弹塑性理论考试.pdf

1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容 研究对象和研究任务研究对象和研究任务研究对象和研究任务研究对象和研究任务 基本假设基本假设基本假设基本假设 弹性力学与材料力弹性力学与材料力弹性力学与材料力弹性力学与材料力 学和结构力学的区别学和结构力学的区别学和结构力学的区别学和结构力学的区别 弹性力学弹性力学弹性力学弹性力学解解解解的唯一性定理的唯一性定理的唯一性定理的唯一性定理 研究内容研究内容研究内容研究内容 对象对象对象对象 任务任务任务任务 弹性力学研究弹性体由于受外力作用 边界约束或温度改变等原因而发生的 应力 形变和位移 其任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和 位移 校核它们是否具有所需的强度和刚度 并寻求或改进它们的计算方法 弹性力学弹性力学弹性力学弹性力学的基本假设的基本假设的基本假设的基本假设 假定物体是连续的 假定物体是完全弹性的 假定物体是均匀的 假定物体是各向同性的 假定位移和形变是微小的 弹性力学与材料力学和结构力学的区别弹性力学与材料力学和结构力学的区别弹性力学与材料力学和结构力学的区别弹性力学与材料力学和结构力学的区别 研究对象研究对象研究对象研究对象 材料力学 杆件 直杆 小曲率杆 结构力学 杆件系统 或结构 弹性力学 一般弹性试题结构 三维弹性固体 板状结构 杆件等 研究方法研究方法研究方法研究方法 材料力学 借助于直观和实验现象作一些假定 如平面假设等 然后由静力 学 几何关系 物理方程三方面进行分析 结构力学 与材料力学类同 弹性力学 仅由静力平衡 几何方程 物理方程三方面分析 放弃了材力中 的大部分假定 弹性力学弹性力学弹性力学弹性力学解解解解的唯一性定理的唯一性定理的唯一性定理的唯一性定理 弹性体受已知体力作用 在物体的边界上 或者面力已知 或者位移已知 或者一部分 面力已知 另一部分位移已知 则弹性体平衡时 体内各点的应力和应变是唯一的 对 于后两种情况 位移也是唯一的 2 应力状态应力状态应力状态应力状态 应力分量应力分量应力分量应力分量 应力张量的三个不变量的物理意义是什么应力张量的三个不变量的物理意义是什么应力张量的三个不变量的物理意义是什么应力张量的三个不变量的物理意义是什么 体积改变体积改变体积改变体积改变 和形状改变定理是什么和形状改变定理是什么和形状改变定理是什么和形状改变定理是什么 偏应力第二不变量偏应力第二不变量偏应力第二不变量偏应力第二不变量 J2 的物理意义是什么的物理意义是什么的物理意义是什么的物理意义是什么 应力状态应力状态应力状态应力状态 一点所有截面应力矢量的集合 应力分量应力分量应力分量应力分量 应力矢量沿坐标的分解 没有实际的工程意义 应力张量应力张量应力张量应力张量不变量不变量不变量不变量 第一不变量是三个主应力的代数和 第二不变量是三个主应力两两相乘的和 第三不变量是三个主应力的代数积 上式表明塑性变形时物体内一点的应力张量分量随坐标变化而变化 但是其 应力不变量却是固定不变的 因此应力张量不变量可以反映物体形状改变的 实质 体积改变定理体积改变定理体积改变定理体积改变定理 在弹性和塑形的 主动和被动变形中 单元体的体积改变与 平均应力成正比 mm E 21 部分 形状改变定理形状改变定理形状改变定理形状改变定理 在弹性变形情况下 以及在简单加载的塑形变形情况下 应 力偏张量和应变偏张量相似 成比例 且同轴 主方向重合 即 2 ijij G 偏应力第二不变量偏应力第二不变量偏应力第二不变量偏应力第二不变量 J2 的物理意义是的物理意义是的物理意义是的物理意义是 形状变形比能 3 弹性力学的解题方法有哪些弹性力学的解题方法有哪些弹性力学的解题方法有哪些弹性力学的解题方法有哪些 试列举位移法和应力法解题的试列举位移法和应力法解题的试列举位移法和应力法解题的试列举位移法和应力法解题的步骤和基本方步骤和基本方步骤和基本方步骤和基本方 程程程程 弹性力学的解题方法弹性力学的解题方法弹性力学的解题方法弹性力学的解题方法 位移解法 以位移函数作为基本未知量 应力解法 以应力函数作为未知基本量 混合解法 以部分位移部分应力分量作为基本未知量 位移法解题的步骤和基本方程位移法解题的步骤和基本方程位移法解题的步骤和基本方程位移法解题的步骤和基本方程 位移法解题的步骤和基本方程位移法解题的步骤和基本方程位移法解题的步骤和基本方程位移法解题的步骤和基本方程 按照应力求解和按照位移求解按照应力求解和按照位移求解按照应力求解和按照位移求解按照应力求解和按照位移求解 其求解过程有哪些差别其求解过程有哪些差别其求解过程有哪些差别其求解过程有哪些差别 1 位移法是以位移分量为基本未知函数 从方程和边界条件中消去应力分量 和形变分量 导出只含位移分量的方程和相应的边界条件 解出位移分量 然后再求形变分量和应力分量 要使得位移分量在区域里满足微分方程 并 在边界上满足位移边界条件或应力边界条件 2 应力法是以应力分量为基本未知函数 从方程和边界条件中消去位移分量 和形变分量 导出只含应力分量的方程和边界条件 解出应力分量 然后再 求出形变分量和位移分量 满足区域里的平衡微分方程 区域里的相容方程 在边界上的应力边界条件 其中假设只求解全部为应力边界条件的问题 4 什么是应力函数什么是应力函数什么是应力函数什么是应力函数 应力函数有哪些性质应力函数有哪些性质应力函数有哪些性质应力函数有哪些性质 用应力函数解题有哪些优缺点用应力函数解题有哪些优缺点用应力函数解题有哪些优缺点用应力函数解题有哪些优缺点 应力函数应力函数应力函数应力函数 在弹性力学中 为方便求解 常把应力或位移用几个任意的或某种特殊类 型的函数表示 这些函数通常叫作应力函数或位移函数 应力函数性质应力函数性质应力函数性质应力函数性质 应力函数必须满足双重调和方程 应力函数必须满足在边界上的应力边界条件 应力函数在多连体中还必须满足位移单值条件 应力函数解题有优缺点应力函数解题有优缺点应力函数解题有优缺点应力函数解题有优缺点 艾里应力函数的引入 使平面问题由三个未知函数 变为一个未知函数 从而把问题归结为在给定边界条件下求解双调和方程 但是在解题过程中找应力函数的盲目性较大 5 平面问题定义或特征是什么平面问题定义或特征是什么平面问题定义或特征是什么平面问题定义或特征是什么 平面弯曲和扭转问题有哪些解题平面弯曲和扭转问题有哪些解题平面弯曲和扭转问题有哪些解题平面弯曲和扭转问题有哪些解题方法方法方法方法 定义定义定义定义 应力 应变和唯一是弹性力学的三类基本未知函数 当这 3 类基本未 知函数与第三个坐标方向无关时 则将该类问题称为平面问题 特征特征特征特征 平面问题是在一个平面求解域内的求解问题 但并非数学上的 2 维问 题 平面弯曲解题方法平面弯曲解题方法平面弯曲解题方法平面弯曲解题方法 平面扭转解题方法平面扭转解题方法平面扭转解题方法平面扭转解题方法 6 塑性力学的研究内容塑性力学的研究内容塑性力学的研究内容塑性力学的研究内容 研究对象研究对象研究对象研究对象 研究任务研究任务研究任务研究任务 基本假设基本假设基本假设基本假设 研究方法研究方法研究方法研究方法 研究内容研究内容研究内容研究内容 塑性力学主要研究材料在出现塑性变形情况下的变形特征和应力 应变关系 以及有关塑性力学问题的数学描述和求解 塑性力学研究问题可 以分为两个方面 一是根据实验观察所得结果为出发点 建立塑性状态下变 形的基本规律既本构关系 二是应用这些理论和关系求解具体问题 既求物 体在荷载等外来因素作用下的应力和变形的分布 研究对象研究对象研究对象研究对象 对实体结构 板壳结构 杆件的进一步分析 研究任务研究任务研究任务研究任务 1 通过材料力学实验 或通过对实验成果的了解 建立起关于材料弹塑性变 形的基本概念 掌握材料的基本变形和强度特征 2 了解在塑性理论的框架中 描述材料弹塑性变形的方法 了解经典的弹塑 性增量理论 3 掌握几个基本的弹塑性模型 了解弹塑性初 边值问题的提法和求解途径 基本假设基本假设基本假设基本假设 1 假定固体材料是连续介质 连续性假定 2 物体为均匀的各向同性的 3 物体的变形属于小变形 4 物体原来是处于一种无应力的自然状态 研究方法研究方法研究方法研究方法 较精确的数学模型 7 屈服准则的物理含义是什么屈服准则的物理含义是什么屈服准则的物理含义是什么屈服准则的物理含义是什么 试说明试说明试说明试说明Tresca 屈服条件和屈服条件和屈服条件和屈服条件和Mises 屈服准则的基屈服准则的基屈服准则的基屈服准则的基 本内容本内容本内容本内容 物理和几何解释物理和几何解释物理和几何解释物理和几何解释 数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式 平面的点所代表的应力状态有何平面的点所代表的应力状态有何平面的点所代表的应力状态有何平面的点所代表的应力状态有何 特点特点特点特点 屈服准则的物理含义屈服准则的物理含义屈服准则的物理含义屈服准则的物理含义 描述不同应力状态下变形体内某点由弹性状态进入塑 性状态 并使塑性变形状态持续进行所必须遵守的条件 Tresca 准则和 Mises 准则的主要差别主要差别主要差别主要差别是 TrescaTrescaTrescaTresca 准则准则准则准则是指当最大剪应力达到材料所固有的某一值时 材料开始屈服 MisesMisesMisesMises 准则准则准则准则是指当应力强度达到一定数值是材料开始屈服 应力空间内 Tresca 条件表示的屈服曲面是一个以 L 为轴线的正六棱柱体 其在 平面上 的投影即屈服曲面为一个正六边形 而 Mises 条件表示的屈服曲面是一外接 于上述正六棱柱体的圆柱体 在 平面上的屈服曲线是一外接于前述的正六 变形的圆 岩土材料常用的屈服准则岩土材料常用的屈服准则岩土材料常用的屈服准则岩土材料常用的屈服准则 Mohr Coulomb条件 广义Mises条件和广义Tresca 条件 8 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么 什么是一般流动法什么是一般流动法什么是一般流动法什么是一般流动法 则则则则 弹性本构关系弹性本构关系弹性本构关系弹性本构关系所描述的物理关系是物体的客观规律 应力与坐标的选取无关 即本构方程本质上应具有坐标不变性 线性一一对应 塑性本构关系塑性本构关系塑性本构关系塑性本构关系从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力 应变关系 反映材 料进入塑性以后的力学特性 是一种非线性的 需要补充一些条件 小变形 理论 一般流动法则一般流动法则一般流动法则一般流动法则 当应力状态 与应力增量d 之和d 超出弹性范围时 就会产生塑性应变增量 p d 实验表明 p d 的符号 方向 与d 一致 因 此可以将 p d 表示为 p f dd 8 11 式中 d 为非负标量 式 8 11 形式上与理想流体的流动问题相似 故称为流动法则 式 8 11 中使用了 屈服函数f 称为关联流动法则 也可以选用不同于屈服函数的函数 这时 称为非关联流动法则 流动法则给出了塑性应变增量的符号 方向 但是没 有给出其大小 9 什么是塑性极限分析什么是塑性极限分析什么是塑性极限分析什么是塑性极限分析 塑性极限分析的基本假设塑性极限分析的基本假设塑性极限分析的基本假设塑性极限分析的基本假设 基本方法和解题步骤基本方法和解题步骤基本方法和解题步骤基本方法和解题步骤 塑性极限分析塑性极限分析塑性极限分析塑性极限分析 结构的塑性极限分析通常称为结构的破损分析 即随着外载 荷逐渐增加 结构也逐渐从弹性阶段过渡到塑性阶段 当外载荷达到某一极 限值时 结构变成了几何可变机构体系 变形会无限制地增长 结构失去承 载能力 此时的状态称为结构的塑性极限状态 由于结构变成机构时便已破 坏 因此塑性极限分析也称为破损分析 所以结构的极限分析理论主要是研 究结构在多大的在和作用下开始失去承载能力的问题 塑性极限分析塑性极限分析塑性极限分析塑性极限分析的假设的假设的假设的假设 1 材料采用刚塑性变形模型 不考虑材料的弹性变形和强化效应 2 结构变形足够小 变形前后采用同一坐标系 因此变形前后采用相同的平 衡微分方程 而且材料变形的几何关系是线性的 同时与前面平衡条件忽略 变形影响的假设相对应 3 结构达到极限载荷前 不会失去稳定性 如果在达到塑性极限状态前结构 因为失稳而破坏了 那么进行塑性极限分析就没有任何意义了 4 所有外载荷都按同一比例增加 即满足简单加载 或比例加载 的条件 所有载荷变化时都是按一个固定的比例进行增加 不出现卸载的情况 基本方法和解题步骤基本方法和解题步骤基本方法和解题步骤基本方法和解题步骤 确定结构的极限承载能力 一般采用以下两种方法 一种是随着在和的不断增加 研究结构由弹性状态逐渐过渡到弹塑性状态 最后达到塑性极限状态 从而失去承载能力的各阶段应力 应变状态 这种 研究方法是以弹塑性变形理论为基础的 利用这种方法解决实际工程问题时 在数学上往往会遇到许多困难 对于一些特别简单的问题才能得到解答 第 二种方法是只研究结构在塑性极限状态时的应力 应变以及位移等分布情况 而忽略从弹性变为塑性的中间过程 也就是所谓的结构塑性极限分析理论 通过这两种方法求得的极限载荷是相同的 在塑性极限分析中 由于不考虑 弹性变形 分析问题得到了大为简化 但是由于塑性极限分析理论忽略了从 弹性逐步变成塑性的中间过程 因此不能得到此阶段结构中的应力和应变分 布规律 在实际工程中 许多情况下只要知道结构的极限载荷就足够了 对 于中间过程并不是很关心 因此 塑性极限分析方法具有很强的适用性 而 且分析过程也相对简单 在极限分析理论中 为了求解复杂结构的极限荷载 要经常利用上限定理和 下限定理来确定极限载荷的范围 即 a 下限定理 在所有与静力容许应力场对应的载荷中 最大的荷载为极限荷 载 b 上限定理 在所有与机动容许位移场对应的载荷中 最小的荷载为极限荷 载 由下限定理可知 如果整个结构满足平衡条件 并且不破坏极限条件 在一 般情况下 结构将不破坏 由此所得荷载为极限荷载的下限 由上限定理可知 如果结构按某一容许的机动位移场破坏 由于此时结构已 经破坏 在一般情况下 按此破坏模式求得的荷载为极限荷载的上限 根据极限分析的上 下限定理 引出了两种求解极限荷载的方法 即机动法 和静力法 在静力法中 要求结构必须具有满足平衡条件且不破坏极限条件的内力场 由于只有在极限状态下结构才能形成破坏机构 在一般情况下 结构具有静 力容许的应力场时并不一定破坏 或者说 满足静力容许条件的内力场有无 穷多个 在一般情况下 由静力法求得的荷载要比真实的极限荷载小 即用 静力法求得的极限荷载是极限荷载的一个下限值 在所得的有限个下限值中 应选取最大的荷载作为极限荷载的近似值 因为最大值与真实的极限荷载最 为接近 在静力法中 不考虑结构变形方面的条件 也就是对机动条件不予要求 在 机动法中 一般先假设一个破坏机构 并使外力在假设的破坏机构上做正功 然后利用内力功与外力功相等的原理求出与破坏机构对应的极限荷载 由此 所得荷载的数值不会小于真是的极限荷载 在这种情况下 应该选取所得的 有限个荷载值中最小的一个 因为他最接近于实际破坏时的荷载 在一般情 况下 用机动法求得的极限荷载是极限荷载的一个上限值 如果一个荷载既是极限荷载的上限 又是它的下限 则这个荷载满足极限分 析理论中的全部条件 静力平衡条件 塑性屈服条件和机动条件 因此 将 这样的解称为塑性极限分析的完全解 对于复杂结构 还可以放松对极限条 件的要求 即在简化的极限条件下找出解的上限或下限 在复杂结构中 用 广义应力表示的极限条件 其数学表达式往往是非线性的 将这种非线性的 代数方程与板 壳等结构中以偏微分表示的平衡方程联立求解时 经常遇到 数学上的困难 因此 用线性化了的极限条件代替非线性的极限条件更容易 得到极限荷载的上 下限解 10 什么是滑移线什么是滑移线什么是滑移线什么是滑移线 滑移线的基本性质滑移线的基本性质滑移线的基本性质滑移线的基本性质 用滑移线方法解题的基本假设和基本用滑移线方法解题的基本假设和基本用滑移线方法解题的基本假设和基本用滑移线方法解题的基本假设和基本 方程方程方程方程 其解如何验算其解如何验算其解如何验算其解如何验算 滑移线滑移线滑移线滑移线 对于理想钢塑性材料而言 一旦塑性区形成 就会产生无限制的塑 性流动 试验表明塑性流动破坏往往是沿着最大切应力的方向 将各点最大 切应力方向作为切线而连接起来的线 称之为滑移线 滑移线的基本性质滑移线的基本性质滑移线的基本性质滑移线的基本性质 1 沿着滑移线的平均应力变化与滑移线和 X 轴所成的角度 切线 变化成 比例 滑移线的方向变化得愈大 即 ab 愈大 平均应力的变化也就愈大 2 如果由一条滑移线 l 转到另一条滑移线 2 则沿任何一个 族的滑移 线而变化的 角和平均应力 的改变值将保持常数 3 假定滑移线网格中各点的坐标 x y 值均为已知 则只要知道滑移 线网格中任何一点的 值 就可定出场内各处的 值 4 如果滑移线的某些线段是直线 则沿着那些直线的 C C 以 及应力分量 x y xy 都是常数 5 如果 族 或 族 滑移线的某一线段是直线 则被 族 或 族 滑移 线所切截的所有 或 线的相应线段皆是直线 6 H Hencky 第二定理 若沿着某一滑移线移动 则这时在交叉点处的 另外一族滑移线的曲率半径的变化即为沿该线所通过的距离 7 H Hencky 第一定理 一条 族滑移带截得并包含无数条 族滑移段 各 族线段两端点切线夹角 相等 两端点的平均应力之差 也相等 8 在简单场中 任何曲线型滑移带内所包含的直线型滑移线段是等长度 的 9 Prandtl 定理 设一条 线与一族 线相交 则在各交点上 族的 曲率中心的轨迹构成此 线的渐伸 把 和 对换 结论一样 10 滑移线的包络线是破坏线 基本假设基本假设基本假设基本假设 材料为理想钢塑性材料 变形为平面变形问题 而且体积不可压 缩 基本方程基本方程基本方程基本方程 平衡方程 0 xy x yx 0 yxy yx 屈服方程 22 2 44k xyyx s s 3 1 2 1 k 解如何验算解如何验算解如何验算解如何验算 运用平衡方程和屈服方程得出的解 带入边界方程中 解出边 界面上的法向应力和剪应力 在满足边界条件的情况下 所得 的解就是问题的解 11 在塑性状态下区分加载与卸载有什么意义在塑性状态下区分加载与卸载有什么意义在塑性状态下区分加载与卸载有什么意义在塑性状态下区分加载与卸载有什么意义 如何区分加载与卸载如何区分加载与卸载如何区分加载与卸载如何区分加载与卸载 理想弹理想弹理想弹理想弹 塑性材料和应变硬化材料的加载与卸载有什么差别塑性材料和应变硬化材料的加载与卸载有什么差别塑性材料和应变硬化材料的加载与卸载有什么差别塑性材料和应变硬化材料的加载与卸载有什么差别 什么是中性变载什么是中性变载什么是中性变载什么是中性变载 1 理想塑性材料 0 ij f 的加载和卸载准则 在荷载改变的过程中 应力点如保持在屈服面上 则0df 此时塑性变形可以任意增长 就称为加加加加 载载载载 当应力点从屈服面移动到屈服面内 则0df 表示状态从塑性退回到弹 性 此时不产生新的塑性变形 称为卸载卸载卸载卸载 2 硬化材料 0 ij fk 的加载和卸载准则 如果应力变化 ij d 使应力点 从此时瞬时状态所处的后继屈服面向内移 则变化的结果使材料从一个塑性 状态退回到一个弹性状态 即为卸载过程卸载过程卸载过程卸载过程 如果应力变化 ij d 使应力点沿后 继屈服面变化 实验证明此过程也不产生新的塑性变形 所以参数 K 也不变 0dk 此过程称为中性变载中性变载中性变载中性变载 如果应力 ij 和参数k都变化 使材料从一个 塑性状态过渡到另一个塑性状态 应力点从原来的后继屈服面外移到相邻的 另一个后继屈服面时即为加载加载加载加载 12121212 什么是极限荷载什么是极限荷载什么是极限荷载什么是极限荷载 对于三杆所组成的系统对于三杆所组成的系统对于三杆所组成的系统对于三杆所组成的系统 如何计算其变形和极限荷载如何计算其变形和极限荷载如何计算其变形和极限荷载如何计算其变形和极限荷载 变形与加载顺序有无关系变形与加载顺序有无关系变形与加载顺序有无关系变形与加载顺序有无关系 极限荷载与加载顺序有无关系极限荷载与加载顺序有无关系极限荷载与加载顺序有无关系极限荷载与加载顺序有无关系 极限荷载极限荷载极限荷载极限荷载 材料发屈服或破坏前所能承受的最大载荷 对于三杆系统对于三杆系统对于三杆系统对于三杆系统 当三杆所受的载荷均达到极限载荷时 系统达到极限载荷 因此在计算其变形和极限荷载时 先对系统整体进行受力平衡分析 求出 杆与杆之间的应力和变形之间的关系 在联立变形协调方程 即可求解 变形与加载顺序有关 极限荷载与加载顺序无关 Tresca屈服准则 Mises屈服准则 13131313 按照应力求解和按照位移求解按照应力求解和按照位移求解按照应力求解和按照位移求解按照应力求解和按照位移求解 其求解过程有哪些差别其求解过程有哪些差别其求解过程有哪些差别其求解过程有哪些差别 1 位移法是以位移分量为基本未知函数 从方程和边界条件中消去应力分量 和形变分量 导出只含位移分量的方程和相应的边界条件 解出位移分量 然后再求形变分量和应力分量 要使得位移分量在区域里满足微分方程 并 在边界上满足位移边界条件或应力边界条件 2 应力法是以应力分量为基本未知函数 从方程和边界条件中消去位移分量 和形变分量 导出只含应力分量的方程和边界条件 解出应力分量 然后再 求出形变分量和位移分量 满足区域里的平衡微分方程 区域里的相容方程 在边界上的应力边界条件 其中假设只求解全部为应力边界条件的问题 14 极限分析的两个基本前提条件极限分析的两个基本前提条件极限分析的两个基本前提条件极限分析的两个基本前提条件 静力法和机动法的基本原理静力法和机动法的基本原理静力法和机动法的基本原理静力法和机动法的基本原理 梁和刚架极限梁和刚架极限梁和刚架极限梁和刚架极限 荷载的上下限定理荷载的上下限定理荷载的上下限定理荷载的上下限定理 极限分析的两个基本前提条件 1 理想弹塑性模型理想弹塑性模型理想弹塑性模型理想弹塑性模型 2 简单加载定理简单加载定理简单加载定理简单加载定理 静力法静力法静力法静力法 在弯矩可能是最大的一些截面处 使弯矩达到屈服条件 M Ms 使 结构成为一个机构 然后利用平衡方程求得整个结构的弯距分布 机动法机动法机动法机动法 假设可能破损的机构 令外载在这个机构运动过程中所做的功与塑性铰 在同一过程中所做的内力功相等 可以求得要形成这个机构所需的外载 梁和刚架极限荷载的上下限定理梁和刚架极限荷载的上下限定理梁和刚架极限荷载的上下限定理梁和刚架极限荷载的上下限定理 下限定理下限定理下限定理下限定理 如果设定的一套内力系统满足平衡条件和边界条件 且不违背屈服 条件 则由此算出的外载荷必不大于真实载荷 得到极限载荷的下限 这里的内 力系统并不一定满足变形协调条件 上限定理 如果设定的一套变形 位移 系统 它在几何上是可能的并符合边界 约束条件 则由此算出