不等关系与不等式经典教案.doc

不等关系与不等式【学习目标】1了解不等式(组)的实际背景2掌握比较两个实数大小的方法3掌握不等式的八条性质【学法指导】1不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可2作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论3不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形一、知识温故1不等式中文字语言与数学符号之间的转换大于小于大于等于小于等于至多至少不少于不多于2关于实数a、b大小的比较：ab0 ；ab0 ；ab0 .3常用的不等式的基本性质(1)abb a(对称性)；(2)ab，bca c(传递性)；(3)abac bc(可加性)；(4)ab，c0ac bc；ab，cb，cdac bd；(6)ab0，cd0ac bd；(7)ab0，nN，n2an bn；(8)ab0，nN，n2 .二、经典范例问题探究一实数比较大小问题1(实数比较大小的依据)在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：如果ab是正数，那么 ；如果ab是负数，那么 ；如果ab等于零，那么 .以上结论反过来也成立，即ab0ab；ab0ab；ab0ab.问题2(作差法比较实数的大小)向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论问题探究二不等式的基本性质问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质请同学们借助前面的性质证明性质6：如果ab0，cd0，那么acbd.问题4初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形(证明不等式和求解不等式)的重要依据请同学们解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用解不等式：xb，则acbc2，则ab；(3)若ababb2；(4)若cab0，则；(5)若ab，则a0，b0.小结在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定变式练习5: 判断下列各命题是否正确，并说明理由(1)若0，则ab；(2)若ab0且cd0，则 ；(3)若ab，ab0，则b，cd，则acbd.三、过关测试 一、选择题1若a，b，cR，ab，则下列不等式成立的是()A.b2C. Da|c|b|c|2已知a0，b B.aC.a D.a3已知a、b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()Aa2b2 Ba2bab2C. D.4若x(e1,1)，aln x，b2ln x，cln3x，则()Aabc BcabCbac Dbc0，则下列不等式中正确的是()Aba0 Ba3b30Ca2b206若abc且abc0，则下列不等式中正确的是()Aabac BacbcCa|b|c|b| Da2b2c2二、填空题7若1a5，1b2，则ab的取值范围为_8若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)与g(x)的大小关系是_9若xR，则与的大小关系为_10设n1，nN，A，B，则A与B的大小关系为_三、解答题11设ab0，试比较与的大小12设f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中x0且x1，试比较f(x)与g(x)的大小能力提升13若0a1a2,0b1b，则下列不等式成立的是()A.b2C. Da|c|b|c|2已知a、b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()Aa2b2 Ba2bab2C. D.3若x(e1,1)，aln x，b2ln x，cln3x，则()Aabc BcabCbac Dbc0且a1，Mloga(a31)，Nloga(a21)，则M，N的大小关系为()AMN DMN5若abc且abc0，则下列不等式中正确的是()Aabac BacbcCa|b|c|b| Da2b2c2二、填空题6若1a5，1b2，则ab的取值范围是_7若xR，则与的大小关系为_8设n1，nN，A，B，则A与B的大小关系为_三、解答题9比较x61与x4x2的大小，其中xR.10设ab0，试比较与的大小11.已知12a60,15b36，求ab及的取值范围四、探究与拓展12设f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中x0且x1，试比较f(x)与g(x)的大小部分参考答案：问题2：设原来a克糖水中含糖b克，加入m克糖后，糖水浓度变大了，用不等式表示为b)证明如下：，又a，b，m均为正数且ab，ab0，m(ab)0，a(am)0，0.因此，也就是糖水浓度更大了，糖水变得更甜了问题3：证明acbd.问题4：解xx2x98x1 (不等式两边都乘以12，不等式方向不改变)2x8x10 (不等式两边都加上9)10x1 (不等式两边都乘以，不等式方向改变)变式练习1：设软件数为x，磁盘数为y，根据题意可得变式练习2：(x31)(2x22x):x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)(x1)(x)2，(x)20，x10，(x1)(x)20，x312x22x.变式练习3：解(1)(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70.(a3)(a5)bc2知c0，c20，ab，故该命题为真命题(3)a2ab；又abb2，a2abb2，故该命题为真命题(4)ab0，ab，caab0，0，在ca0，又ab0，.故该命题为真命题(5)由已知条件知abab0，又00，ab0，ba0，abb，a0，b0，故该命题为真命题变式练习5：解(1)b，故(1)错(2)0 成立，故(2)对(3)错例如，当a1，b1时，不成立(4)错例如，当ac1，bd2时，不成立过关测试：1、答案C解析对A，若a0b，则0，A不成立；对B，若a1，b2，则a2b，恒成立，C正确；对D，当c0时，a|c|b|c|，D不成立2、答案D解析取a2，b2，则1，a.3、答案C解析对于A，当a0，b0时，a2b2不成立；对于B，当a0时，a2b0，ab20，a2bab2不成立；对于C，a0，；对于D，当a1，b1时，1.4、答案C解析x1，1ln x0.令tln x，则1t0，ab.cat3tt(t21)t(t1)(t1)，又1t0，0t11，2t10，ca.cab.5、答案D解析由a|b|得ab0，且ab0.ba0，故B错而a2b2(ab)(ab)0，C错6、答案A解析由abc及abc0知a0，c0，bc，abac.故选A.7、答案1,6解析1b2，2b1，又1a5，1ab6.8、答案f(x)g(x)解析f(x)g(x)x22x2(x1)210，f(x)g(x)9、答案解析0，.10、答案AB解析A，B.B.11、解方法一作差法ab0，ab0，ab0,2ab0.0，.方法二作商法ab0，0，0.11.12、解f(x)g(x)1logx32logx2logx，当或即1x时，logx0，f(x)g(x)；当1，即x时，logx0，即f(x)g(x)；当或即0x1，或x时，logx0，即f(x)g(x)综上所述，当1x时，f(x)g(x)；当x时，f(x)g(x)；当0x1，或x时，f(x)g(x)13、答案A解析方法一特殊值法令a1，a2，b1，b2，则a1b1a2b2，a1a2b1b2，a1b2a2b1，最大的数应是a1b1a2b2.方法二作差法a1a21b1b2且0a1a2,0b1a1，b21b1b1，0a1，0b10，a1b1a2b2a1b2a2b1.(a1b1a2b2)2a1b1a1b1b1(2a11)(2a11)(2a11)20，a1b1a2b2.综上可知，最大的数应为a1b1a2b2.14、解5x2y2z2(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy且z1时取到等号课后练习答案：1C2.C3.C4.C5.A61,67.8.AB9解x61(x4x2)x6x4x21x4(x21)(x21)(x21)(x41)(x21)2(x21)0.当x1时，x61x4x2；当x1时，x61x4x2.综上所述，x61x4x2，当且仅当x1时取等号10解方法一作差法.ab0，ab0，ab0,2ab0.0，.方法二作商法ab0，0，0.11.11解15b