2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑术语1.4全称量词与存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定讲义新人教A版选修2.doc

14.3含有一个量词的命题的否定1含有一个量词的全称命题的否定全称命题p綈p结论xM，p(x)x0M，綈p(x0)全称命题的否定是特称命题2含有一个量词的特称命题的否定特称命题p綈p结论x0M，p(x0)xM，綈p(x)特称命题的否定是全称命题1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)x0M，p(x0)与xM，綈p(x)的真假性相反()(2)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定()(3)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”()答案(1)(2)(3)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“至多有一个”的否定为_(2)已知命题p：xR，sinx1，则綈p是_(3)命题“x0Q，x5”的否定是_(填“真”或“假”)命题(4)已知命题p：x0，总有(x1)ex1，则綈p为_答案(1)至少有两个(2)x0R，sinx01(3)真(4)x00，使得(x01)ex01 探究1全称命题的否定例1判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定(1)p：x，sinx2；(2)p：mR，函数f(x)x2mx是偶函数；(3)p：每个三角形至少有两个锐角解(1)p是真命题，由x得sinx(0,1)，sinx22，故p为真命题綈p：x0，sinx02.(2)p是假命题，当m0时，f(x)才是偶函数綈p：m0R，函数f(x)x2m0x不是偶函数(3)p是真命题綈p：有的三角形至多有一个锐角拓展提升1.对全称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等2全称命题否定后的真假判断方法全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可【跟踪训练1】写出下列全称命题的否定，并判断真假(1)p：正方形是矩形；(2)p：R，都有cossin.解(1)綈p：存在一个正方形不是矩形，这是假命题(2)綈p：0R，使得cossin0，这是假命题探究2特称命题的否定例2判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定(1)p：有一个奇数不能被3整除；(2)p：有些三角形的三个内角都是60；(3)p：，R，sin()sinsin.解(1)p是真命题，如5不能被3整除綈p：任意一个奇数都能被3整除(2)p是真命题，等边三角形的三个内角都为60.綈p：任意三角形的三个内角不都为60.(3)p是真命题，当，0时，sin()sinsin.綈p：，R，sin()sinsin.拓展提升1.对特称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等2特称命题否定后的真假判断特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可【跟踪训练2】写出下列特称命题的否定，并判断真假(1)p：有的一元二次方程有实数根；(2)p：x0R，sinsinx0.解(1)綈p：所有的一元二次方程都没有实数根，这是假命题(2)綈p：xR，sinsinx，这是假命题，如sinsin.探究3含有一个量词的命题的否定例3写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2xm0必有实数根；(2)q：存在一个实数x0，使得xx010；(3)r：等圆的面积相等，周长相等解(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2xm0有实数根”，其否定形式是綈p：存在实数m，使得x2xm0没有实数根注意到当14m0时，即m0.由x2x120知，綈q是真命题(3)这一命题的否定形式是綈r：存在二个等圆，其面积不相等或周长不相等由平面几何知识知綈r是假命题拓展提升分清所给命题是全称命题还是特称命题是正确写出其否定的关键，同时要熟悉常用量词的否定形式【跟踪训练3】写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：x1，log2x0；(2)p：直线l平面，则对任意l平面，ll；(3)p：x01，使x2x030.解(1)綈p：x01，log2x00.当x1时，log2x0，綈p为假命题(2)綈p ：直线l平面，l，l与l不垂直直线l平面，l，ll，綈p是假命题(3)綈p：x1，使x22x30.当x21时，x22x30，綈p是真命题探究4求参数的取值范围例4已知命题p：xR，ax22x10，q：xR，ax2ax10.若(綈p)(綈q)为真命题，求实数a的取值范围解(綈p)(綈q)为真命题，綈p与綈q都是真命题，从而p与q都是假命题“关于x的方程ax22x10有解”与“ax2ax10对一切xR恒成立”都是真命题由关于x的方程ax22x10有解，得a0或即a0或a1且a0，a1.由ax2ax10对一切xR恒成立，得a0或即a0或0a4，0a0，由(綈p)(綈q)为真命题知，綈p与綈q都是真命题由綈p为真命题得a0，或故a1.由綈q为真命题得a0或故0af(x)(或af(x)max(或af(x0)(或af(x)min(或a0”命题q：“存在xR，使x2m20”，所以非p：“不等式f(x)0在实数集上有解”，故m240，得m2或m2.又命题q：“存在xR，使x2m29”，即不等式x20，所以3m0 DxR,3x0答案D解析特称命题的否定是全称命题，一方面要改量词即“”改为“”；另一方面要否定结论即“”改为“”故选D.2全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是()A所有能被5整除的整数都不是奇数B所有奇数都不能被5整除C存在一个能被5整除的整数不是奇数D存在一个奇数，不能被5整除答案C解析全称命题的否定是特称命题，而A，B是全称命题，所以A，B错误因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错误，C正确故选C.3对下列命题的否定，其中说法错误的是()Ap：x3，x22x30；綈p：x3，x22x30答案C解析若p：有的三角形为正三角形，则綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误4若命题“x0R，x(a1)x010；(3)r：存在