2013年全国高考文科数学试题及答案-福建卷.pdf

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 年普通高等学校招生全国统一考试 福建卷 数学试题数学试题 文史类 文史类 第第 I 卷卷 选择题 选择题 共共 60 分 分 一一 选择题选择题 1 复数iz21 i为虚数单位 在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 C 解析 本题考查的知识点是复数的几何意义 由几何意义可知复数在第三象限 2 设点 yxP 则 2 x且1 y 是 点P在直线01 yxl上 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定 因为 1 2 点代入直线方程 符合方程 即 2 x且1 y 可推出 点P在直线01 yxl上 而点P在直线上 不一定就是 1 2 点 即 点P在直线01 yxl上 推不出 2 x且1 y 故 2 x且1 y 是 点P在直线 01 yxl上 的充分而不必要条件 3 若集合 4 3 1 3 2 1 BA 则BAI的子集个数为 A 2 B 3 C 4 D 16 答案 C 解析 本题考查的是集合的交集和子集 因为 3 1 BAI 有2个元素 所以子集个数为422 个 4 双曲线1 22 yx的顶点到其渐近线的距离等于 A 2 1 B 2 2 C 1 D 2 答案 B 解析 本题考查的是双曲线的性质 因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等 故可 取双曲线的一个顶点为 0 1 取一条渐近线为xy 所以点 0 1 到直线xy 的距离为 2 2 5 函数 1ln 2 xxf的图象大致是 A B C D 答案 A 解析 本题考查的是对数函数的图象 由函数解析式可知 xfxf 即函数为偶函数 排 除 C 由函数过 0 0 点 排除 B D 6 若变量yx 满足约束条件 0 1 2 y x yx 则yxz 2的最大值和最小值分别为 A 4 和 3 B 4 和 2 C 3 和 2 D 2 和 0 答案 B 解析 本题考查的简单线性规划 如图 可知目标函数最大值和最小值分别为 4 和 2 12 2 Ox y 7 若122 yx 则yx 的取值范围是 A 2 0 B 0 2 C 2 D 2 答案 D 解析 本题考查的是均值不等式 因为 yxyx 222221 即 2 22 yx 所以2 yx 当且仅当 yx 22 即yx 时取等号 8 阅读如图所示的程序框图 运行相应的程序 如果输入某个正整数n后 输出的 20 10 S 那么n的值为 A 3 B 4 C 5 D 6 答案 B 解析 本题考查的是程序框图 循环前 2 1 kS 第 1 次判断后循环 3 3 kS 第 2 次判断后循环 4 7 kS 第 3 次判断后循环 5 15 kS 故4 n 9 将函数 22 2sin 个单位长度后得到函数 xg的图象 若 xgxf的图象都经过点 2 3 0 P 则 的值可以是 A 3 5 B 6 5 C 2 D 6 答案 B 解析 本题考查的三角函数的图像的平移 把 2 3 0 P代入 22 2sin B aabb C aabb D aabb 故选 C 12 设函数 xf的定义域为R 0 00 xx是 xf的极大值点 以下结论一定正确的是 A 0 xfxfRx B 0 x 是 xf 的极小值点 C 0 x 是 xf 的极小值点 D 0 x 是 xf 的极小值点 答案 D 解析 本题考查的是函数的极值 函数的极值不是最值 A 错误 因为 xf 和 xf关于原 点对称 故 0 x 是 xf 的极小值点 D 正确 二二 填空题填空题 13 已知函数 2 0 tan 0 2 3 xx xx xf 则 4 ff 答案 2 解析 本题考查的是分段函数求值 2 1 2 1 4 tan 4 3 ffff 14 利用计算机产生1 0之间的均匀随机数a 则事件 013 a 发生的概率为 答案 3 1 x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 解析 本题考查的是几何概型求概率 013 a 即 3 1 ba b y a x 的左 右焦点分别为 21 F F 焦距为c2 若直线与 椭圆 的一个交点M满足 1221 2FMFFMF 则该椭圆的离心率等于 答案 13 解 析 本 题 考 查 的 是 圆 锥 曲 线 的 离 心 率 由 题 意 可 知 21F MF 中 90 30 60 211221 MFFFMFFMF 所以有 12 21 2 2 21 2 2 2 1 3 2 2 MFMF aMFMF cFFMFMF 整理得 13 a c e 故答案为13 16 设TS 是R的两个非空子集 如果存在一个从S到T的函数 xfy 满足 i SxxfT ii 对任意Sxx 21 当 21 xx 时 恒有 21 xfxf 那么称这两个集合 保序同构 现给出以下 3 对集合 NBNA 108 31 xxBxxA RBxxA 10 其中 保序同构 的集合对的序号是 写出所有 保序同构 的集合对的序号 答案 解析 本题考查的函数的性质 由题意可知S为函数的一个定义域 T为其所对应的值域 且 函数 xfy 为单调递增函数 对于集合对 可取函数 2 Nxxf x 是 保序同构 对 于集合对 可取函数 31 2 7 2 9 xxy 是 保序同构 对于集合对 可取函数 10 2 tan 求 1 a的取值范围 本小题主要考查等比等差数列 等比数列和不等式等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与 方程思想 化归与转化思想 满分 12 分 解 1 因为数列 n a的公差1d 且 13 1 a a成等比数列 所以 2 11 1 2 aa 即 2 11 20aa 解得 1 1a 或 1 2a 2 因为数列 n a的公差1d 且 519 Sa a 所以 2 111 5108aaa 即 2 11 3100aa 解得 1 52a 18 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥PABCD 中 PDABCD 面 ABDC ABAD 5BC 3DC 4AD 60PAD o 1 当正视图方向与向量AD uuur 的方向相同时 画出四棱锥PABCD 的正视图 要求标出尺寸 并画出演算过程 2 若M为PA的中点 求证 DMPBC面 3 求三棱锥DPBC 的体积 本小题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识 考查 空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合能力 化归与转化思想 满分 12 分 解法一 在梯形ABCD中 过点C作CEAB 垂足为E 由已知得 四边形ADCE为矩形 3AECD 在Rt BEC 中 由5BC 4CE 依勾股定理得 3BE 从而6AB 又由PD 平面ABCD得 PDAD 从而在Rt PDA 中 由4AD 60PAD 得4 3PD 正视图如右图所示 取PB中点N 连结MN CN 在PAB 中 M是PA中点 MNAB 1 3 2 MNAB 又CDAB 3CD MNCD MNCD 四边形MNCD为平行四边形 DMCN 又DM 平面PBC CN 平面PBC DM 平面PBC 1 3 D PBCP DBCDBC VVSPD 又6 PBC s 4 3PD 所以8 3 D PBC V 解法二 同解法一 取AB的中点E 连结ME DE 在梯形ABCD中 BE CD 且BECD 四边形BCDE为平行四边形 DEBC 又DE 平面PBC BC 平面PBC DE 平面PBC 又在PAB 中 MEPB ME 平面PBC PB 平面PBC ME 平面PBC 又DEMEE I 平面DME 平面PBC 又DM 平面DME DM 平面PBC 同解法一 19 本小题满分 12 分 某工厂有 25 周岁以上 含 25 周岁 工人 300 名 25 周岁以下工人 200 名 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关 现采用分层抽样的方法 从中抽取了 100 名工人 先统计了他们某月的日平均生产件数 然后按工人年龄在 25 周岁以上 含 25 周岁 和 25 周岁以下 分为两组 在将两组工人的日平均生产件数分成 5 组 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 分别加以统计 得到如图所示的频率分布直方图 1 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人 求至少抽到一名 25 周岁以下 组 工人的频率 2 规定日平均生产件数不少于 80 件者为 生产能手 请你根据已知条件完成2 2 的列联表 并判断是否有90 的把握认为 生产能手与工人所在的年龄组有关 附表 本小题主要考查古典概型 抽样方法 独立性检验等基础知识 考查运算求解能力 应用意识 考查必然和或然思想 化归与转化思想等 满分 12 分 解 由已知得 样本中有25周岁以上组工人60名 25周岁以下组工人40名 所以 样本中日平均生产件数不足60件的工人中 25周岁以上组工人有60 0 053 人 记为 1 A 2 A 3 A 25周岁以下组工人有40 0 052 人 记为 1 B 2 B 从中随机抽取2名工人 所有可能的结果共有10种 他们是 12 A A 13 A A 23 A A 11 A B 12 A B 21 A B 22 A B 31 A B 32 A B 12 B B 其中 至少有名 25周岁以下组 工人的可能结果共有7种 它们是 11 A B 12 A B 21 A B 22 A B 31 A B 32 A B 12 B B 故所求的概率 7 10 P 由频率分布直方图可知 在抽取的100名工人中 25周岁以上组 中的生产能手 60 0 2515 人 25周岁以下组 中的生产能手40 0 37515 人 据此可得22 列联表 如下 生产能手 非生产能手 合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以得 22 2 100 1525 1545 25 1 79 6040 30 7014 n adbc K ab cd ac bd 因为1 792 706 由 2 AFAMAN 得 12 4y y 所以 2 0 14 2 y 解得 0 6y 此时0 所以圆心C的坐标为 3 6 2 或 3 6 2 从而 2 33 4 CO 33 2 CO 即圆C的半径为 33 2 21 本小题满分 12 分 如图 在等腰直角三角形OPQ 中 90OPQ o 2 2OP 点M 在线段PQ上 1 若3OM 求PM的长 2 若点N在线段MQ上 且30MON o 问 当POM 取何值时 OMN 的面积最小 并求出面积的最小 值 本小题主要考查解三角形 同角三角函数的基本关系 两角和与差的三角函数等基础知识 考查 推理论证能力 抽象概括能力 运算求解能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转 化思想 满分 12 分 解 在OMP 中 45OPM 5OM 2 2OP 由余弦定理得 222 2cos45OMOPMPOPMP 得 2 430MPMP 解得1MP 或3MP 设POM 060 在OMP 中 由正弦定理 得 sinsin OMOP OPMOMP 所以 sin45 sin 45 OP OM 同理 sin45 sin 75 OP ON 故 1 sin 2 OMN SOMONMON 22 1sin 45 4sin 45sin 75 OP 1 sin 45sin 4530 1 31 sin 45sin 45cos 45 22 2 1 31 sin45sin 45cos 45 22 1 31 1 cos 902sin 902 44 1 331 sin2cos2 444 1 31 sin 230 42 因为060 30230150 所以当30 时 sin 230 的最大 值为1 此时OMN 的面积取到最小值 即 230POM 时 OMN 的面积的最小值为 84 3 22 本小题满分 14 分 已知函数 1 x a f xx e aR e为自然对数的底数 1 若曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线平行于x轴 求a的值 2 求函数 f x的极值 3 当1a 的值时 若直线 1l ykx 与曲线 yf x 没有公共点 求k的最大值 本小题主要考查函数与导数 函数的单调性 极值 零点等基础知识 考查推理论证能力 运算 求解能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 分类与整合思想 化归与转化思想 满分 14 分 解 由 1 x a f xx e 得 1 x a fx e 又曲线 yf x 在点 1 1f处的切线平行于x轴 得 10 f 即10 a e 解得ae 1 x a fx e 当0a 时 0fx f x为 上的增函数 所以函数 f x无极值 当0a 时 令 0fx 得 x ea lnxa lnxa 0fx 所以 f x在 lna 上单调递减 在 ln a 上单调递增 故 f x在lnxa 处取得极小值 且极小值为 lnlnfaa 无极大值 综上 当0a 时 函数 f x无极小值 当0a f x在lnxa 处取得极小值lna 无极大值 当1a 时 1 1 x f xx e 令 1 11 x g xf xkxk x e 则直线l 1ykx 与曲线 yf x 没有公共点 等价于方程 0g x 在R上没有实数解 假设1k 此时 010g 1 1 11 10 1 k g k e 知方程 0g x 在R上没有实数解 所以k的最大值为1 解法二 同解法一 当1a 时 1 1 x f xx e 直线l 1ykx 与曲