 aa 所以1 2 n n a 为首项为 1 1 3 1 22 a 公比为 3 2 的等比数列 所以 1 333 1 2222 nn n n a 所以32 nn n a 3 解法一 当1n 时 1 13 1 2a 23 12 111111113 11 222222 nn n aaa 由上式得 对一切正整数n 有 12 1113 2 n aaa 又因为 2 52 2 2 1 a 所以 2 1 2 n an nn 所以 11111 2 1 21 n an nnn 所以 123 1111111111113 1 1 1 1 2234122 n aaaannn 的离心率 2 3 e 且椭 圆C上的点到 0 2 Q的距离的最大值为3 来源 1 求椭圆C的方程 2 在椭圆C上 是否存在点 M m n使得直线l 1mxny 与圆 O 22 1xy 相交 于不同的两点 A B 且OAB 的面积最大 若存在 求出点M的坐标及相对应的OAB 的 面积 若不存在 请说明理由 解析 1 由 22 22 33 c eca a 所以 2222 1 3 baca 设 P x y是椭圆C上任意一点 则 22 22 1 xy ab 所以 2 2222 2 1 3 y xaay b 2222222 2 3 2 2 1 6PQxyayyya 所以 当1y 时 PQ有最大值 2 63a 可得3a 所以1 2bc 故椭圆C的方程为 22 1 32 xy 2 因为 M m n在椭圆C上 所以 22 1 32 mn 22 3 3 2 mn 设 11 A x y 22 B xy 由 22 1 1 mxny xy 得 2222 210mnxmxn 所以 222222222 1 44 1 4 1 4 2 0 2 mmnnnmnnn 可得 2 4n 并且 12 22 2m xx mn 2 12 22 1 n x x mn 所以 22 121212 12 222 111 1mxmxm xxm x xm y y nnnmn 所以 222222 121211221212 2 ABxxyyxyxyx xy y 22 222222 111 22 2 1 nm mnmnmn 设点 O 到直线 AB 的距离为h 则 22 1 h mn 所以 2222 111 1 2 OAB SAB h mnmn 设 22 1 t mn 由 2 04n 得 222 1 3 1 3 2 mnn 所以 1 1 3 t 2 11 1 24 OAB Sttt 1 1 3 t 所以 当 1 2 t 时 OAB S 面积最大 最大为 1 2 此时 0 2 M 点评点评 从近两年高考试题来看 直线与圆锥曲线的位置关系 弦长 中点弦的问题是高考 的热点问题 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度中等偏高 客观题主要考查直线 与圆锥曲线的位置关系 弦长问题 解答题考查较为全面 在考查上述问题的同时 注重考 查函数与方程 转化与化归 分类讨论等思想 所以在备战 2013 年高考中对于此类问题应 引起足够的重视 21 本小题满分 14 分 来 设1a 2 23 1 60 BxRxa xa DAB 1 求集合D 用区间表示 2 求函数 32 23 1 6f xxa xax 在D内的极值点 解答 1 对于方程 2 23 1 60 xa xa 判别式 2 9 1 483 3 31 aaaa 因为1a 所以30a 当 1 1 3 a 时 0 此时B 所以D 当 1 3 a 时 0 此时 1 Bx x 所以 0 1 1 D 当 1 3 a 设方程 2 23 1 60 xa xa 的两根为 12 x x且 12 xx 则 1 3 1 3 3 31 4 aaa x 2 3 1 3 3 31