2013年全国高考文科数学试题及答案-北京卷.pdf

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 文 北京卷 本试卷满分 150 分 考试时 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 第一部分 选择题第一部分 选择题 共共 40 分 分 一 选择题 共一 选择题 共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要 求的一项 求的一项 1 已知集合 1 0 1A 11Bxx 则 A acbc B 11 ab D 33 ab 3 下列函数中 既是偶函数又在区间 0 上单调递减的是 A 1 y x B x ye C 2 1yx D lgyx 4 在复平面内 复数 2 ii 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 5 在ABC 中 3a 5b 1 sin 3 A 则sin B A 1 5 B 5 9 C 5 3 D 1 6 执行如图所示的程序框图 输出的S值为 A 1 B 2 3 C 13 21 D 610 987 7 双曲线 2 2 1 y x m 的离心率大于2 的充分必要条件是 A 1 2 m B 1m C 1m D 2m 8 如图 在正方体 1111 ABCDABC D 中 P为对角线 1 BD的三等分点 则P到各 顶点的距离的不同取值有 A 3个 B 4个 C 5个 D 6 个 第二部分 选择题第二部分 选择题 共共 110 分 分 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分 分 9 若抛物线 2 2ypx 的焦点坐标为 1 0 则p 准线方程为 10 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的体积为 11 若等比数列 n a满足 24 20aa 35 40aa 则公比q 前n项和 n S 12 设D为不等式组 0 20 30 x xy xy 所表示的平面区域 区域D上的点与点 1 0 之间的距离的最 小值为 13 函数 1 2 log 1 2 1 x xx f x x 证明 1 d 2 d LL 1n d 是等比数列 3 设 1 d 2 d LL 1n d 是公差大于0的等差数列 且 1 0d 证明 1 a 2 a LL 1n a 是 等差数列 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 文 北京卷 参考答案 一 选择题 共一 选择题 共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 分 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 C 7 C 8 B 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分 分 9 2 1x 10 3 11 2 1 21 n 12 2 5 5 13 2 14 3 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 共小题 共 80 分 解答应写出必要的文字说明 演算步骤 分 解答应写出必要的文字说明 演算步骤 15 本小题共 13 分 解 1 2 1 2cos1 sin2cos4 2 f xxxx 1 cos2 sin2cos4 2 xxx 11 sin4cos4 22 xx 2 sin 4 24 x 所以 最小正周期 2 42 T 当42 42 xk kZ 即 216 k x kZ 时 max 2 2 f x 2 因为 22 sin 4 242 f 所以sin 4 1 4 因为 2 所以 917 4 444 所以当0 x 时 0fx f x单调递增 当0 x 时 0fx 则A C两点为圆 222 xyr 与椭圆 2 2 1 4 x y 的交点 联立方程 222 2 2 1 4 xyr x y 得 2 2 4 1 3 r x 所以A C两点的横坐标相等或互为相反数 因为点B在W上 若A C两点的横坐标相等 点B应为椭圆的左顶点或右顶点 不合题意 若A C两点的横坐标互为相反数 点B应为椭圆的上顶点或下顶点 不合题意 所以四边形OABC不可能为菱形 20 本小题共 13 分 解 1 111 3 12dAB 222 4 13dAB 333 7 16dAB 2 因为 1 a 2 a LL n a 4n 是公比大于1的等比数列 且 1 0a 所以 1 1 n n aa q 所以当1 2 3 1kn L时 1kkkkk dABaa 所以当2 3 1kn L时 11 111 1 1 kkkk kkkk daaaqq q daaaq 所以 1 d 2 d LL 1n d 是等比数列 3 若 1 d 2 d LL 1n d 是公差大于0的等差数列 则 121 0 n ddd L 1 a 2 a LL 1n a 应是递增数列 证明如下 设 k a是第一个使得 1kk aa 的项 则 1kk AA 1kk BB 所以 111kkkkkk dABABd 与已知矛盾 所以 1 a 2 a LL 1n a 是递增数列 再证明 n a 数列 n a中最小项 否则 kn aa矛盾 因而2