2013年全国高考理科数学试题及答案-广东卷.pdf

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 理科 逐题详解数学 理科 逐题详解 参考公式参考公式 台体的体积公式 1122 1 3 VSS SSh 其中 12 S S分别是台体的上 下底面积 h 表示台体的高 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 8 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 40 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 设集合 2 20 Mx xxx R 2 20 Nx xxx R 则MN U A 0 B 0 2 C 2 0 D 2 0 2 解析 解析 D 易得 2 0M 0 2N 所以MN U 2 0 2 故选 D 2 定义域为R的四个函数 3 yx 2xy 2 1yx 2sinyx 中 奇函数的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 解析 解析 C 考查基本初等函数和奇函数的概念 是奇函数的为 3 yx 与2sinyx 故选 C 3 若复数z满足24izi 则在复平面内 z对应的点的坐标是 A 2 4 B 2 4 C 4 2 D 4 2 解析 解析 C 24 42 i zi i 对应的点的坐标是 4 2 故选 C 4 已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 3 5 3 10 1 10 则X的数学期望EX A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 解析 解析 A 331153 123 51010102 EX 故选 A 5 某四棱台的三视图如图所示 则该四棱台的体积是 A 4 B 14 3 C 16 3 D 6 解析 解析 B 由三视图可知 该四棱台的上下底面边长分别为 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第第 5 题图题图 1和2的正方形 高为2 故 2222 114 11222 33 V 故选 B 6 设 m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 A 若 m n 则mn B 若 m n 则 mn C 若mn m n 则 D 若m mn n 则 解析 解析 D ABC 是典型错误命题 选 D 7 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 3 0F 离心率等于 3 2 在双曲线C的方程是 A 22 1 45 xy B 22 1 45 xy C 22 1 25 xy D 22 1 25 xy 解析 解析 B 依题意3c 3 2 e 所以2a 从而 2 4a 222 5bca 故选 B 8 设整数4n 集合 1 2 3 Xn L 令集合 Sx y zx y zXxyz yzx zxy 且三条件恰有一个成立 若 x y z和 z w x都在S中 则下列选项正确的是 A y z wS x y wS B y z wS x y wS C y z wS x y wS D y z wS x y wS 解析 解析 B 特殊值法 不妨令2 3 4xyz 1w 则 3 4 1y z wS 2 3 1x y wS 故选 B 如果利用直接法 因为 x y zS z w xS 所以xyz yzx zxy 三个式子中恰有一个成立 zwx wxz xzw 三个 式子中恰有一个成立 配对后只有四种情况 第一种 成立 此时wxyz 于是 y z wS x y wS 第二种 成立 此时xyzw 于是 y z wS x y wS 第三种 成立 此时yzwx 于是 y z wS x y wS 第四 种 成立 此时zwxy 于是 y z wS x y wS 综合上述四种情况 可得 y z wS x y wS 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分分 一一 必做题必做题 9 13 题题 9 不等式 2 20 xx 的解集为 解析 解析 2 1 易得不等式 2 20 xx 的解集为 2 1 第第 11 题图题图 1ii x y 4 4 1 O A E D C B O 第第 15 题图题图 10 若曲线lnykxx 在点 1 k处的切线平行于x轴 则k 解析 解析 1 求导得 1 yk x 依题意10k 所以1k 11 执行如图所示的程序框图 若输入n的值为4 则输出s的值为 解析 解析 7 第一次循环后 1 2si 第二次循环后 2 3si 第三次循环后 4 4si 第四次循环后 7 5si 故输出7 12 在等差数列 n a中 已知 38 10aa 则 57 3aa 解析 解析 20 依题意 1 2910ad 所以 57111 334641820aaadadad 或 5738 3220aaaa 13 给定区域D 44 4 0 xy xy x 令点集 000000 TxyD xyZxy 是z xy 在D上取得最大值或最小值的点 则T中的点共确定 条不同的直线 解析 解析 6 画出可行域如图所示 其中z xy 取得最小值时的整点为 0 1 取得最大值时的 整点为 0 4 1 3 2 2 3 1及 4 0共5个整点 故可确定5 16 条不同的直线 二 选做题 二 选做题 14 15 题题 考生只能从中选做一题考生只能从中选做一题 两题全答的两题全答的 只计前一题的得分 只计前一题的得分 14 坐标系与参数方程选讲选做题坐标系与参数方程选讲选做题 已知曲线C的参数方程为 2cos 2sin xt yt t为参数 C在点 1 1处的切线为l 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 则l的极坐标方程 为 解析 解析 sin2 4 曲线C的普通方程为 22 2xy 其在点 1 1处的切线l的方程 为2xy 对应的极坐标方程为cossin2 即sin2 4 15 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 如图 AB是圆O的直径 点C在圆O上 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第第 17 题图题图 延长BC到D使BCCD 过C作圆O的切线交AD于E 若 6AB 2ED 则BC 解析 解析 2 3 依题意易知ABCCDE 所以 ABBC CDDE 又 BCCD 所以 2 12BCAB DE 从而2 3BC 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 小题小题 满分满分 80 分分 解答须写出文字说明 证明过程或演算解答须写出文字说明 证明过程或演算步骤步骤 16 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数 2cos 12 f xx x R 求 6 f 的值 若 3 cos 5 3 2 2 求2 3 f 解析 解析 2cos2cos2cos1 661244 f 22cos 22cos 2cos2sin2 33124 f 因为 3 cos 5 3 2 2 所以 4 sin 5 所以 24 sin22sincos 25 22 7 cos2cossin 25 所以2 3 f cos2sin2 72417 252525 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 某车间共有12名工人 随机抽取6名 他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示 其中茎为十 位数 叶为个位数 根据茎叶图计算样本均值 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人 从该车间12名工人中 任取2人 求恰有1名优秀 工人的概率 解析 解析 样本均值为17 1920212530132 22 66 由 知样本中优秀工人占的比例为 21 63 故推断该车间12名工人中有 1 124 3 名优 秀工人 C D O B E A H C D O x E A 向量法图向量法图 y z B 设事件A 从该车间12名工人中 任取2人 恰有1名优秀工人 则 P A 11 48 2 12 C C C 16 33 18 本小题满分 本小题满分 14 分 分 如图 1 在等腰直角三角形ABC中 90A 6BC D E分别是 AC AB上的 点 2CD BE O为BC的中点 将ADE 沿DE折起 得到如图 2 所示的四棱锥ABCDE 其中3A O 证明 AO 平面BCDE 求二面角ACDB 的平面角的余弦值 解析 解析 在图 1 中 易得3 3 2 2 2OCACAD 连结 OD OE 在OCD 中 由余弦定理可得 22 2cos455ODOCCDOC CD 由翻折不变性可知2 2A D 所以 222 A OODA D 所以A OOD 理可证A OOE 又ODOEO I 所以AO 平面BCDE 传传统统法法 过O作OHCD 交CD的延长线于H 连结A H 因为AO 平面BCDE 所以AHCD 所以AHO 为二面角ACDB 的平面角 结合图 1 可知 H为AC中点 故 3 2 2 OH 从而 22 30 2 A HOHOA 所以 15 cos 5 OH A HO A H 所以二面角ACDB 的平面角的余弦值为 15 5 向量法向量法 以O点为原点 建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示 则 0 0 3 A 0 3 0C 1 2 0D C O B D E A C D O B E A 图 1 图 2 所以 0 3 3CA uuur 1 2 3DA uuuu r 设 nx y z r 为平面A CD 的法向量 则 0 0 n CA n DA r uuur r uuuu r 即 330 230 yz xyz 解得 3 yx zx 令1x 得 1 1 3n r 由 知 0 0 3OA uuur 为平面CDB的一个法向量 所以 315 cos 535 n OA n OA n OA r uuur r uuur r uuur 即二面角ACDB 的平面角的余弦值为 15 5 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 1a 2 1 212 33 n n S ann n n N 求 2 a的值 求数列 n a的通项公式 证明 对一切正整数n 有 12 1117 4 n aaa L 解析 解析 依题意 12 12 21 33 Sa 又 11 1Sa 所以 2 4a 当2n 时 32 1 12 2 33 nn Snannn 32 1 12 21111 33 nn Snannn 两式相减得 2 1 12 2133121 33 nnn ananannn 整理得 1 11 nn nanan n 即 1 1 1 nn aa nn 又 21 1 21 aa 故数列 n a n 是首项为 1 1 1 a 公差为1的等差数列 所以 111 n a nn n 所以 2 n an 当1n 时 1 17 1 4a 当2n 时 12 11157 1 444aa 当3n 时 2 11111 11 n annnnn 此时 222 12 11111111111111 11 434423341 n aaannn LLL 111717 1 4244nn 综上 对一切正整数n 有 12 1117 4 n aaa 到直线l 20 xy 的距离为 3 2 2 设P为直线l上的点 过点P作抛物线C的两条切线 PA PB 其中 A B为切点 求抛物线C的方程 当点 00 P xy为直线l上的定点时 求直线AB的方程 当点P在直线l上移动时 求AFBF 的最小值 解析 解析 依题意 设抛物线C的方程为 2 4xcy 由 023 2 22 c 结合0c 解得1c 所以抛物线C的方程为 2 4xy 抛物线C的方程为 2 4xy 即 2 1 4 yx 求导得 1 2 yx 设 11 A x y 22 B xy 其中 22 12 12 44 xx yy 则切线 PA PB的斜率分别为 1 1 2 x 2 1 2 x 所以切线PA的方程为 1 11 2 x yyxx 即 2 11 1 22 xx yxy 即 11 220 x xyy 同理可得切线PB的方程为 22 220 x xyy 因为切线 PA PB均过点 00 P xy 所以 1001 220 x xyy 2002 220 x xyy 所以 1122 x yxy为方程 00 220 x xyy 的两组解 所以直线AB的方程为 00 220 x xyy 由抛物线定义可知 1 1AFy 2 1BFy 所以 121212 111AFBFyyy yyy 联立方程 00 2 220 4 x xyy xy 消去x整理得 222 000 20yyxyy 由一元二次方程根与系数的关系可得 2 1200 2yyxy 2 120 y yy 所以 22 1212000 121AFBFy yyyyxy 又点 00 P xy在直线l上 所以 00 2xy 所以 2 222 000000 19 212252 22 yxyyyy 所以当 0 1 2 y 时 AFBF 取得最小值 且最小值为 9 2 21 本小题满分 本小题满分 14 分 分 设函数 2 1 x f xxekx 其中k R 当1k 时 求函数 f x的单调区间 当 1 1 2 k 时 求函数 f x在 0 k上的最大值M 解析 解析 当1k 时 2 1 x f xxex 1222 xxxx fxexexxexx e 令 0fx 得 1 0 x 2 ln2x 当x变化时 fxf x 的变化如下表 x 0 0 0 ln2 ln2 ln2 fx 0 0 f x 极大值 极小值 右表可知 函数 f x的递减区间为 0 ln2 递增区间为 0 ln2 1222 xxxx fxexekxxekxx ek 令 0fx 得 1 0 x 2 ln 2xk 令 ln