湖南省邵阳市邵东县第一中学2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题理PDF.pdf

1 邵东一中邵东一中 2019 年年上学期高二第一次月考上学期高二第一次月考 理科数学试题理科数学试题 范围 数学 2 2 2 3 4 4 极坐标 时间 120 分钟总分 150 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 分 1 i 是虚数单位 则 z A 2B C 4D 2 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P 的直角坐标为 若以圆点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立坐标系 则点 P 的极坐标可以是 A 1 3 B 5 2 3 C 2 3 D 4 2 3 3 由曲线 y 直线 y x x 4 所围成的封闭图形的面积为 A 6 4ln2B 4ln2C 2 4ln2D 2 4ln2 4 中国有十二生肖 又叫十二属相 每一个人的出生年份对应了十二种动物 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 中的一种 现有十二生肖的吉祥物各一个 三位同学依次选一个作为礼物 甲同学喜欢牛和马 乙同学喜欢牛 狗和羊 丙同学哪 个吉祥物都喜欢 如果让三位同学选取礼物都满意 则选法有 A 30 种B 50 种C 60 种D 72 种 5 在 2 2 nx x n N 的展开式中 若二项式系数最大的项是第六项 则展开式 中常数项是 A 180B 120C 90D 45 6 如图所示 在著名的汉诺塔问题中 有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不 相同的圆盘 三根柱子分别为起始柱 辅助柱及目标柱 已知起始柱上套有 n 个圆盘 较大的圆盘都在较小的圆盘下面 现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上 规则如下 每 次只能移动一个圆盘 且每次移动后 每根柱上较大的圆盘不 能放在较小的圆盘上面 规定一个圆盘从任一根柱上移动到另 一根柱上为一次移动 若将 n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上 最少需要移动的次数记为 p n 则 p 4 A 33B 31C 17D 15 7 如图所示 半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆 将一颗豆子 随机地扔到正方形 MNPQ 内 用 A 表示事件 豆子落在圆 O 内 B 表 示事件 豆子落在扇形 OEF 阴影部分 内 则 P B A 2 A B C D 8 真人秀 热潮在我国愈演愈烈 为了了解学生是否喜欢某 真人秀 节目 在某 中学随机调查了 110 名学生 得到如下列联表 男女总计 喜欢402060 不喜欢203050 总计6050110 附表 2 2 n adbc K ab cd ac bd 2 0 P Kk 0 100 050 0250 0100 0050 001 0 k2 7063 8415 0246 6357 87910 828 参照附表 得到的正确结论是 A 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 喜欢该节目与性别有关 B 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 喜欢该节目与性别无关 C 有 99 以上的把握认为 喜欢该节目与性别有关 D 有 99 以上的把握认为 喜欢该节目与性别无关 9 用数学归纳法证明 11125 123124 f n nnn n N 过程中 设计 n k k N 时 不等式 25 24 f k 成立 则需证当 n k 1 时 25 1 24 f k 也成 立 则 f k 1 f k A B C D 10 若函数的值域为 则实数的取值范围为 A B C D 11 已知在正三角形 ABC 中 若 D 是 BC 边的中点 G 是三角形 ABC 的重心 则AG GD 2 若把该结论推广到空间 则有 在棱长都相等的四面体 ABCD 中 若三角形 BCD 的 重心为 M 四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等 则AO OM等于 A 1B 2C 3D 4 12 设函数 f x 是定义在 0 上的可导函数 其导函数为 f x 且有 2f x xf x x2 则不等式 x 2019 2f x 2019 4f 2 0 的解集为 A 2019 2017 B 2019 2018 C 2021 2019 D 2020 2019 3 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 13 设随机变量 X N 1 2 且 P X 2 则 P 0 X 1 14 公司的广告费支出 x 与销售额 y 单位 万元 之间有下列对应数据 由资料显示 y 对 x 呈线性相关关系 x24568 y3040605070 根据表中提供的数据得到回归方程 x中的 7 预测广告费支出 10 万元时 销 售额约为万元 15 若 7234567 01234567 xaa xa xa xa xa xa xa x 1 2 则 1234567 234567 aaaaaaa 16 已知直线与函数 cos yx 的图象恰有四个公共点 则 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知曲线 的极坐标方程为 直线 直线 以极点 为原点 极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系 1 求直线 及曲线 的直角坐标方程 2 若直线 与曲线 交于 两点 直线 与曲线 交于 两点 求的面积 18 已知如图所示三角形数表中 假设第n行的 第二个数为 2 Nnnan 1 依次写出第六行的所有数字 2 归纳出 nn aa与 1 的关系式并求出 n a的通项 公式 3 设1 nnb a求证 32 bb 2b n 19 为调查人们在购物时的支付习惯 某超市对随机抽取的 600 名顾客的支付方式进行 了统计 数据如下表所示 支付方式微信支付宝购物卡现金 人数200150150100 4 现有甲 乙 丙三人将进入该超市购物 各人支付方式相互独立 假设以频率近似代替 概率 1 求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率 2 记 X 为三人中使用支付宝支付的人数 求 X 的分布列及数学期望 20 已知定义在R上的函数 32 2f xaxaxb 0 a在区间 2 1 上的最大值是 5 最小值是 11 求函数 f x的解析式 若 1 1 t时 0 txxf 恒成立 求实数x的取值范围 21 为评估 M 设备生产某种零件的性能 从该设备生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本 测量其直径 单位 mm 后 整理得到如下表 直径7879818283848586878889909193合计 件数11356193318442121100 经计算 样本的平均值 85 标准差 2 2 以频率值作为概率的估计值 1 为评判一台设备的性能 从该设备加工的零件中任意抽取一件 记其直径为 X 并根据以下不等式进行评判 p 表示相应事件的频率 p X 0 6826 p 2 X 2 0 9544 p 3 X 3 0 9974 评判规则为 若同时满足上述三个不等式 则设备等级为甲 仅满足其中两个 则等级为乙 若仅满足其中一个 则等级为丙 若全部不满足 则等 级为丁 试判断 M 设备的性能等级 2 将直径小于等于 2 的零件或直径大于等于 2 的零件认定为是 次品 将 直径小于等于 3 的零件或直径大于等于 3 的零件认定为是 突变品 从样本的 次品 中随意抽取 2 件零件 求其中 突变品 个数 的数学期望 22 已知函数 f x ax x2 xlna a 0 a 1 若 a e 求函数 f x 的单调区间 若存在 12 1 1 x x 使得 12 1f xf xe 试求 a 的取值范围 5 邵东一中邵东一中 2019 年年上学期高二第一次月考上学期高二第一次月考 理科数学试题理科数学试题参考答案参考答案 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题小题每小题每小题 5 分 共分 共 60 分分 题号题号123456789101112 答案答案BDABADBCCBCC 1 i 是虚数单位 则 z A 2B C 4D 解答 解 则 z 2 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P 的直角坐标为 若以圆点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立坐标系 则点 P 的极坐标可以是 A B C D 解答 解 P 的直角坐标为 2 tan 在第三象限 点 P 的极坐标为 2 3 由曲线 y 直线 y x x 4 所围成的封闭图形的面积为 A 6 4ln2B 4ln2C 2 4ln2D 2 4ln2 解答 解 如图所示 由曲线 y 与直线 y x 联 立 解得 x 2 或 x 2 所求图形的面积为 S x dx x2 4lnx 6 4ln2 4 中国有十二生肖 又叫十二属相 每一个人的出生年 份对应了十二种动物 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 中的一种 现有十二生肖的吉祥物各一个 三位同学依次选 一个作为礼物 甲同学喜欢牛和马 乙同学喜欢牛 狗和羊 丙同学哪个吉祥物都 喜欢 如果让三位同学选取礼物都满意 则选法有 A 30 种B 50 种C 60 种D 72 种 解答 解 甲同学选择牛 乙有 2 种 丙有 10 种 选法有 1 2 10 20 种 甲同学选择马 乙有 3 种 丙有 10 种 选法有 1 3 10 30 种 所以总共有 20 30 50 种 故选 B 5 在 n n N 的展开式中 若二项式系数最大的项是第六项 则展开式 6 中常数项 A 180B 120C 90D 45 解答 在 n n N 的展开式中 若二项式系数最大的项是第六项 则 n 10 则 n 10的通项公式为 Tr 1 2r 令 5 0 求得 r 2 可得展开式中常数项为 22 180 故选 A 6 如图所示 在著名的汉诺塔问题中 有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不 相同的圆盘 三根柱子分别为起始柱 辅助柱及目标柱 已知起始柱上套有 n 个圆 盘 较大的圆盘都在较小的圆盘下面 现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上 规则 如下 每次只能移动一个圆盘 且每次移动后 每根柱 上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面 规定一个圆盘 从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动 若将 n 个 圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为 p n 则 p 4 A 33B 31C 17D 15 解答 解 设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为 p n 则把起始柱上的 除最底下的 圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记 为 p n 1 则有 P n 2P n 1 1 则有 P n 1 2 P n 1 1 又 P 1 1 即是以 P 1 1 2 为首项 2 为公比的等比数列 由等比数列通项公式可得 P n 1 2n 所以 P n 2n 1 即 P 4 24 1 15 故选 D 7 如图所示 半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆 将一 颗豆子随机地扔到正方形 MNPQ 内 用 A 表示事件 豆子落在 圆 O 内 B 表示事件 豆子落在扇形 OEF 阴影部分 内 则 P B A A B C D 解答 解 如图所示 半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆 将一颗豆子随机地扔到正方形 MNPQ 内 用 A 表示事件 豆子落在圆 O 内 B 表 示事件 豆子落在扇形 OEF 阴影部分 内 则 P A P AB 7 P B A 故选 B 8 真人秀 热潮在我国愈演愈烈 为了了解学生是否喜欢某 真人秀 节目 在某 中学随机调查了 110 名学生 得到如下列联表 男女总计 喜欢402060 不喜欢203050 总计6050110 由 2 2 n adbc K ab cd ac bd 附表 2 0 P Kk 0 100 050 0250 0100 0050 001 0 k2 7063 8415 0246 6357 87910 828 参照附表 得到的正确结论是 A 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 喜欢该节目与性别有关 B 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 喜欢该节目与性别无关 C 有 99 以上的把握认为 喜欢该节目与性别有关 D 有 99 以上的把握认为 喜欢该节目与性别无关 解答 由题中数据可得 2 K 的观测值7 86635k 所以 99 以上的把握认为 喜欢该节目与性别有关 故选 C 9 用数学归纳法证明 11125 123124 f n nnn n N 过程中 设计 n k k N 时 不等式 25 24 f k 成立 则需证当 n k 1 时 25 1 24 f k 也成 立 则 f k 1 f k A B C D 解答 解 f k 1 f k 10 若函数的值域为 则实数的取值范围为 A B C D 解答 当时 又对称轴为 8 当时 值域为且时 当时 令 解得在上单调递增 在上单调递减 又当时 本题正确选项 B 11 已知在正三角形 ABC 中 若 D 是 BC 边的中点 G 是三角形 ABC 的重心 则 AG GD 2 若把该结论推广到空间 则有 在棱长都相等的四面体 ABCD 中 若三角形 BCD 的重心为 M 四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等 则AO OM等于 A 1B 2C 3D 4 解答 选 C 由题意知 O为正四面体的外接球和内切球的球心 设正四面体的高为h 由等体积法可求得内切球的半径为 1 4h 外接球的半径为 3 4h 所以 AO OM 3 故选 C 12 设函数 f x 是定义在 0 上的可导函数 其导函数为 f x 且有 2f x xf x x2 则不等式 x 2019 2f x 2019 4f 2 0 的解集为 A 2019 2017 B 2019 2018 C 2021 2019 D 2020 2019 解答 解 由 2f x xf x x2 x 0 得 2xf x x2f x x3 即 x2f x x3 0 令 F x x2f x 则当 x 0 时 得 F x 0 即 F x 在 0 上是减函数 F x 2019 x 2019 2f x 2019 F 2 4f 2 即不等式等价为 F x 2019 F 2 0 F x 在 0 是减函数 由 F x 2019 F 2 得 x 2019 2 即 x 2021 又 x 2019 0 解得 x 2019 故 2021 x 2019 故选 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 11 设随机变量 X N 1 2 且 P X 2 则 P 0 X 1 解答 解 由随机变量 X N 1 2 可得 1 又 P X 2 P 0 X 1 故答案为 13 某公司的广告费支出 x 与销售额 y 单位 万元 之间有下列对应数据 由资料显 示 y 对 x 呈线性相关关系 9 x24568 y3040605070 根据表中提供的数据得到回归方程 x中的 7 预测广告费支出 10 万元时 销售额约为85万元 参考公式 解答 解 2 4 5 6 8 5 37 40 60 50 70 50 这组数据的样本中心点是 5 50 b 7 y 7x a 把样本中心点代入得 a 15 线性回归方程是 y 7x 15 当 x 10 时 y 85 故答案为 85 15 若 7234567 01234567 xaa xa xa xa xa xa xa x 1 2 则 1234567 234567 aaaaaaa 解 对已知条件两边同时求导数 再令 x 1 可得答案为14 16 已知直线与函数的图象恰有四个公共点 则 16 详解 直线 y k x 2 过定点 2 0 如下图所示 由图可知 直线与余弦函数图象在 x4处相切 且 即 a x4 2 cos 所以 k 又 即直线的斜率为 k 因此 k 即 2 2 故答案为 2 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 已知曲线 的极坐标方程为 直线 直 线 以极点 为原点 极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系 1 求直线 及曲线 的直角坐标方程 2 若直线 与曲线 交于 两点 直线 与曲线 交于 两点 求的面积 解答 1 直线 的直角坐标方程为 直线 的直角坐标方程为 10 且 曲线 的直角坐标方程为 即 2 曲线 的极坐标方程为 当时 当时 18 12 分 假设第n行的第二个数为 2 Nnnan 1 依次写出第六行的所有数字 2 归纳出 nn aa与 1 的关系式并求出 n a的通项公式 3 设1 nnb a求证 32 bb 2b n 解答 1 第六行的所有 6 个数字分别是 6 16 25 25 16 6 2 依题意 2 1 nnaa nn 2 2 a 3 1 1 nnaa nn 2 23 aa 134232 nnn aaaaaaaa 2 1 223 1 2 2 nn n 所以 3 1 2 1 2 1 2 nnnan 当 n 2 时 212 2 1 2 2 1 2 2 a 也满足上述等式 所以 2 1 2 1 2 1 2 nnnan 3 因为1 nn a b 所以 1 1 1 2 2 2 2 22 nnnnnn bn 2 2 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 2 432 nn bbbb n 19 12 分 为调查人们在购物时的支付习惯 某超市对随机抽取的 600 名顾客的支付 方式进行了统计 数据如下表所示 支付方式微信支付宝购物卡现金 人数200150150100 现有甲 乙 丙三人将进入该超市购物 各人支付方式相互独立 假设以频率近似代替 概率 11 1 求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率 2 记 X 为三人中使用支付宝支付的人数 求 X 的分布列及数学期望 解答 1 由表格得顾客使用微信 支付宝 购物卡和现金支付的概率分别为 设 Y 为三人中使用微信支付的人数 Z 为使用现金支付的人数 事件 A 为 三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数 则 P A P Y 3 P Y 2 P Y 1 且 z 0 2 由题意可知 故所求分布列为 X0123 P E X 20 12 分 已知定义在R上的函数 32 2f xaxaxb 0 a在区间 2 1 上的 最大值是 5 最小值是 11 求函数 f x的解析式 若 1 1 t时 0 txxf 恒成立 求实数x的取值范围 解答 32 2 2 34 34 f xaxaxbfxaxaxaxx 令 fx 0 得 12 4 0 2 1 3 xx 因为0 a 所以可得下表 x 2 0 0 0 1 fx 0 f x 极大 因此 0 f必为最大值 50 f因此5 b 2 165 1 5 1 2 fafaff 即11516 2 af 1 a 52 23 xxxf xxxf43 2 0 txxf 等 价 于043 2 txxx 令 xxxttg43 2 则问题就是0 g t在 1 1 t上恒成立时 求实数x的取 值范围 为此只需 0 1 0 1 g g 即 0 053 2 2 xx xx 解得10 x 所以所求实 数x的取值范围是 0 1 21 12 分 为评估 M 设备生产某种零件的性能 从该设备生产零件的流水线上随机抽 取 100 件零件作为样本 测量其直径 单位 mm 后 整理得到如下表 12 直径7879 81 8283848586878889909193合计 件数11356193318442121100 经计算 样本的平均值 85 标准差 2 2 以频率值作为概率的估计值 1 为评判一台设备的性能 从该设备加工的零件中任意抽取一件 记其直径为 X 并根据以下不等式进行评判 p 表示相应事件的频率 p X 0 6826 p 2 X 2 0 9544 p 3 X 3 0 9974 评判规则为 若同时满足上述三个不等式 则设备等级为甲 仅满足其中两个 则等级为乙 若仅满足其中一个 则等级为丙 若全部不满足 则等 级为丁 试判断 M 设备的性能等级 2 将直径小于等于 2 的零件或直径大于等于 2 的零件认定为是 次品 将 直径小于等于 3 的零件或直径大于等于 3 的零件认定为是 突变品 从样本的 次品 中随意抽取 2 件零件 求其中 突变品 个数 的数学期望 解答 解 1 p m