双曲线的切线(全面版).doc

双曲线的切线（11） 不妨只考察P在原点、P在坐标轴正半轴上、P在第一象限内的情形当P在原点或P在区域时，不存在切线；当P在C1或C2(不含原点)上时，仅一条切线；当P在区域、或在C3(不含A、B)上时，有两条切线结论：原点处无切线。点在C3上时一条切线当P在线段AB上时，Q在C1的右支上半支当P在线段AB的延长线上时，Q在C1的左支下半支若点P在区域内, 过P不存在切线若点P在曲线C1上(异于点A), 切点即点P若点P在曲线C2上(异于点B), 若P在线段OB上，Q在C1右支下半支若P在线段OB的延长线上， Q在C1右支上半支若点P在区域内, Q1在C1右支下半支，Q2在C1右支上半支若点P在区域内, Q1、Q2位于C1同一支且在x轴同侧若点P在区域内, Q1在C1的右支下半支，Q2在C1的左支下半支若点P在区域内, Q1在C1左支下半支，Q2在C1的右支上半支x=a；C3与C2的交点为B(a，b)；C1的内部(含焦点的部分)为区域；C1与C2之间的部分，在C3左侧为区域，在C3右侧部分为区域；C2与y轴正半轴所夹的部分，在C3左侧为区域，在C3右侧为区域1 若P在原点 直线x=0不是C1的切线设过P(0，0)的直线l的方程为y=kx，代入(1)消去y得(b2a2k2)x2a2b2，实根，l与C1有两个交点故过P不存在C1的切线2 若过点P存在无斜率的切线故点P在C3上时，C3为C1的一条切线，切点为A3 若过点P存在有斜率的切线设切线斜率为k，则切线方程为yy0=k(xx0)(2)将(2)代入(1)消去y可得(b2a2k2)x22a2k(y0kx0)xa2(y0kx0)2b2=0(3)方程(3)的判别式3.1 若点P在C3上(异于点A)x0=a，一次方程f(k)=0的解为C1的切线当P在线段AB上时，by0，Qx0，Qy0，故Q在C1的右支上半支当P在线段AB的延长线上时，by0，Qx0，Qy0，故Q在C1的左支下半支3.2 若点P不在C3上此时x0a二次方程f(k)=0有实根的充要条件是其判别式3.2.1 若点P在区域内0方程f(k)=0无实根，故过P不存在切线3.2.2 若点P在曲线C1上(异于点A)注意到(5)式，切线方程可化为切点即点P3.2.3 若点P在曲线C2上(异于点B)为过点P且斜率为k1的直线即C2，不是C1的切线故C1仅有一条切线将(7)代入(2)并注意到(6)，可得切线方程为x00，Qx0，故Q在C1的右支上若P在线段OB上，0y0b，Qy0，故Q在C1右支下半支若P在线段OB的延长线上，y0b，Qy0，故Q在C1右支上半支3.2.4 若点P在区域内0，方程f(k)=0有两相异实根，设为k1、k2，且k1k2，则设相应于ki的切点为Qi(xi，yi)，i=1，2将(10)代入(2)得由(10)、(11)和(9)可推得0x0a，0y0b，由(8)和(12)知，x1x20，y1y20，Q1、Q2在C1的同一支，且在x轴异侧由(9)知，k1k20，故Q1在C1右支下半支，Q2在C1右支上半支3.2.5 若点P在区域内仿3.2.4的讨论可知，x1x20，y1y20，Q1、Q2位于C1同一支且在x轴同侧3.2.6 若点P在区域内0，f(k)=0有两相异实根Q1在C1的右支下半支，Q2在C1的左支下半支3.2.7 若点P在区域内Q1在C1左支下半支，Q2在C1的右支上半支综上所述：当P在原点或P在区域时，不存在切线；当P在C1或C2(不含原点)上时，仅一条切线；当P在区域、或