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中山大学岭南学院2012 级高等数学（三）期中试题警 示(考试形式：闭卷 考试时间: 2学时)中山大学授予学士学位工作细则第六条考试作弊不授予学士学位姓名：_ 学号：_题号一二三四五六七总分得分1. 是非判断题（每题4分，共计20分）1) 若，且，则。 （错）若，且，则例如，但2) 函数在一点可微必在该点连续。 （对）3) 无穷小量的倒数是无穷大量。 （错）4) 初等函数在定义域内不一定连续。 （对）的定义域是离散点集，函数点点不连续。连续就要取极限，那么就一定在去心临域内有定义。5) 虽然是一个分段函数，但它仍然是初等函数。 （对）2. 计算下列极限（每题4分，共计20分）1)根据两边夹定理，2)3)4)或者5)3. 用极限的定义证明（10分）证明：，欲使，即，只要即于是可取，当时，根据极限的定义4. 计算下列函数的导数和微分（每题5分，共计20分）1) , 求。2) ,求。3) 设是由确定的隐函数，求。4) 设是由确定的隐函数，求。5. 求曲线在点处的切线方程和法线方程（10分）将代入于是，切线方程为法线方程为6. 分析函数在分段点的连续性和可导性。（10分）解：7. 证明方程有且只有一个实根（10分）解：令。（存在性）在区间上应用连续函数的零点定理，可知在上至少有一个零点。（唯一性）有两种方法。一是用反证法，如果有两个零点，则在组成的闭区间上运用Roll定理，可知存在，使得矛盾！故零点唯一。
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