谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程硕士学位论文.doc

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 I 摘摘 要要 薛定谔方程是物理系统中量子力学的基础方程 它可以清楚地说明量子在系 统中随时间变化的规律 通过求解微观系统所对应的薛定谔方程 我们能够得到 其波函数以及对应的能量 从而计算粒子的分布概率 进一步来了解其性质 在 化学和物理等诸多科学研究领域当中 薛定谔方程求解的结果都与实际很相符 近年来 很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程 解释了很多 重要的物理现象 因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义 本文主要是用 Galerkin Chebyshev 谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程 首先运用 Galerkin Chebyshev 谱方法来对空间导数进行近似 离散二维薛定谔方 程 从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组 然后用边界值法求解该 方程组 所求得的数值解即为原问题的解 之后进行误差分析 最后利用 Matlab 进行数值模拟 给出数值解的图像以及误差曲面图像 结果显示此方法精度高且 具有很好的稳定性 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖 关键词 薛定谔方程 Galerkin Chebyshev 谱方法 边界值法 数值解 精度高 稳定 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 II Abstract The Schr dinger equation is the basic equations of quantum mechanics in the physical system It can clearly describe the regular of the quantum evolves over time By solving the Schr dinger equation which the micro system correspond we can get the wave function and energy and thus calculate the probability distribution of the particles further understand the nature of it In chemistry physics and other fields of scientific research the results of solving the Schrodinger equation are basically consistent with the actual In recent years many researchers used a variety of methods to investigate the Schr dinger equation with complex potential function and explained a lot of important phenomena Thus solving the Schr dinger equation has very important significance 聞創沟燴鐺險爱氇谴净 The main purpose of this paper is to solve the two dimensional Schr dinger equation through the Galerkin Chebyshev spectral method and the boundary value method First we use the spectral method to approximate the spatial derivation discretize the two dimensional Schr dinger equation and transform the original problem into a set of linear ordinary differential equations in the complex number field Then by using the boundary value method to solve the equations that the numerical solutions is the solutions of the original problem and then analyze the error Finally we use Matlab to conduct the numerical simulation and give the images of the numerical solutions and errors which show that the methods have high precision and good stability 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟 Keywords Schr dinger equation Galerkin Chebyshev spectral method boundary value method numerical solutions high precision stability酽锕极額閉镇桧猪訣 锥 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 III 目 录 摘 要 I彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑 Abstract II謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔 第 1 章 绪 论 1厦礴恳蹒骈時盡继價骚 1 1 课题研究的背景和意义 1茕桢广鳓鯡选块网羈泪 1 2 国内外研究现状 2鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴 1 3 本文的主要研究内容 2籟丛妈羥为贍偾蛏练淨 第 2 章 预备知识 4預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴 2 1 克罗内克积的简介 4渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦 2 2 Chebyshev 多项式介绍及其性质 5铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡 2 3 Chebyshev 正交逼近的性质 6擁締凤袜备訊顎轮烂蔷 2 4 投影算子的性质 7贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷 2 5 本章小结 8坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚 第 3 章 Galerkin Chebyshev 谱方法和边界值法 9蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘 3 1 用 Galerkin Chebyshev 谱方法求解椭圆型方程 9買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄 3 2 用边界值法求解常微分方程 10綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴 3 3 本章小结 14驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦 第 4 章 求解二维薛定谔方程 15猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑 4 1 区域和边界条件的处理 15锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔 4 1 1 区域的处理 15構氽頑黉碩饨荠龈话骛 4 1 2 边界条件的处理 17輒峄陽檉簖疖網儂號泶 4 2 二维薛定谔方程的求解 20尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅 4 3 误差分析 21识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒 4 4 本章小结 26凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴 第 5 章 数值模拟 27恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦 结 论 32鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫 参考文献 33硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹 哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明 37阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖 致 谢 38氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 4 第第 1 章章 绪绪 论论 1 1 课题研究的背景和意义 薛定谔方程是一个偏微分方程 它可以清楚地说明量子在物理系统中随时间 如何在变化 它是量子力学的一个基本的假设 也是量子力学的基础方程 由物 理学家薛定谔提出而得名 1 在经典力学和量子力学当中 人们分别是用牛顿第 二定律和薛定谔方程来描述物体的运动的 这两者在物理系统当中具有相同的地 位 薛定谔方程式可以描述任何的微观系统 通过求解该微观系统所对应的薛定 谔方程 我们能够得到其波函数以及对应的能量 从而进一步来了解该微观系统 的性质 釷鹆資贏車贖孙滅獅赘 薛定谔方程可以分为与时间有关和与时间无关两种类型 其中量子系统的波 函数随着时间的演化过程是通过与时间有关的薛定谔方程来描述的 而与时间无 关的薛定谔方程则描述的是固定状态的量子系统的物理性质 方程的解即是该量 子系统固定状态的波函数 怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉 本文考虑的是二维与时间有关的薛定谔方程 1 1 22 22 uuu ix y tx y tx y tw x y u x y t txy 0 x y ta ba bT 初始条件为 0 u x yx y 边界值条件为 1 2 12 34 0 0 u x a tx tu x b tx tt u a y ty tu b y ty tt 其中是任意的势函数 是波函数 且在定义域内连续 w x y1i u x y t 薛定谔方程是反应微观粒子随着时间变化的非相对论波动函数 它仅适用于 速度比较缓慢的非相对论粒子 其中波函数可以很好地描述微观粒子的 u x y t 状态 在势函数中微观粒子运动的薛定谔方程即为方程 1 1 我们可以通 w x y 过给定的初始条件和边界值条件以及波函数所满足的条件 来求解出波函数 进而计算粒子的分布概率 谚辞調担鈧谄动禪泻類 u x y t 薛定谔方程被广泛地应用于化学和物理等领域中 如量子器件的建模 2 光 纤传播模型 3 光电子器件的设计 4 电磁波的传播 5 天体系统的量子化 6 轴 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 5 近似波动方程的水下声学 7 量子动力学计算的应用 8 9 化学核外电子的运动状 态描述 10 等 它被应用到原子 核等诸多方面问题中 所得到的结果都与实际很 相符 近年来 很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程所描述 的问题 11 14 解释了很多重要的物理现象 因此对薛定谔方程的求解具有相当重 要的意义 嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩 1 2 国内外研究现状 到目前为止 对薛定谔方程 1 1 的求解已经有了很多种数值方法 大多都 是采用的有限差分法 15 17 或者是用三角正交函数系或幂级数函数展开的谱方法 18 19 Subasi 给出了具有二阶精度的有限差分方法 20 Kalita 等人给出了一个隐 式的半离散高阶紧凑方法 21 Antonie 等人给出了一个 Crank Nicolson 隐格式方 法 22 Dehghan 给出了不同的有限差分方法包括三个全隐式和两个全显示差分方 法以及交替方向隐式法和 Barakat 和 Clark 类型的显示方法 23 Dehghan 和 Shokri 还给出了使用配置和薄板样条径向基函数的数值方法 24 此外 Dehghan 和 Mohebbi 还给出了求解方程 1 1 的紧凑有限差分法 25 Gao 和 xie 还给出了紧凑 的交替方向隐式有限差分法 26 该方法在空间上具有四阶精度 在时间上具有二 阶精度 Li 等人还给出了多元二次 MQ 和薄板样条 TPS 径向基函 3 m 数的 MPS 方法求解薛定谔方程 该方法类似于有限差分法 27 Dehghan 和 Taleei 还提出了一种紧凑的分布有限差分方法来求解薛定谔方程 28 该方法通过使用四 阶精度紧致差分格式 来提高分布有限差分方法的准确性 而且还具有无条件稳 定的性质 熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库 谱方法的思想起源于傅立叶分析 它是一种既古老又新兴的求解偏微分方程 的方法 求解偏微分方程的三种最基本的方法分别是谱方法 有限差分方法和有 限元方法 谱方法和另两种方法相比 具有 无穷阶 收敛的特点 即它的收敛 速度会随着真解的光滑程度变高而变快 从而谱方法就能用限制自由度的方式来 得到较高的精度 29 另两种方法在这一点上是无法比拟的 鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞 1 3 本文的主要研究内容 本文主要是用 Galerkin Chebyshev 谱方法和边界值法求解二维 Schr dinger 方 程 运用 Galerkin Chebyshev 谱方法对空间导数进行近似 离散薛定谔方程 1 1 从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组 然后再用边界值法求解该方 程组 所求得的数值解即为原问题的解 之后再进行误差分析 得到误差分析结 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 6 果 最后再通过 Matlab 进行数值模拟 给出数值解的图像以及误差曲面图像 谱 方法求解偏微分方程具有高精度的性质 边界值法求解常微分方程同样具有高精 度和稳定的特点 这样问题即得到解决 纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛 在第一章中我们阐述了薛定谔方程在当前科学研究中的应用 表明求解薛定 谔方程具有很深远的意义 还介绍了现阶段求解该方程的主要方法 以及本文即 将采用的方法 紧接着在第二章中 我们介绍了本论文所需要的一些预备的基础 知识 为后面论文的顺利进行做好准备工作 颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷 在第三章当中 我们采用 Galerkin Chebyshev 谱方法求解椭圆型方程 以及 用边界值法求解常微分方程 并给出求解特殊常微分方程组的求解格式 这两个 方法求解微分方程都具有很高的精度和很好的稳定性 濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻 第四章中 先对原问题进行区域映射处理 以及对边界条件进行齐次化处理 以后 然后运用 Galerkin Chebyshev 谱方法对二维薛定谔方程进行离散 将其转 化成常微分方程组 然后对该微分方程组进行求解 得到数值解 接着对该方法 进行误差分析 得到误差估计结果 銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼 第五章进行数值模拟 根据前面的内容 编程得到问题的数值解 并和相应 的精确解进行比较 分析其误差 画出误差曲面图像 挤貼綬电麥结鈺贖哓类 最后是本文的一个总结 以及研究此问题的意义和前景展望 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 7 第 2 章 预备知识 2 1 克罗内克积的简介 定义定义 2 1 30 设是一个行列的矩阵 是一个行列的矩阵 Amn m n a ij A Bpq 克罗内克积可以表示成 ijp q Bb AB 11121 21222 12 n n mmmn a B a Ba B a B a Ba B AB a B aBa B 它是一个的分块矩阵 mpnq 克罗内克积具有如下的一些性质 性质 1 满足结合律与双线性的性质 如果矩阵存在 则 BC ABCABAC 如果矩阵存在 则 AB ABCACBC 其中是常数 kABAkBk AB k ABCABC 性质 2 和是四个矩阵 如果矩阵乘积和存在 那么就有ABCDABCD AB CDACBD 性质 3 是可逆的当且仅当和是可逆的 其逆矩阵是 AB AB 111 ABAB 性质 4 T TT ABAB 定义定义 2 2 设是一个行列的矩阵 那么把矩阵按列将后一列Amn m n a ij A A 堆在前一列后面 形成的一个新的列的向量记为 即 赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈 mn vec A 1112121231 a a a a a a a T nnmn vec A 定理定理 2 1 设是一个行列的矩阵 是一个行列的矩阵 是一个AmmBnnU 行列的矩阵 也是一个行列的矩阵 那么有 mnFmn T AUBFBA vec Uvec F 证明 证明 先将矩阵 写成如下的形式 BUF 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 8 121212 T nnn Bb bbUu uuFfff 其中 分别是矩阵 第 列的列向量 i b i u i fBUFi1 2 in 则有 BA vec Uvec F 1112111 2122222 12 n n nnnnnn AbAbAbuf AbAbAbuf ufAbAbAb 1 1 2 n ijji j Ab uf in 12 n AUb AUbAUbF T AUBF 从而原题得证 2 2 Chebyshev 多项式介绍及其性质 定义定义 2 3 在区间上的权函数以递归的形式定义的正交多项式 1 1 2 1 1 x x 称为 Chebyshev 多项式 它可写成 cos arccos 0 1 n T xnx n Chebyshev 多项式具有如下的性质 性质 1 31 正交性 1 1 2 2 1 0 1 0 2 0 nmnm mn T x TxT x Txxdxmn mn 性质 2 31 递推关系 11 01 2 1 nnn TxxT xTx T xT xx 11 01021 1 2 1 1 0 4 nnn n TxnT xTx n T xT xT x T xT x 性质 3 31 是阶多项式 是阶多项式 是阶多项式 n T xn n T x1n n Tx2n 满足 其中 1 0 1 2 n nk k k k nodd T xnT x c 1 22 0 1 n nk k k k neven Txn nk T x c 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 9 2 0 1 0 k k c k 定理定理 2 2 32 设 则 2 kkkjkkjjkkj xT xTx axxbxx 2 1 2 4 1 2 4 6 0 jk jjkj ajkjjj kj or kjodd 1 2 2 2 2 0 k jk c kj bkjor kj otherwise 2 3 Chebyshev 正交逼近的性质 我们讨论 Chebyshev 逼近问题 需要借助带权的 Sobolev 空间 下面记以 为权的阶空间为 它 11 22 22 1 1 xy mSobolev 1 1 1 1 mm HH 的内积和范数定义分别为塤礙籟馐决穩賽釙冊庫 k k 0 m m k u vu vdxdy 1 2 m m uu u 记 2 11 22 0 L uu uu u 设区间是一个非空集 且是 Lebesgue 可测的 记的范数为 n R p L 1 1 p p L ffdxdyp 当时 p sup L x I fessf 接下来定义空间 设空间是有界的 且 有 p L n R1p p p L Lff 在空间和上的全体次连续可微的函数所构成的集合分别记为和 k k C 记 k C 12 N N N 12N 12 12 N N DD DD 其中是广义导算子 接下来定义弱导数 i i D x 定义定义 2 4 33 设 满足上面的式子 称 是的阶弱导数 记为 1 loc u vL vu 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 10 如果vD u 0 1 uDdxv dxC 有时又称在弱的意义下 vD u 下面定义空间 设区域是有界的 是非负整数 k p W n Rk1p 有 p pL k ppp WffLD fLk k p p W L k fD f 其中为空间上面的范数 k p W f k p W 在空间上的闭包记为 当时 0 C k p W 0 k p W 2P 2 kk WH 2 0 0 kk WH 定理定理 2 3 Gronwall 不等式 不等式 34 设和是上的非负的连续函数 并 t g t 0 T 且在是可微的 如果存在常数满足 使得对任意的 都 t 0 T 0 0 tT 有 裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺 ttg t 或者等价的还有 0 0 t tgd 那么就有 0 0 0 t tt tegedtT 2 4 投影算子的性质 记是一个多项式空间 其最大自由度是 是到的正 NP N N P 2 L NP 交投影算子 是到的椭圆投 11 0 0HHv v 0 N P 1 0 H NP 影算子 则有如下的定义和性质定理 仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁 定义定义 2 5 35 空间 中从到的正交投影算子为 2 L 1 0 H 2 N V N P 2 0 NN P vvV 定义定义 2 6 35 空间 中从到的椭圆投影算子为 2 L 1 0 H NP 0 N P 02 0 NwN P uuvvV 定理定理 2 4 36 对任意的非负整数 都有下面的不等式 s s H 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 11 2 s s N LH PcN 定理定理 2 5 37 对任意的非负整数 都有下面的不等式 s 1 0 s HH 12 00 s s NN H HL PNPcN 2 5 本章小结 本章给出了完成这篇论文所需要的一些必备的基础知识 首先介绍了克罗内 克积的定义以及性质 然后介绍了切比雪夫多项式性质以及一些重要的关系定理 之后介绍了 Chebyshev 正交逼近的性质 其中包括内积和范数的定义 空间的定 义和性质 最后还介绍了投影算子的定义和不等式性质 为论文的进行做好准备 工作 绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 12 第第 3 章章 Galerkin Chebyshev 谱谱方方法法和和边边界界值值法法 3 1 用 Galerkin Chebyshev 谱方法求解椭圆型方程 考虑用 Galerkin Chebyshev 谱方法来求解如下的椭圆型方程 3 1 22 22 uu w x y uuf x y xy 1 1 1 1 x yI 边界条件是 1 1 0 11uyuyy 1 1 0 11u xu xx 由 Chebyshev 多项式的定义和性质 设 01 NN Sspan T x T xTx 则方程 3 1 的 1 0 NN VuSu 2 0 1 2 Nij Vspanxyi jN Galerkin Chebyshev 谱方法是求使得对任给的都满足骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙 2 NN uV 2 N vV 22 22 NN NN uu vw x y uvuvf x y v xy 其中 u vuv dxdy 11 22 22 1 1 xy 1 1 1 1 令 取 2 0 N Nkjkj k j ux yuxy 0 1 2 lm vxy l mN 则有 NNN uvuvw x y uf x y v NlmNlmNlm uxyuxyw x y uf x yxy 将上式用矩阵表示即可写成 BUAAUBBUBF 其中 和满足定理 2 2 中的条件关系 0 1 2 kjk jN Aa 0 1 2 kjk jN Bb kj a kj b 且 0 1 2 kjk jN Uu 0 1 2 kjk jN Ff kjNkj fw x y uf x yxy 由定理 2 1 有 3 2 ABBA vec UBB vec Uvec F 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 13 对方程 3 2 进行求解 就可以求出其数值解 从而得到方程 3 1 的数值解 kj u N ux y 3 2 用边界值法求解常微分方程 边界值法是最近求解常微分方程数值解的常用方法 简称为 BVMs 它是线 性多步法的一个推广 和其他常微分初值问题的数值解法相比较 BVMs 具有高 精度和无条件稳定的特点 38 41 是一个很好的方法 瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉 考虑下面的初值问题 3 3 0 0 0y tf t y tyyt 用步线性多步法离散上面的方程即可得到k 3 4 00 0 1 kk rrjrrj rr ytfjNk 其中 为系数 rrrrr yy r t tr t ff ty r r 由泰勒展开有 23 2 3 rjjjjj rtrt yyrt yyy 23 4 2 3 rjrjjjjj rtrt fyyrt yyy 从而令 1 01 00 kk qq rrjrrjjjqj rr LytfC yCtyCt y 则有 3 5 0 0 1 10 1 10 11 2 3 1 k r r kk rr rr kk qq qrr rr C Cr Crrq qq 如果有次的连续微商 那么就可以选取和使得 y t2p k jj 即选取使其满足 01 0 p ccc 1 0 p c rr 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 14 3 6 0 11 1 11 0 0 11 0 1 k r r kk rr rr kk pp rr rr r rr pp 此时就有 1 1 2 1 ppp p LctytOt 00 kk rrjrrjj k rr ytfR 其中为截断误差 略去 就得到了线性多步法 3 4 该方法的精度是 j k R j k R 阶的 p 求解方程 3 4 需要个初始边界条件和个结尾边界条件 即我们需要 k 和 初始边界条件可以由方程 3 3 得到 个初始 011 yyy 1 N kN yy 0 y1 边界条件和个结尾边界条件则来自于以下等式鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類 k 3 7 00 1 1 kk jj rrrr rr ytfj 和 3 8 00 1 kk jj rN k rrN k r rr ytfjNkN 其中系数和的选择 要满足使基于最初与最后的边界条件的方法的截断 j r j r 误差与基于公式 3 6 的方法具有相同的阶 栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬 方程 3 4 3 8 用矩阵形式表示可以写为 eeeeee A ytB f ty 其中 1 1 NNN eeee tyRA BR 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 15 1 1 1 01 1 1 1 01 01 0 0 1 1 0 0 1 k k k e k N kN k k NN k NN A 用代替矩阵中的 即为矩阵 并且 e A e B 0101 TT eNeN yyyyffff 对进行划分 eee A Bf 0000 TT eeee AaA yyyBb Bfff 1 1 1 1 00000000 0 0 0 0 TT ab 将第一列分离出来 可以得到的等价式 eeeeee A ytB f ty 3 9 0 AytBf t yg 其中是一个未知量 且有 N yR 11000000 TT NN yyyfffga ytb f ty 在这里我们用四阶 BVMs 近似方程 3 3 并取 由 3 6 得到3 2k 0123 1230123 123123 0 230 1227149 0 2438632 求解该方程组 得到其基础解系 取其中的三组解 一组代入到方程 3 4 另两 组分别代入到 3 7 和 3 8 即可以得到下面的关系式辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应 3 10 32121 1 99 122 jjjjjj t yyyyff 其中 01230123 199111 0 0 1212121222 其对应的初始边界条件和结尾边界条件分别为 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 16 3 11 321010 1 9917 3 244 t yyyyff 其中 01230123 1799113 0 0 2424242444 3 12 3211 1 9917 3 244 NNNNNN t yyyyff 其中 01230123 1991731 0 0 2424242444 把上面的三个式子化为等式 3 9 的形式 则其中的分别为 00 A B a b 9 249 241 24 9 129 121 12 1 129 129 121 12 1 129 129 121 12 1 249 249 2417 24 A 3 4 1 21 2 1 21 2 3 41 4 B 0 171 0 0 2412 T a 0 1 0 0 4 T b 如果我们考虑的是特殊的线性常微分方程组 3 13 0 0 0 x y tB y tg tyyt 其中是的矩阵 且 x Bm m 1212 TT mm y ty ty tytg tg tg tgt 那么我们可以将 3 13 化为矩阵形式如下 3 14 00000 mxmx AItBByt BIgt bB ygay 其中是的单位矩阵 且 m Im m 00 gg t 112111222212 T mmNNmN yy ty tyty ty tyty ty tyt 112111222212 T mmNNmN gg tg tgtg tg tgtg tg tgt 如果线性常微分方程组可以化为下面的形式 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 17 3 15 0 0 0 xx A y tB y tg tyy t 其中是的非奇异矩阵 那么用四阶 BVM 法可以将方程 3 15 化为 x Am m 3 16 00000 xxmxx AAtBByt BIgt bB ygaA y 3 3 本章小结 本章给出了利用 Galerkin Chebyshev 谱方法求解椭圆型方程的数值方法格式 利用该方法将偏微分方程进行离散以后得到常微分方程组 再利用常微分方程的 解法对其进行求解即可达到将偏微分方程进行求解的目的 谱方法精度很高 稳 定性也很好 对于求解偏微分方程是一个非常好的方法 还给出了利用边界值法 求解微分方程组的过程 并给出了几种特殊形式的微分方程组的边界值法求解的 数值格式 边界值法求解微分方程具有很高的精度 对于求解常微分方程组也是 一个很好的方法 峴扬斕滾澗辐滠兴渙藺 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 18 第 4 章 求解二维薛定谔方程 4 1 区域和边界条件的处理 由于 Galerkin Chebyshev 谱方法只能解决齐次边值条件的问题 故针对本文 的二维 Schr dinger 方程问题 需要先进行区域的映射处理 对非齐次的边值问题 进行齐次化处理 将其转化成方程的一般形式 再进行求解 詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜 4 1 1 区域的处理 原问题中 我们在这里对其进行一定的变换处理 使区域 x ya ba b 变成 1 11 1 令 1 2 X xaba 1 2 Y yaba 11 22 XY U X Y tu abaabatu x y t U X Y tu x y t tt 11 22 11 22 22 XY u abaabat U X Y tx XxX XY u abaabat babau x y t xx 2 2 22 2 222 1 2 44 X u abay t U X Y tbau x y tba Xxx 11 22 11 22 22 XY u abaabat U X Y ty YyY XY u abaabat babau x y t yy 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 19 2 2 22 2 222 1 2 44 X u abay t U X Y tbau x y tba Yyy 于是方程 1 1 就转化为 4 1 22 2222 44 11 22 U X Y tU X Y tU iX Y t tXY baba XY w aba aba U X Y t 1 11 10 X Y tT 初始条件为 11 0 22 XY U X Yaba aba 边界值条件为 12 34 11 1 1 0 22 11 1 1 0 22 XX U Xtaba tU Xtaba tt YY UY taba tUY taba tt 对方程 4 1 进行简化 可以将其表示为 4 2 22 22 UUU iX Y tX Y tX Y tX Y U X Y t tXY 1 11 10 X Y tT 初始条件为 0 U X YX Y 边界值条件为 12 34 1 1 0 1 1 0 U XtX tU XtX tt UY tY tUY tY tt 其中 2 4 ba 11 22 XY X Yw aba aba 11 22 XY X Yaaba 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 20 1122 11 22 XX X taba tX taba t 3344 11 22 YY Y taba tY taba t 4 1 2 边界条件的处理 在本文中对边界条件的处理过程 就是一个对边界条件进行齐次化的过程 由方程 4 2 我们很容易得到 22 11 22 1 Xx 22 22 22 1 Xx 22 33 22 1 YY 22 44 22 1 YY 11 tt 32 tt 33 tt 44 tt 于是令 则有 1121 1 2 Y UX Y tX tX tX t A 111 1 0X tX tUXt A 221 1 0X tX tUXt A 331 1 Y tY tUY t A 441 1 Y tY tUY t 2222 1121 2222 1 2 UX Y tY XXXX 1121 1 2 UX Y tY tttt A 331 1 U Y t ttt A 441 1 U Y t ttt A 2222 3331 2222 1 U Y t YYYY A 2222 4414 2222 1 Un Y t YYYYrnr 令 即可得到 AAA 3432 1 2 X UX Y tY tY tY t AAA 2222 3432 2222 1 2 UX Y tX YYYY 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 21 AAA 3432 1 2 UX Y tX tttt AAA AA 3432 34 3141 3141 1 1 1 1 1 2 11 1 1 22 11 1 1 1 1 1 1 22 11 1 1 1 1 0 22 X UXtttt XX tt XX tUttUt XX tttt 同理可得 2 1 0UXt 从而有 A 112 1 0X tX tUXt A 222 1 0X tX tUXt A 332 1 0Y tY tUY t A 442 1 0Y tY tUY t 再令 则有 12 UUUU A 12 41 141 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 Uy tUy tUy tUy t Uy tUy tY t Uy tUy tY tUy t Uy tY t 同理有 1 0Uy t 1 0U xt 1 0U xt 即 1 1 0Uy tU xt 由可以得到 12 UUUU 12 UUUU tttt 2222 12 2222 UUUU XXXX 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 22 2222 12 2222 UUUU YYYY 于是方程 4 2 就转化为下面的方程 2222 1212 12 2222 UUUUUUU iX YUUU tttXXYY 2222 12 2222 12 12 UUUUU iX Y U tXYXY UU X YUUi tt 即可写成 4 3 22 22 UUU iX Y UF X Y t tXY 1 11 10 X Y tT 初始条件为 0 0 U X YUX Y 边界值条件为 1 0 0 1 0 0 U Xtt UY tt 其中 012 0 0UX YX YUX YUX Y 22 1212 12 22 UUUU F X Y tX YUUi XYtt 于是原问题就转化成了标准问题 接下来我们需要去复数域 令 URiQ 12 FFiF 带入方程 4 3 得到 2222 12 2222 RQRQRQ iiiiX YRiQFiF ttXXYY 根据复数的性质 即可以得到 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 23 4 4 22 2 22 22 1 22 RQQ X Y QF tXY QRR X Y RF tXY 1 11 10 X Y tT 初始条件为 0000 Re Im R X YUX YQ X YUX Y 边界值条件为 1 1 0 0 1 1 0 0 R XtQ Xtt RY tQY tt 4 2 二维薛定谔方程的求解 对上面的方程组 4 4 进行移项变换 得到 4 5 22 2 22 22 1 22 QQR X Y QF XYt RRQ X Y RF XYt 令 2 0 N Nkjkj k j RRtxy 2 0 N Nkjkj k j QQtxy A 1 2 kj Nkj FX Y QFxy A 2 1 kj Nkj FX Y RFxy 0 0 kjkj I RRX Yxyd 0 0 kjkj I QQX Yxyd A A 00 0 1 20 1 2 0 1 2 kj kjkj kjNkjN kjN RRQQRR AA AA 12 00 0 1 2 0 1 20 1 2 kj kjkj kjN kjNkjN FFFFQQ 令 由第三章的方法即可以得到解的弱形式 lm vxy 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 24 4 6 22 2 22 22 1 22 NNN N II NNN N II QQR X Y Qv dFv d XYt RRQ X Y Rv dFv d XYt 00 0 0 0 0 NN II RX YRX Yv dQX YQX Yv d 将 4 6 用矩阵表示即可写成 4 7 AAAA AAAA BQAAQBBR BF BRAARBBQ BF A 0 0 BRBR A 0 0 BQBQ 其中 A A dR R dt A A dQ Q dt 0 1 2 kj kjN Bb 利用定理 2 1 方程组 4 7 等价于 4 8 AAA AAA BB vec RABBA vec Qvec F BB vec QABBA vec Rvec F A 0 0 BB vec Rvec R A 0 0 BB vec Qvec Q 然后利用第三章的边界值法对上面的常微分方程组进行求解 所得的数值解 即为原问题的数值解 4 3 误差分析 由定理 2 4 可以得到 2 H 000 s s N L RRCNR 2 H 000 s s N L QQCNQ 那么问题 4 4 的弱形式是求使得 221 0 0 0 H R QLT LLT 4 9 2 1 III III R QvdX Y Qv dFv d t Q RvdX Y Rv dFv d t Galerkin Chebyshev 谱方法是求 使得 2 V NNN RQ 2 V 0 N tT 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 25 4 10 2 1 0 0 N NN III N NN III NN NN R QdX Y QdFd t Q RdX Y RdFd t RP R QP Q 令 00 PP NNNN R RRRRR 00 PP NNNN Q QQQQQ 0 P NNN RR 0 PNRR 0 P N NN QQ 0 PNQQ 则有 Nn R R N N Q Q 定理定理 4 14 1 假设 满足上面的关系 那么对任意的都有R N RQ N Q 0 tT 22 NN s LL RRQQcNM 其中 HH 1 22 2 0 2 0 0 2 ss s ss s t tt HHHH RQR tQ tdM R tQ t 证明 证明 由定理 2 5 可以得到 2 2 0 H P s s N L L tR tR tCNR t 由定理 2 4 可以得到 22000 H 0 P s s NN LL RRRX YRCNR 同理可得 2 2 22 0 H 000 H P 0 P s s s N LL s NN LL tQ tQ tCNQ t QQQX YQCNQ 接下来估计和 令 2 N L 2 N L II A t g vgvdX Y gv d 由方程组 4 9 4 10 可以得到 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 26 2 IIII N NN III R QvdX Y Qv dv dF v d t R QvdX Y Q v dv d t 从而有 0 N NN III RR QQvdX YQQv dv d t 2 0 N N N A tvA tvvvvV tt 同理得到 2 0 N NN A tvA tvvvvV tt 由投影算子的性质 我们可以得到 0 0 0 0 0 0 2 0 0 N N N N N N N N NN N N N NN III I P R R A tvvA t P QQvvv ttt P R R A t P Q vQvdX Y Q v dvv d tt P R A t P Q vvF v d t P R A t P Q vvQvd t 0 00 0 00 0 N NN N NN N III III II II R X Y Qv dv d t P R P QvdX Y P Qv dvQvd t R X Y Qv dv d t P R R vvP QQvdX YP QQ v d tt P R R vv tt v t 即 0 0 N N N A tvvvvV tt 同理有 0 0 N NN A tvvvvV tt 分别取 分别带入到上面两个式子中 就有 N v Nv 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 27 0 N N NNN A t tt 0 N NNN N A t tt 由于 且 2 2 NN L N 2 2 2 2 NNNNNNN NNNN L tttt tt 故得到 2 21 2 NN N L N A t tt 2 2 1 2 NN N N L A t tt 从而由 Cauchy Schwarz 不等式有 2 2 2222 2222 2 2 1 2 2 2 1 2 NN L L NN LLLL LLLL NN tttNtN ttt 得到 22 22 1 2 2 2 2 N L t L L N L t t 对上面的式子两边同时积分即得到 22 22 1 2 2 2 00 2 tt tNt N LL LL dd 222 222 11 22 22 22 0 0 0 2 NN t tNNt LLL LLL d 其中 2 22 2 2 2 00 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sss L LL L NNNNN NN ss H L s HH P RRP RRRR P RRRR C NRC NRCNR 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 28 22 2 2 2 2 00 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sss N LLL L NNNN NN ss HHH L s P QQP QQQQ P QQQQ C NQC NQCNQ 2 2 0 s L s ttNtt H L R tP R tCNR t A 2 2 0 s L L s ttNtt H Q tP Q tCNQ t 从而得到 2 2 11 2 2 22 22 0 0 0 2 ss ss ss N HH t ss tt HH N L L CNRCNQ CNR tCNQ td 由于 22 22 2 2 2 1 2 N L N N L N L L tttt 所以有 22 22 1 2 2 2 2 2 NN LL L NN L tttt 22 22 1 2 2 2 2 NN L LL N L N tttt 即有 22 22 1 2 2 2 1 22 2 0 2 2 0 0 2 ss ss N NN ss HH t ss tt N LL HH LL tttt CNRCNQ CNR tCNQ td 从而得到最后的误差分析的结果为 222 2 2222 2222 1 22 2 H 0 H 2 0 0 2 s ss ss s N LLL L NN LLL N L LL NN NN ss HH t ss tt H LL s H s RRQQ CNRCNQ CNR tCN CNR Q td tCNQ t 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 29 即有 22 NN s LL RRQQcNM 其中 HH 1 22 2 0 2 0 0 2 ss s ss s t tt HHHH RQR tQ tdM R tQ t 从而得证 得到最优误差估计 4 4 本章小结 在本章中 首先是对二维薛定谔方程进行区域映射以及对边界条件进行齐次 化处理 使其换化成便于 Galerkin Chebyshev 谱方法进行求解的标准格式 接着 利用 Galerkin Chebyshev 谱方法离散空间变量得到常微分方程组 再利用边界值 法对该方程组进行求解 即可以得到问题的数值解 最后再对本文所给出的方法 进行误差分析 得到误差分析结果 则鯤愜韋瘓賈晖园栋泷 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 30 第 5 章 数值模拟 在这一章中 我们列举了两个实例进行数值模拟 通过 Matlab 求出其数值解 然后和精确解