猜想、证明与拓广.pptx

九年级数学 上 综合与实践 猜想 证明与拓广 银川市第十八中学谢如慧 用一段绳子可以围成一个正方形 用两倍长的绳子能否围成一个面积和周长同是它两倍的正方形呢 解 设第一个正方形边长为a 则其面积是a2 则第二个正方形的周长倍增 即边长变为2a 则面积应为4a2 若面积倍增 即面积变为2a2 则其边长应为a 无论从哪个角度考虑 都说明不存在这样的正方形 通过刚才问题的解决 你得到了什么结论 用到了什么方法 有什么新的发现 还能提出新的问题吗 能否围成周长和面积同时增长3倍的正方形呢 能否围成周长和面积同时增长3倍的圆形呢 结论 1 给定一个正方形 不存在周长和面积同是两倍 n倍 的新正方形 2 给定一个图形 不存在周长和面积同是两倍 n倍 的新的相似图形 如果用一段绳子围成一个矩形 用两倍长的绳子能否围成一个面积和周长同是它两倍的矩形呢 矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩形 比如长和宽分别为2和1 怎么样 由特殊到一般 解 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么其周长和面积分别为6和2 所求矩形的周长和面积应分别为12和4 接下来该怎么做 你有何想法 由特殊到一般 解 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么其周长和面积分别为6和2 有两种思路可供选择 先从周长是12出发 看面积是否是4 或先从面积是4出发 看周长是否是12 1 从周长是12出发 看面积是否是4 如果设所求矩形的长为x 那么它宽为6 x 其面积为x 6 x 根据题意 得x 6 x 4 即x2 6x 4 0 如果这个方程有解 则说明这样的矩形存在解这个方程得 结论 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 2 从面积是4出发 看周长是否是12 解 如果设所求矩形的长为x 那么宽为4 x 其周长为x 4 x 根据题意 得x 4 x 6 即x2 6x 4 0 显然这个方程有解 由此说明这样的矩形存在 解这个方程得 结论 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 由特殊到一般 如果已知矩形的长和宽分别为3和1 是否还有相同的结论 如果已知矩形的长和宽分别为4和1 5和1 n和1呢 更一般地 当已知矩形的长和宽分别为m和n时 是否仍然有相同的结论 如果矩形的长和宽分别为m和n 那么其周长和面积分别为2 m n 和mn 所求矩形的周长和面积应分别为4 m n 和2mn 从周长是4 m n 出发 看面积是否是2mn 解 如果设所求矩形的长为x 那么它宽为2 m n x 其面积为x 2 m n x 根据题意 得x 2 m n x 2mn 即x2 2 m n x 2mn 0 解这个方程得 若从面积是2mn出发 可得同样的结论 结论 任意给定一个矩形 必然存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 猜想 证明与拓广 任意给定一个矩形 是否一定存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 你准备怎么去做 猜想 证明与拓广 课堂小测 1 给定一个正三角形 是否存在另一个正三角形 它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的两倍 2 给定一个菱形 是否存在另一个菱形 它的周长和面积分别是已知菱形周长和面积的两倍 3 给定一个矩形 是否存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍 4 给定一个矩形 是否存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的1 3 课堂小结 通过本节课的学习 你有什么感受 获得了什么经验 有什么启发 还有新问题吗 猜想是许多创新的源头 是从一个