2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答word版.doc

2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、填空题（共8题，每题10分，合计80分）1、设多项式满足：对任意,都有，则的最小值是_。答案：-2解：由于是多项式，则，与的次数相同，于是为二次多项，设，则，所以，得到，因此2、数列，满足：，已知数列的前项和为，则数列的前项和_。答案：解：，所以。3、函数的值域是_。答案：解：令，则点的图像是单位圆位于轴上方部分，将函数改写成，它表示定点与半圆上的点所连直线的斜率，易知直角三角形中，所以，故4、过抛物线的焦点F，作一条斜率为2的直线，若交抛物线于两点，则的面积是_。答案：解：抛物线焦点，直线AB直线方程为，代入抛物线方程，得，设，有，所以，5、若为锐角三角形，满足，则的最大值是_。答案：解：条件可化为，即，而APEDHO。（当即时取得等号）6、若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为_。答案：解：设正三棱锥P-ABC的底面中心为H，则内切球的球心O在PH上，若AH交BC于D，则，且球O与面PBC的切点E在PD上，今考虑截面，如图，记，正的边长为，则，由于，则，所以7、将随机填入右图正方形ABCD的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左至右顺次成等差数列的概率P=_。ABDCbac答案：。解：设三行填数的和依次为，则也成等差，而，即，所以，设第二行三数顺次为，由于成等差，得，于是，的取值只有四种情况，但作为所在列的等差中项，不能取1和9；据对称性，1和9也不能在中间列，故只能在正方形的角块上，且即不同行，也不同列（否则中项为5），即1和9也不能在中间列，故只能在正方形的角块上；同理知，也不能被取到，故3，7必在正方形的另一对角顶；故填法只有右图的模式：它的各种情况，可看到将表格固定，然后将字母A放置于四角之一，再使ABCD成顺时针或反时针方向，共得8种情况（也可使ABCD位置固字，而将数表旋转和翻折）；所以。8、将集合的元素分成不相交的三个子集：，其中，且，则集合C为：_。答案：解：由，得，所以，先不考虑搭配情况，设，则，故，且；若；于是；若，故只能取9或10，只能取7与6；分别得；另一方面，三种情况都对应有相应的子集A和B，例如以下的表：123465712109811657243111121098111297231458610因此子集C的三种情况都合条件。二、解答 题（共3题，合计70分）ABMNQA1P9、（20分）如图，AB是圆的一条弦，它将圆分成两部分，M、N分别是两段弧的中点，以点B为旋转中心，将弓形AMB顺时针旋转一个角度成弓形A1MB，AA1的中点为P，MN的中点为Q。求证：MN=2PQ。证明：若能证明，则PQ为斜边上中线，结论显然。取中点E，中点F，连NE、PE、MF、PF，由=知，PEBF为棱形。，又 。由，即MNPXYO10、（25分）给定椭圆以及圆O：，自椭圆上异于顶点的任意一点P，作圆O的两条切线，切点为M、N，若直线MN在X，Y轴上的截距分别为，证明：。证：如图，设，由于M，N是圆O的切点，有，所以OMPN共圆，此圆直径为OP，则圆心为，其方程为。点M、N的坐标满足，又因点M、N也在圆O上，故点M、N的坐标也满足，-得，此即直线MN的方程，其截距为。所以，而点在椭圆上，代入椭圆方程得。11、（25分）对于个素数组成的集合，将其元素两两搭配成个乘积，得到一个元素，如果与是由此得到的两个元素，若其中，且，就称集合对是由M炮制成的一幅“对联”。（例如当时，由四元集可炮制成三幅“对联”：，）。（1）、当时，求6元素数集所能炮制成的“对联”数；（2）、对于一般的，求由元素数集M所能炮制成的“对联”数。解：（1）、采用直接计算法，6个元素可以形成15个不同的“字条”，列出如下：，将位于第行、第列交叉处的“字条”看作一个坐标点，记为，对于第一行的，它与下面第行的各有两个搭配：，；，；，；，；共得42=8个搭配；类似的，点与下面四行的点也各有8个搭配；于是第一行的三个点与下面四行的点共形成342=24个搭配；第二行的每个点与下面第行的点也各有两个搭配，共得332=18个搭配；第三行的每个点与下面第行的点也各有两个搭配，共得322=12个搭配；第四行的每个点与下面第行的点也各有两个搭配，共得312=6个搭配；故得搭配数6（1+2+3+4）=60个，即由集合M可炮制出60幅“对联”。（2）、将集合M分拆成两个元集，分法种数为种，（设含有元素的集为，的其余个元素取自除外的个数），而将的元