高三一轮复习第5讲等差数列等比数列.doc

等差数列等差数列的有关概念1. 定义：是等差数列（常数），当时均成立。2. 等差中项，且。3. 通项公式：是等差数列（是公差）。4. 前项和公式：是等差数列，则或（其中是前项和公式，d是公差）。二函数观点下的等差数列的通项公式和前项和公式。1.通项公式：通项公式可变形为：表示点是表示点是直线上一群离散的点。时，是递增数列时，是常数列时，是递减数列2.前n项和的公式：前n项和的公式可变形为：时，表示点是抛物线上的一群离散点；时，表示点是抛物线上的一群离散点；前n项和的公式说明数列是以为首项，为公差的等差数列。三等差数列的性质1.若是等差数列，公差为d，则，即2.若是等差数列，,且，则。特别：若则；3. 若是等差数列，为前n项和，则成等差数列成等差数列4.若等差数列，为的前n项和，则是等差数列，（其中p,q是常数）5. 三个数a,b,c成等差数列的充要条件是2b=a+c;若三个数成等差数列，可设为：a-d,a,a+d.若四个数成等差数列，可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.1、等差数列的公差不为零，首项1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B2.如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】3. 设等差数列的前项和为，若,则= 。解: 是等差数列,由,得4设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_。【解】：等差数列的前项和为，且 即 ， 故的最大值为，应填1.设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,设， 则=, 所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。2.已知数列是首项为1，公差为的等差数列，且求证：为等差数列解：当时，由已知可得，由-得：=。当时，适合上式故为等差数列3.已知数列，且，数列的前n项和为，.(1)求数列的通项公式；（2）求证：。解：（1）由，得是首项为1，公差为1的等差数列，由得通项公式（2）11.数列中，,数列满足(1)求证数列是等差数列；（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由。解：（1）即数列是等差数列，公差为1（2）由已知又由（1）得由当,当或n3，且时,都有又当时，时，数列中的最大项为，最小项为等比数列6. 定义：是等差数列（常数），当时均成立。7. 等比中项，且。8. 通项公式：是等差数列9. 前项和公式：是等差数列，则（）（其中是前项和公式，d是公差）。二函数观点下的等差数列的通项公式和前项和公式。1.通项公式：通项公式可变形为：表示点是表示点是直线上一群离散的点。时，是递增数列时，是常数列时，是递减数列时，是摆动数列2.前n项和的公式：对前n项和的公注意分类讨论公比和的情况即三等比数列的性质1.若是等比数列，公差为q，则，即2.若是等差数列，,且，则。特别：若则；3. 若是等比数列，为前n项和，则成等比数列成等比数列4.若等比数列，为的前n项和，则是等比数列，（其中p,q是常数）10. 三个数a,b,c成等差数列的充要条件是;若三个数成等差数列，可设为：若四个数成等差数列，可设为1.在等比数列中， ，则公比q的值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析： 2.已知是等比数列，则=（A）16（） （B）16（） （C）（） （D）（）3已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则= (A) (B) 7 (C) 6 (D) .A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析1】由等比数列的性质知，10,所以,所以【解析2】=5；=10，4等差数列的前项和为，且则 【解析】Snna1n(n1)d S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】5设等比数列的公比，前项和为，则 答案：15【解析】对于例1. 设正项等比数列的首项，前n项和为，且，求的通项前n项和解：由得即可得因为的首项，公比的等比数列，故例2：数列满足(1) 证明：数列是等比数列(2) 求数列的通项公式。解：（1）证明是以为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）得例3：设数列，若以为系数的一元二次方程都有根满足（1）求证：为等比数列（2）求（3）求的前n项和解：（1）证明：将代入，得数列是以首项为，公比为的等比数列（2）解：（1）由，得是首项为1，公差为1的等差数列，由得通项公式（2）（2010安徽）（理）20、（本小题满分12分） 设数列中的每一项都不为0。 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。（2010江苏）19、（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。（2006北京）（文）（20）（本小题共14分）设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.()若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式.解：（）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此，an的通项公式是an=222n,n=1,2,3（）由得 即由+得7d11。即d。由+得13d1即d于是d又dZ,故d=1将代入得10a112.又a1Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列an的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,（2009江苏）17（本小题满分14分） 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,设， 则=, 所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。（2007福建）（理）21（本小题满分12分）等差数列的前项和为（）求数列的通项与前项和；（）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力满分12分解：（）由已知得，故（）由（）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即，与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列（2010四川）（文）（20）（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。（）求数列的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o*m（）设，求数列的前n项和解：(1)设an的公差为d ，由已知得解得a13,d1故an3(n1)(1)4n5分(2)由(1)的解答得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2(n1)qn1nqn.若q1，将上式两边同乘以q，得qSn1q12q23q3(n1)qnnqn1.将上面两式相减得到(q1)Snnqn(1qq2qn1) w_w w. k#s5_u.c o*m nqn于是Sn若q1，则Sn123n所以，Sn12分（2007湖北）（文）20（本小题满分13分）已知数列和满足：，（），且是以为公比的等比数列（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；（III）求和：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法1：（I）证：由，有， （II）证：，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II）得，于是当时，当时，故解法2：（I）同解法1（I）（II）证：，又，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II）的类似方法得，下同解法1（2008湖北）（文）21.（本小题满分14分） 已知数列,其中为实数，为正整数.（I）证明：对任意实数，数列不是等比数列； （II）证明：当（III）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列示和、不等式等基础