概率论试题 超高含金量.pdf

测题自10 内E 题题 号号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总总 分分 得得 分分 一 填空题 共 10 空 每空 2 分 共 20 分 答题须知 本题答案必须写在如下表格中 否则不给分 小题号 小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 答案 1 设 A 和 B 是两个随机事件 试表示以下事件 A 和 B 中至少有一个发生 A 发生但 B 不发生 2 设 A 与 B 是互斥的两个随机事件 已知 P A 0 2 P B 0 7 则 P A B P AB 3 设 A 和 B 相互独立的两个随机事件 已知 P A 0 4 P B 0 2 则 P A B P A B 4 设随机变量 X 的数学期望 E X 3 方差 D X 4 则 E 2X 3 D 2X 3 5 设随机变量 X 服从标准正态分布 已知 P X 0 5 0 69 则 P X 0 5 P X 0 5 二 单选题 共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 答题须知 本题答案必须写在如下表格中 否则不给分 小题号 小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第 1 页 共 7 页 自测题 内 10E 第 2 页 共 7 页 答案 答案 1 A 与 B 是两个随机事件 若 AB 则称这两个随机事件是 A 对立 B 独立 C 互斥 D 相容 2 函数 sin x 在以下哪个区间上可以作为随机变量的密度函数 A 0 2 B 0 C 3 0 2 D 0 2 3 设 F x 是随机变量 X 的分布函数 则 F x 具有性质 xxxx xxxx AF x1F x0BF x0F x1 CF x0F x0DF xF x lim lim lim lim lim lim lim lim 4 设随机变量 X 服从正态分布 N 4 9 则 A E X 3 D X 4 B E X 9 D X 4 C E X 4 D X 3 D E X 4 D X 9 5 设 123是总体 X 的随机样本 则下列那些样本函数不是统计量 X X X A 3 i k 1 1 X 3 B C 1 X 3 2 i i 1 1 X 3 D 12 X Xmax 6 设是总体 N 2 25 的随机样本 则样本均值 125 X X XX服从的分布是 A N 2 5 B N 2 25 C N 2 5 5 D N 2 5 25 7 设是总体 N 2 的随机样本 则服从 t 4 分布的样本函数是 125 X X X A X 5 B X 4 C X s5 D X s4 8 概率论中论证大量测量值的算术平均值具有稳定性的定理被称为 A 概率公理化定义 B 大数定律 C 小概率事件实际不可能性原理 D 中心极限定理 9 设 是总体参数 的点估计量 若E 则称 是 的 估计量 A 相合 B 一致 C 有效 D 无偏 10 在假设检验中 原假设不成立但被接受 这种错误称为第 类错误 A 一 B 二 C 三 D 四 三 计算题 共8小题 每小题5分 共40分 自测题 内 10E 第 3 页 共 7 页 1 一箱中装有 4 个红球和 6 个黑球 随机取 3 个球 求其中 恰 有 1 个黑球的概率 2 一条生产线次品率为 10 求随机抽取 5 件中至多有 1 件次品的概率 3 若鸡蛋的孵化率为 80 则 10000 个鸡蛋中不足 7000 个孵化的概率是多少 4 已知随机变量 X 的密度函数为 求常数 a 和 EX ax 0 x 2 f x 0 其他 5 一批滚珠的直径服从正态分布 现随机抽取 16 颗 测得平均直径为 1 cm 样本标准差为 0 1 cm 求这批滚珠直径均值和方差的置信度为 0 95 的置信区间 相关参数查卷尾表 1 和表 2 6 设随机变量 X 的密度函数是 2 1 f x 1 x x 其它 其中 0 x1 x2 xn是 X 的一个随机样 本 求参数 的最大似然估计 8 设 X Y 是二维离散随机变量 其联合分布律如下表 X Y 1 0 1 1 0 2 0 3 0 1 2 0 1 0 1 0 2 求 X 的边缘分布和当 Y 1 时 X 的条件分布 并判断 X 与 Y 是否相互独立 四 应用题 共3小题 每小题5分 共15分 1 商场销售的灯泡由由 A 与 B 两家工厂生产 A 厂的产品占总产量的 70 B 厂的产品占总 产量的 30 已知 A 厂产品的次品率为 5 B 厂产品的次品率为 10 已若随机抽取一个灯 泡是次品 求其是 A 厂生产的概率 2 面粉厂规定每袋面粉标准重量为 10kg 从已装好的面粉中随机抽查 9 袋 测得样本平均重 量为 10 5kg 假定袋装面粉重量服从正态分布 N 0 25 检验该厂面粉袋装重量是否符合标 准 显著水平 0 1 检验临界值查卷尾表 1 和表 2 3 选取两个品牌灯泡各 9 只进行使用寿命测试 测试结果统计如下表 指标 品牌 1 品牌 2 样本均值 小时 2000 1970 标准差 小时 100 80 假设两品牌的灯泡寿命均服从正态分布且方差相同 试检验两品牌灯泡寿命有无显著差异 显 著水平 0 01 检验临界值查卷尾表 1 和表 2 五 证明题 第1小题3分 第2小题2分 共5分 自测题 内 10E 第 4 页 共 7 页 设 X1 X2 Xn是总体 X N 2 的随机样本 记 nn 22 nini i 1i 1 11 X X S XX nn1 证明 1 统计量 n X是总体均值 的一致估计 2 统计量 n 1n n XXn n 1S 服从分布 t n 1 表 1 t 分布双侧分位点数值表 n 自由度 P t n t n 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 05 0 02 0 01 8 0 130 0 262 0 399 0 546 0 706 0 889 1 108 1 397 1 860 2 306 2 896 3 355 9 0 129 0 261 0 398 0 543 0 703 0 883 1 100 1 383 1 833 2 262 2 821 3 250 10 0 129 0 260 0 397 0 542 0 700 0 879 1 093 1 372 1 812 2 228 2 764 3 169 15 0 128 0 258 0 393 0 536 0 691 0 866 1 074 1 341 1 753 2 131 2 602 2 947 16 0 128 0 258 0 392 0 535 0 690 0 865 1 071 1 337 1 746 2 120 2 583 2 921 17 0 128 0 257 0 392 0 534 0 689 0 863 1 069 1 333 1 740 2 110 2 567 2 898 0 126 0 253 0 385 0 524 0 675 0 842 1 036 1 282 1 645 1 960 2 327 2 576 表 2 分布上侧分位点数值表 2 22 P n n 自由度 n 0 995 0 99 0 975 0 950 90 10 050 025 0 01 0 005 8 1 344 1 646 2 180 2 733 3 490 13 362 15 507 17 535 20 090 21 955 9 1 735 2 088 2 700 3 325 4 168 14 684 16 919 19 023 21 666 23 589 10 2 156 2 558 3 247 3 940 4 865 15 987 18 307 20 483 23 209 25 188 15 4 601 5 229 6 262 7 261 8 547 22 307 24 996 27 488 30 578 32 801 16 5 142 5 812 6 908 7 962 9 312 23 542 26 296 28 845 32 000 34 267 17 5 697 6 408 7 564 8 672 10 085 24 769 27 587 30 191 33 409 35 718 参考答案 一 AB AB 0 9 0 0 4 0 32 9 16 0 38 0 31 二 CABD CACB DB 三 1 解 12 64 3 10 C C P A C 4 3 6 2 10 9 8 3 2 6 63 10 3 410 3 分 5 分 2 解 0 59049 0 32805 0 91854 00511 55 P k1C 0 10 9C 0 10 9 4 自测题 内 10E 第 5 页 共 7 页 3 分 5 分 3 解 X B 10000 0 8 X 10000 0 87000 10000 0 8 P X7000P 10000 0 8 0 210000 0 8 0 2 0 250 3 分 5 分 4 解 22 2 00 a1 1f x dxaxdxxa 22 3 分 22 3 00 11 EXxf x dxxxdxx 263 4 5 分 5 解 因为 1 分 262 6 15 488 27 15 131 2 15 t 05 0 2 975 0 2 025 005 0 所以均值的置信区间为 0 10 1 1 2 13112 131 1616 3 分 方差的置信区间为 22 150 1150 1 27 4886 262 5 分 6 解 3 Y FyP YyP 1Xy 1 分 3 P X1y1 F 1y 3 2 3 分 33 YY fyFy1 F 1yf 1y3 1y 2 6 3 1y x 11y n i i 1 Lnn31x ln lnln ln n i i 1 dLn n3x0 d ln lnln 4 分 nn ii i 1i 1 n1 1 xn3x3 n lnlnlnln 5 分 8 解 Y 1 2 1 分 自测题 内 10E 第 6 页 共 7 页 PY 0 6 0 4 X 1 0 1 PX 0 3 0 4 0 3 2 分 X 1 0 1 PX Y 1 1 3 1 2 1 6 3 分 因为P X1P X1 Y1 所以 X 与 Y 不相互独立 5 分 四 1 解 令 D 表示次品 A 表示产品由 A 生产 B 表示产品由 B 生产 P A P D A P A D P D 0 7 0 050 0357 0 7 0 050 3 0 10 06513 2 分 4 分 5 分 2 解 假设 01 H10H10 1 分 检验统计量 0 X UN n 0 1 2 分 检验临界值 3 分 0 1 uu1 645 检验统计量样本值 0 X10 5 10 U n0 59 3 2 4 分 统计推断 因为 U 3 1 645 所以拒绝原假设 即在 0 1 显著水平上认为该面粉厂袋装面粉不 符合 10kg 的标准 5 分 3 解 假设 1 分 01211 HH 检验统计量 12 12 w 12 XX Tt n 11 S nn n2 1 2 分 检验临界值 3 分 120 01 tnn2t162 92 检验统计量样本值 12 22 w 12 XX2000 1970 T0 703 11 8 1008 8011 S nn 1699 4 分 统计推断 因为 T 0 707 2 921 所以接受原假设 即在 0 01 显著水平上认为两品牌