2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大小值与导数讲义新人教A版选修2.doc

1.3.3函数的最大(小)值与导数1函数f(x)在闭区间a，b上的最值如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得2求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值函数f(x)在区间(a，b)上的最值在区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值常见的有以下几种情况：如图，图中的函数yf(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；图中的函数yf(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；图中的函数yf(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；图中的函数yf(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()答案(1)(2)(3)2做一做(1)设函数f(x)e2x3x(xR)，则f(x)_(填“有”或“无”)最值(2)已知函数yx3x2x，该函数在区间0,3上的最大值是_(3)已知函数f(x)x33x2m(x2,2)，f(x)的最小值为1，则m_.答案(1)无(2)15(3)1探究求已知函数的最值例1已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值解(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84A当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max条件探究将本例(2)中区间0,2改为1,0，结果如何？解令f(x)0，解得x10，x2a当a0，即a0时，f(x)在1,0上单调递增，从而f(x)maxf(0)0；当a1，即a时，f(x)在1,0上单调递减，从而f(x)maxf(1)1a；当1a0，即a0，且x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)3，即b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.拓展提升由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用【跟踪训练2】已知函数f(x)x33x29xA(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)2a，f(2)22a，f(2)f(2)在(1,3)上f(x)0，在(1,3)上f(x)单调递增，又f(x)在2，1上单调递减，f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值于是有22a20，解得a2，f(x)x33x29x2，f(1)7，即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7.探究与函数最值有关的综合问题例3设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求函数f(x)的最小值h(t)；(2)在(1)的条件下，若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)的最小值为f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2t)t33t1.由g(t)3t230及t0，得t1，当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值由上表可知当t1时，g(t)有极大值g(1)1.又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值，即g(t)max1.h(t)2tm在(0,2)内恒成立，即g(t)m在(0,2)内恒成立，当且仅当g(t)max1m，即m1时上式成立，实数m的取值范围是(1，)拓展提升(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min；f(x)g(x)k恒成立kf(x)g(x)min；f(x)g(x)恒成立f(x)g(x)min0；af(x)能成立af(x)min，af(x)能成立af(x)max.【跟踪训练3】设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解(1)f(x)的定义域为R，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在和上单调递减，在上单调递增(2)因为a0，所以x10.当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2,1上单调递减，因此f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.1设在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间a，b上存在导数，有下列三个命题：若f(x)在a，b上有最大值，则这个最大值必是a，b上的极大值；若f(x)在a，b上有最小值，则这个最小值必是a，b上的极小值；若f(x)在a，b上有最值，则最值必在xa或xb处取得其中正确的命题个数是()A0 B1 C2 D3答案A解析由于函数的最值可能在区间a，b的端点处取得，也可能在区间a，b内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题2函数y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分别是()A12，8 B1，8 C12，15 D5，16答案A解析y6x26x12，由y0x1或x2(舍去)当x2时y1，当x1时y12，当x1时y8.所以ymax12，ymin8.故选A3函数f(x)12xx3在区间3,3上的最小值是_答案16解析由f(x)123x20，得x2或x2，又f(2)16，f(3)9，f(2)16，f(3)9.故最小值为16.4当x_时，函数f(x)xex取得最小值答案1解析由f(x)ex(1x)0，得x1，当x1时，f(x)1时