高一数学第三讲函数的增减性.doc

函数的增减性一、 概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1 )f(x2 )，那么就说y=f(x)在区间I上是增函数。I称为y=f(x)的单调增区间。如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1f(x2 )，那么就说在这个区间I上是减函数。I称为y=f(x)的单调减区间。1. 证明函数在上是增函数2归纳解题步骤归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论练习：证明函数在上是增函数问题：要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，且有可以吗?分析这种叙述与定义的等价性尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数如果函数 对区间D内的任意，当时都有，则在D内是增函数；当时都有，则在D内是减函数。设，那么是增函数；是减函数。二、主要方法：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 判断函数的单调性的方法有：用定义；用已知函数的单调性；利用函数的导数；如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数图象法；复合函数的单调性结论：“同增异减”奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。函数在上单调递增；在上是单调递减。证明函数单调性的方法：利用单调性定义：如果函数 对区间D内的任意，当时都有，则在D内是增函数；当时都有，则在D内时减函数。利用单调性定义：设，那么在是增函数；在是减函数。三、函数单调性课堂练习如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.已知函数y=f(x)的图象，根据图象写出函数的单调区间： y ya b O c d x O x1.下列函数在区间(0,+)上不是增函数的是（ ）A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y= D.y=x2+2x+12. 下列函数中，属于增函数的是 3. 若一次函数y=kx+b(k0)在(-，+)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的 A上半平面 B下半平面 C左半平面 D右半平面4函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-，4)上是减函数，则实数a的取值范围是 Aa3 Ba-3 Ca5 Da=-35. 已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) A在区间(-1，0)内是减函数 B在区间(0，1)内是减函数C在区间(-2，0)内是增函数 D在区间(0，2)内是增函数6.在区间 上为增函数的是( ).A B C D 7.的增区间是（ ）。A B C D 8.(1)若函数y=kx+2在R上为增函数，则k的范围是 ；(2)若函数y=x2mx+5在（，2）为减函数，在（2,+）上为增函数，则m= 。9.y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)0，那么在同函数；y=f(x)2是单调_函数10 在 都是减函数,则 在 上是_函数(填增或减)11函数 ,当 时,是增函数,当 时是减函数,则12已知 是常数),且 ,则 的值为_13函数 在 上是减函数,则 的取值范围是_14若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是_15已知 在定义域内是减函数，且 ，在其定义域内判断下列函数的单调性： （ 为常数）是_； （ 为常数）是_； 是_； 是_16设 ， 是增函数， 和 ， 是减函数，则 是_函数； 是_函数； 是_函数17.（1）函数f(x)=x2-1在(-，0)上是减函数；、18. 已知f(x)=-x3-x+1(xR)，证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个19 判断一次函数 单调性.20 证明函数 在 上是增函数，并判断函数 在 上的单调性.21 判断函数 的单调性.22. 定义域为R的函数y=f(x)，对任意xR，都有f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数又知x(a，+)时，该函数为减函数，判断当x(-，a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论23.设f(x)是定义在R+上的递增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)(2) 若f(3)=1，且f(a)f(a-1)+2，求a的取值范围24 函数 对于 有意义，且满足条件 ， ， 是非减函数，（1）证明 ；（2）若 成立，求 的取值范围25已知函数 （1） ， ，证明： （2）证明 在 上是增函数26 函数 ， ，求函数 的单调区间27 求证： 在 上不是单调函数28 根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数29 设 是定义在 上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的x的取值范围.关于复合函数1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=fg（x）叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。例如：函数是由复合而成立。函数是由复合而成立。a是中间变量。2、复合函数单调性定理：一般地，设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当XM时，uN。有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=fg（x）在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=fg（x）在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=fg（x）在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=fg（x）在M上也是增函数。注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。例、讨论函数的单调性（1） （2）一复合函数y=fg(x)的单调性规律若函数y=f(x)是由外函数y=f(u)和内函数u=g(x)复合而成，则复合函数y=fg(x)的单调性与各分函数y=f(u),u=g(x)的单调性之间的关系如下表：单调性三个以上分函数y=f(u)偶数个减为增奇数个减为减u=g(x)y=fg(x)判断原则“同增异减”二判断原则是“同增异减”-两分函数的单调性相同时复合函数为增函数，两分函数的单调性不同时复合函数为减函数。具体步骤是：1. 求定义域；2. 把复合函数分解成若干基本初等函数；3. （外函数不单调时）依中间变量u的范围求自变量x的范围；4. 依“同增异减”原则判断复合函数的增减性。具体题目根据内外函数的难易情况分以下几类：（1）内外均简：在其定义域上内外函数均单调。（2）内繁外简：在其定义域上内函数不单调外函数单调。（3）内简外繁：在其定义域上外函数不单调内函数单调。（4）内外均繁：内外函数均不单调。（5）含参型：函数中含有参数。（6）分函数有两个以上：分函数中减函数有奇数个时复合函数减、偶数个时增。例1函数y=（）的单调性是。(内外均简)例2 求y=log0.5(-x2+4x+3)的单调区间。（内繁外简）例3求y=4x62x+2的增区间。（外繁内简）例4 函数f(x+1)= x2-2x+1的定义域-2,0。求f(x)的单调区间。练习：f(x)与g(x)= 关于y=x对称，求f(3x-x2)的减区间。例5求函数y=x4-2x2+6的单调区间（内外均繁）。练习.已知f(x)=8+2x-x2. g(x)=f(2-x2 )。求g(x)的单调区间。例6判断函数f(x)=loga(1-ax)的单调性（含参型）。练习：1函数y=loga(2-ax)在0,1上是减函数，求a的取值范围。2函数y=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+)上单调递减，求a 的取值范围。3.求y =lg(2x+1)+lg（2x-2）的单调区间（三个分函数）。二两函数的运算：两个单调函数的运算，只有（同性的和、异性的差、相反三类）1.增增增减减减；2.增减增减增减；3.增（减）减（增）其它均不确定。f(x)g(x)f(x)+g(x)-f(x)f(x)-g(x)单调性原则同性之和不需变，异性之差看被减，其它运算不确定同性和不变，异性差被减，负的增减反，其余不能判断。函数单调性课后练习题1.（1）已知函数f(x)x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数，则实数a的取值范围是 .（2）已知函数f(x)x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-，4，则实数a的取值范围是 .（3）已知x0，1，则函数 的最大值为_最小值为_2.讨论函数f(x) (a0)在区间(-1，1)内的单调性.3.判断函数f(x)=x3+1在(,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x（0，），函数f(x)是增函数还是减函数？ 4.已知：f(x)是定义在1，1上的增函数，且f(x1)f(x21)求x的取值范围5.设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2x)的单调区间6函数在区间（-2，+）上是增函数，那么a的取值范围是（）A.B.C.a1D.a-27.已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2) C(2,1) D(，2)(1，)8.已知f(x)在其定义域R+上为增函数，f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式f(x)+f(x2) 39.已知定义在区间（0，+）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.10.函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3. 11.设f（x）的定义域为（0，+），且在（0，+）是递增的，（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设f（2）=1，解不等式。12.已知函数f(x)(a1)(1)若a0，则f(x)的定义域是_；(2)若f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是_13. 定义在上的函数，当时，且对任意的，有. (1)求的值；(2)求证：对任意的，恒有；(3)若，求的取值范围. 14.已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值 小测试1.（1）已知函数f(x)x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数，则实数a的取值范围是 .（2）已知函数f(x)x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-，4，则实数a的取值范围是 .（3）已知x0，1，则函数 的最大值为_最小值为_2.讨论函数f(x) (a0)在区间(-1，1)内的单调性.3.判断函数f(x)=x3+1在(,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x（0，），函数f(x)是增函数还是减函数？ 4. 已知：f(x)是定义在1，1上的增函数，且f(x1)f(x21)求x的取值范围5.设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2x)的单调区间6函数在区间（-2，+）上是增函数，那么a的取值范围是（）A.B.C.a1 D.a-27.已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2) C(2,1) D(，2)(1，)8.已知f(x)在其定义域R+上为增函数，f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式f(x)+f(x2) 39.已知定义在区间（0，+）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.10.函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.11.设f（x）的定域为（0，+），且在（0