2012北京高考模拟数学试题汇总-导数(文).pdf

峰炜佳奇 状元教育 1 2012 高考模拟试题汇总高考模拟试题汇总 导数导数 文 文 2012 西城一模文 19 如图 抛物线 2 9yx 与x轴交于两点 A B 点 C D在抛物线 上 点C在第一象限 CD AB 记 2CDx 梯形ABCD面积为S 求面积S以x为自变量的函数式 若 CD k AB 其中k为常数 且01k 求S的最大值 19 本小题满分 13 分 解 依题意 点C的横坐标为x 点C的纵坐标为 2 9 C yx 1 分 点B的横坐标 B x满足方程 2 90 B x 解得3 B x 舍去3 B x 2 分 所以 22 11 22 3 9 3 9 22 C SCDAByxxxx 4 分 由点C在第一象限 得03x 所以S关于x的函数式为 2 3 9 Sxx 03x 5 分 解 由 03 3 x x k 及01k 得03xk 6 分 记 2 3 9 03f xxxxk 则 2 3693 1 3 fxxxxx 8 分 令 0fx 得1x 9 分 若13k 即 1 1 3 k 时 fx 与 f x的变化情况如下 x 0 1 1 1 3 k 峰炜佳奇 状元教育 2 fx 0 f x 极大值 所以 当1x 时 f x取得最大值 且最大值为 1 32f 11 分 若13k 即 1 0 3 k 时 0fx 恒成立 所以 f x的最大值为 2 3 27 1 1 fkkk 13 分 综上 1 1 3 k 时 S的最大值为32 1 0 3 k 时 S的最大值为 2 27 1 1 kk 20122012 东城一东城一模文模文 1818 已知已知1 x是是函数函数 2 exf xax 的一个极值点 的一个极值点 a R 求 求a的值 的值 当当 1 x 2 0 2x 时 时 证明 证明 12 ef xf x 18 解 2 exfxaxa 2 分 由已知得0 1 f 解得1 a 4 分 当1a 时 2 exf xx 在1x 处取得极小值 所以1a 5 分 证明 由 知 2 exf xx 1 exfxx 当 1 0 x时 0 1 x exxf xf在区间 0 1单调递减 当 1 2x 时 1 0 x fxxe xf在区间 1 2单调递增 8 分 所以在区间 0 2上 f x的最小值为 1 ef 又 0 2f 2 0f 所以在区间 0 2上 f x的最大值为 2 0f 12 分 对于 12 0 2x x 有 12maxmin f xf xfxfx 所以 12 0 e ef xf x 13 分 峰炜佳奇 状元教育 3 2012 朝阳一模文朝阳一模文 18 已知函数已知函数 2 1 exf xax a R 若函数 若函数 f x在在1x 时取得极值 求时取得极值 求a的值 的值 当 当0a 时 求时 求函数函数 f x的单调区间的单调区间 18 解 2 21 exfxaxax x R 2 分 依题意得 1 31 e 0fa 解得 1 3 a 经检验符合题意 4 分 2 21 exfxaxax 设 2 21g xaxax 1 当0a 时 exf x f x在 上为单调减函数 5 分 2 当0a 时 方程 2 21g xaxax 0的判别式为 2 44aa 令0 解得0a 舍去 或1a 1 当1a 时 22 21 1 0g xxxx 即 2 21 e0 x fxaxax 且 fx 在1x 两侧同号 仅在1x 时等于0 则 f x在 上为单调减函数 7 分 2 当10a 时 0 则 2 210g xaxax 恒成立 即 0fx 恒成立 则 f x在 上为单调减函数 9 分 3 1a 时 2 440aa 令 0g x 方程 2 210axax 有两个不相等的实数根 2 1 1 aa x a 2 2 1 aa x a 作差可知 22 11 aaaa aa 则当 2 1 aa x a 时 0g x 0fx f x在 2 1 aa a 上 为单调减函数 峰炜佳奇 状元教育 4 当 22 11 aaaa x aa 时 0g x 0fx f x在 22 1 1 aaaa aa 上为单调增函数 当 2 1 aa x a 时 0g x 0fx f x在 2 1 aa a 上为 单调减函数 13 分 综上所述 当10a 时 函数 f x的单调减区间为 当1a 时 函数 f x的单调减区间为 2 1 aa a 2 1 aa a 函数 f x的 单调增区间为 22 1 1 aaaa aa 14 分 2012 丰台一模文丰台一模文 18 已知函数以已知函数以 32 1 1 3 f xxaxaR I 若曲线 若曲线 y f x 在 在 1 1 f处的切线与直线处的切线与直线 x y l 0 平行 求平行 求 a 的值 的值 若 若0a 函数 函数 y f x 在区间 在区间 2 3 a a 上存在极值上存在极值 求 求 a 的取值范围 的取值范围 若 若 a 2 求证 函数 求证 函数 y f x 在 在 0 2 上恰有一个零点 上恰有一个零点 2012 海淀一模文海淀一模文 18 已知函数已知函数 2 11 ln 0 22 f xaxxaa 且R 求求 f x的单调区间 的单调区间 是否存在实数是否存在实数a 使得对任意的 使得对任意的 1 x 都有 都有 0f x 若存在 求 若存在 求a的的 取值范围 若不存在 请说明理由取值范围 若不存在 请说明理由 18 解 f x的定义域为 0 2 axa fxx xx 2 分 当0a 时 在区间 0 上 0fx 峰炜佳奇 状元教育 5 所以 f x的单调递减区间是 0 3分 当0a 时 令 0fx 得xa 或xa 舍 函数 f x fx随x的变化如下 x 0 a a a fx 0 f x 极大值 所以 f x的单调递增区间是 0 a 单调递减区间是 a 6 分 综上所述 当0a 时 f x的单调递减区间是 0 当0a 时 f x的单调递增区间是 0 a 单调递减区间是 a 由 可知 当0a 时 f x在 1 上单调递减 所以 f x在 1 上的最大值为 1 0f 即对任意的 1 x 都有 0f x 7 分 当0a 时 当1a 即01a 时 f x在 1 上单调递减 所以 f x在 1 上的最大值为 1 0f 即对任意的 1 x 都有 0f x 当1a 即1a 时 f x在 1 a上单调递增 所以 1 faf 又 1 0f 所以 0fa 与对于任意的 1 x 都有 0f x 矛盾 12 分 综上所述 存在实数a满足题意 此时a的取值范围是 0 0 1 13 分 峰炜佳奇 状元教育 6 20122012 房山一模文房山一模文 18 18 设函数设函数 322 1 23 3 f xxaxa xa aR 当当1 a时 求曲线时 求曲线 xfy 在点在点 3 3 f处的切线方程 处的切线方程 求函数求函数 xf的单调区间和极值 的单调区间和极值 若对于任意的若对于任意的 x 3 a a 都有都有 1fxa 求 求a的取值范围的取值范围 18 本小题共 13 分 解 I 当1 a时 132 3 1 23 xxxxf 1 分 34 2 xxxf 2 分 当3 x时 1 3 f 3 f0 3 分 曲线 xfy 在点 3 3 f处的切线方程为01 y 4 分 II 22 4 3 3 fxxax axa xa 5 分 0a 时 0fx 是函数的单调减区间 无极值 6 分 0a 时 在区间 3 aa 上 0fx 在区间 3 aa上 0fx 因此 3 aa 是函数的单调减区间 3 aa是函数的单调增区间 函数的极大值是 3 faa 函数的极小值是 3 4 3 f aaa 8 分 0a 时 在区间 3 aa 上 0fx 在区间 3 a a上 0fx 因此 3 aa 是函数的单调减区间 3 a a是函数的单调增区间 函数的极大值是 3 4 3 f aaa 函数的极小值是 3 faa 10 分 III 根据 II 问的结论 3 xa a 时 3 4 3 f xf aaa 11 分 因此 不等式 1f xa 在区间 3 a a上恒成立必须且只需 0 1 3 4 3 a aaa 解之 得 3 6 0 2 a 13 分 峰炜佳奇 状元教育 7 2012 石景山一模文石景山一模文 18 已知函数已知函数 2 2 lnf xxax 若函数若函数 f x的图象在的图象在 2 2 f处的处的切线斜率为切线斜率为1 求 求实数实数a的值的值 求函数求函数 f x的单调区间 的单调区间 若函数若函数 2 g xf x x 在在 1 2 上是减函数 求实数上是减函数 求实数a的取值范围的取值范围 18 解 2 222 2 axa fxx xx 1 分 由已知 2 1f 解得3a 3 分 II 函数 f x的定义域为 0 1 当0a 时 0fx f x的单调递增区间为 0 5 分 2 当0a 时 2 xaxa fx x 当x变化时 fxf x的变化情况如下 x 0 a a a fx 0 f x 极小值 由上表可知 函数 f x的单调递减区间是 0 a 单调递增区间是 a 8 分 II 由 2 2 2 lng xxax x 得 2 22 2 a g xx xx 9 分 由已知函数 g x为 1 2 上的单调减函数 则 0g x 在 1 2 上恒成立 即 2 22 20 a x xx 在 1 2 上恒成立 即 2 1 ax x 在 1 2 上恒成立 11 分 峰炜佳奇 状元教育 8 令 2 1 h xx x 在 1 2 上 22 11 2 2 0h xxx xx 所以 h x在 1 2 为减函数 min 7 2 2 h xh 所以 7 2 a 14 分 2012 西城二模文 西城二模文 18 已知函数已知函数 2 2 21 1 axa f x x 其中其中a R 当 当1a 时 求曲线时 求曲线 yf x 在原点处的切线方程 在原点处的切线方程 求 求 xf的单调区间的单调区间 18 本小题满分 13 分 解 当1a 时 2 2 1 x f x x 22 1 1 2 1 xx fx x 2 分 由 0 2 f 得曲线 yf x 在原点处的切线方程是20 xy 4 分 解 2 1 2 1 xa ax fx x 6 分 当0a 时 2 2 1 x fx x 所以 f x在 0 单调递增 在 0 单调递减 7 分 当0a 2 1 2 1 xa x a fxa x 当0a 时 令 0fx 得 1 xa 2 1 x a f x与 fx 的情况如下 故 xf的单调减区间是 a 1 a 单调增区间是 1 a a 10 分 当0a 时 f x与 fx 的情况如下 x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 1 f x 2 f x 峰炜佳奇 状元教育 9 所以 f x的单调增区间是 1 a 单调减区间是 1 a a a 13 分 综上 0a 时 f x在 a 1 a 单调递减 在 1 a a 单调递增 0a 时 f x在 0 单调递增 在 0 单调递减 0a 时 f x在 1 a a 单调递增 在 1 a a 单调递减 2012 朝阳朝阳二模文 二模文 18 设函数设函数 2 2 ln 0 a f xaxa x 已知曲线 已知曲线 yf x 在点在点 1 1 f处的切线处的切线l的斜率为的斜率为23a 求 求实数实数a的的值值 讨论函数讨论函数 f x的单调性 的单调性 在 在 的条件下 求证 对于定义域内的 的条件下 求证 对于定义域内的任意任意一个一个x 都有 都有 3f xx 18 本小题满分 14 分 解 f x的定义域为 0 x x 1 分 2 2 2 aa fx xx 2 分 根据题意 1 23fa 所以 2 223aaa 即 2 210aa 解得1a 4 分 2 22 2 2 aaa xa fx xxx 1 当0a 时 因为0 x 所以20 xa 2 0a xa 所以 0fx 函数 f x在 0 上单调递减 6 分 2 当0a 时 若02xa 则 2 0a xa 0fx 函数 f x在 0 2 a上单调递减 x 2 x 2 x 21 xx 1 x 1 x fx 0 0 f x 2 f x 1 f x 峰炜佳奇 状元教育 10 若2xa 则 2 0a xa 0fx 函数 f x在 2 a 上单调递增 8 分 综上所述 当0a 时 函数 f x在 0 上单调递减 当0a 时 函数 f x在 0 2 a上单调递减 在 2 a 上单调递增 9 分 由 可知 2 lnf xx x 设 3 g xf xx 即 2 ln3g xxx x 2 222 122 1 2 1 0 xxxx g xx xxxx 10 分 当x变化时 g x g x的变化情况如下表 x 0 1 1 1 g x 0 g x 极小值 1x 是 g x在 0 上的唯一极值点 且是极小值点 从而也是 g x的最小值点 可见 1 0g xg 最小值 13 分 所以 0g x 即 3 0f xx 所以对于定义域内的每一个x 都有 3f xx 14 分 2012 海淀海淀二模文 二模文 18 已知函数已知函数 22 3 xa f x xa 0a a R 求函数 求函数 f x的单调区间 的单调区间 当 当1a 时 若对任意时 若对任意 12 3 x x 有 有 12 f xf xm 成立 求实数成立 求实数m的最的最 小值小值 18 本小题满分 13 分 解 222 3 3 xa xa fx xa 令 0fx 解得xa 或3xa 2 分 当0a 时 fx f x随着x的变化如下表 峰炜佳奇 状元教育 11 x 3 a 3a 3 a a a a fx 0 0 f x 极小值 极大值 函数 f x的单调递增区间是 3 a a 函数 f x的单调递减区间是 3 a a 4分 当0a 时 fx f x随着x的变化如下表 x a a 3 aa 3a 3 a fx 0 0 f x 极小值 极大值 函数 f x的单调递增区间是 3 aa 函数 f x的单调递减区间是 a 3 a 6 分 当1a 时 由 得 f x是 3 1 上的增函数 是 1 上的减函数 又当1x 时 2 1 0 3 x f x x 8 分 所以 f x在 3 上的最小值为 1 3 6 f 最大值为 1 1 2 f 10 分 所以 对任意 12 3 x x 12 2 1 3 3 f xf xff 所以 对任意 12 3 x x 使 12 f xf xm 恒成立的实数m的最小值为 2 3 13 分 2012 东城东城二模文 二模文 1818 已知已知函数函数 2 1 2e 2 x f xxxa 若 若1a 求 求 f x在在1x 处的切线方程处的切线方程 若若 xf在在R上是增函数 求实数上是增函数 求实数a的取值范围的取值范围 峰炜