方差及常见分布的期望方差课件.ppt

4 2随机变量的方差 1 方差的概念与计算 3 方差的性质 2 常见分布的方差 下页 方差概念的引入 随机变量的数学期望是一个重要的数学特征 反应了随机变量取值的平均大小 但只知道随机变量的数学期望是不够的 下页 4 2随机变量的方差 引例1 从甲 乙两车床加工的零件中各取 件 测得尺寸如下 甲 8 9 10 11 12 乙 9 6 9 8 10 10 2 10 4已知标准尺寸为10 cm 公差d 0 5cm 问那一台车床好 以X甲 X乙分别表示甲乙两车床加工零件的长度 易得E X甲 E X乙 10 虽然甲乙车床加工零件的均值相等 但其零件的质量有显著差异 甲加工的零件只有 件合格 乙加工的全部合格 下页 引例2 有甲 乙两人射击 他们的射击技术用下表给出 X表示甲击中环数 Y表示乙击中环数 谁的射击水平高 因此 从平均环数上看 甲乙两人的射击水平是一样的 但两人射击水平的稳定性是有差别的 怎么体现这个差别呢 E X 9 2 环 E Y 9 2 环 思路 考察一下 误差 平方的加权平均值情况 这表明乙的射击水平比较稳定 甲 乙 下页 引例2 有甲 乙两人射击 他们的射击技术用下表给出 X表示甲击中环数 Y表示乙击中环数 谁的射击水平高 思路 考察一下 误差 平方的加权平均值情况 这表明乙的射击水平比较稳定 甲 乙 E X 9 2 环 E Y 9 2 环 一 方差的概念 定义设X为随机变量 如果E X E X 2 存在 则称E X E X 2 为X的方差 记作D X 即 D X E X E X 2 其中P X xk pkk 1 2 3 离散型随机变量 二 方差的计算 下页 一 方差的概念 定义设X为随机变量 如果E X E X 2 存在 则称E X E X 2 为X的方差 记作D X 即 D X E X E X 2 连续型随机变量 证明 D X E X E X 2 E X2 2X E X E X 2 E X2 2E X E X E X 2 解 因E X p 而E X2 12 p 02 q p 于是 D X E X2 E X 2 p p2 pq 下页 三 方差的计算公式 E X2 E X 2 例1 设随机变量X 0 1 分布 其概率分布为P X 1 p P X 0 q 0 p 1 p q 1 求D X 例2 设随机变量X具有概率密度 求D X 所以 解 下页 四 常见分布的方差 0 1分布概率分布为 E X p 下页 D X E X2 E X 2 p p2 p 1 p pq 二项分布设随机变量X B n p 其概率分布为 E X np D X E X2 E X 2 E X2 E X2 X X E X X 1 X E X X 1 E X E X X 1 D X E X2 E X 2 n n 1 p2 np n2p2 npq 从而得 下页 泊松分布设随机变量X P l 其概率分布为 k 0 1 2 3 l 0 E X l D X E X2 E X 2 E X2 E X2 X X E X X 1 X E X X 1 E X E X X 1 D X E X2 E X 2 l2 l l2 l 从而得 下页 均匀分布设X U a b 概率密度为 从而得 2020 3 16 11 可编辑 下页 指数分布设X E l 概率密度为 从而得 下页 正态分布设X N 2 概率密度为 推广若X1 X2 Xn相互独立 则D X1 X2 Xn 设C为常数 则有 下页 五 方差的性质 性质2D CX C2D X 性质3D X C D X 性质4设X Y是两个相互独立的随机变量 则有D X Y D X D Y 性质1D C 0 证明 2 D CX E CX E CX 2 C2E X E X 2 C2D X 3 D X C E X C E X C 2 E X E X 2 D X E X E X Y E Y E XY E X Y E Y X E X E Y E XY E X E Y E X E Y E X E Y E XY E X E Y 由于X Y相互独立 故有E XY E X E Y 从则有 E X E X Y E Y 0 4 D X Y E X Y E X Y 2 E X E X Y E Y 2 E X E X 2 E Y E Y 2 2E X E X Y E Y D X D Y 2E X E X Y E Y 而 于是D X Y D X D Y 练习 若X Y相互独立 证明D X Y D X D Y 下页 D X D X1 X2 Xn 令 显然Xi均服从 0 1 分布 即E Xi p D Xi pq i 1 2 n 且X1 X2 Xn相互独立 于是有 E X E X1 X2 Xn E X1 E X2 E Xn np D X1 D X2 D Xn npq 解 X X1 X2 Xn 这是新视角用意所在 例3 在n重贝努里试验中 用X表示n次试验中事件A发生的次数 记P A p 求E X D X 下页 本题旨在给出一个思考与解决问题的新视角 例4 解 下页 因为 从而 下页 例4 解 小结 D X E X E X 2 1 方差的定义与计算 2 常见分布的期望与方差 下页 练习题 1 设X表示独立射击目标10次所击中目标的次数 每次击中的概率为0 4则E X2 2 随机变量X与Y独立 且X N 1 2 Y N 0 1 则Z 2X Y 3的期望与方差分别为 二 单选题 一 填空题 设X和Y是两个随机变量 则下式正确的是 三