2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列第2课时排列的应用讲义新人教A版选修2.doc

第2课时排列的应用知识点排列应用题的最基本的解法1直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)2间接法：先不考虑附加条件，计算出总数目，再减去不符合要求的数目3从位置出发的“特殊元素优先考虑法”和对不相邻问题采用的“插空法”以及对相邻问题采用的“捆绑法”，是解答排列问题常用的有效方法间接法是利用了“正难则反”的数学思想，适合正面考虑情况较复杂时的题型在解题时特别注意不符合条件的情形，不要遗漏1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)从3,5,7,9中任取两个数做指数运算，可以得到多少个幂是排列问题()(2)把12名学生分成三组参加植树活动，共有多少分组方法是排列问题()(3)从1,2,3中任选2个数相除可以得到不同的结果数为6.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法的种数是_(2)沿途有四个车站，这四个车站之间需要准备不同车票_种(3)一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有_种答案(1)720(2)12(3)20解析(1)相当于3个元素排在10个位置，则有A720种不同的分法(2)四个车站中的任一站均可为起点站，也可为终点站，所以共有A12种(3)从原来的4个节目形成的5个空中，选2个空排列，共有A20种添加方法探究排队问题例1有5名男生，4名女生排成一排(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？(2)若甲男生不站排头也不站排尾，则有多少种不同的排法？(3)要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？(4)若4名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？解(1)只要从5名男生，4名女生中任选3人排列即可所以共有A987504种排法(2)解法一：(元素分析法)甲是特殊元素，第一步甲站在中间7个位置中的任意一个上，有A种排法；第二步其余8人站在剩余8个位置上，有A种排法由分步乘法计数原理知，共有AA282240种排法解法二：(位置分析法)第一步从甲以外的8人中任选2人站在首、尾位置，有A种排法；第二步排其余7人，有A种排法由分步乘法计数原理知，共有AA282240种排法解法三：(间接法)5名男生，4名女生排成一排，共有A种排法，其中甲站排头的排法有A种，甲站排尾的排法有A种所以符合条件的排法有A2A282240(种)(3)女生先站在一起，有A种排法，全体女生视为一个元素与其他男生全排列有A种排法由分步乘法计数原理知，共有AA17280种排法(4)分两步第一步：5名男生全排列有A种排法；第二步：男生排好后，男生之间有4个空，加上男生排列的两端共6个空，4名女生在这6个空的位置进行排列，有A种排法由分步乘法计数原理知，共有AA43200种排法拓展提升排队问题的解答策略(1)“排队”问题与“排数”问题有些类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，可考虑用间接法；(2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分类时不重不漏，分步要连续、独立；间接法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏；(3)某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”；(4)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空位中，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”3名男生，4名女生，按照不同的要求排队拍照，求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成一排，男、女生各站在一起；(5)全体站成一排，男生必须站在一起；(6)全体站成一排，男生不能站在一起；(7)全体站成一排，男、女生各不相邻；(8)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(9)排成前后两排，前排3人，后排4人解(1)(特殊元素优先法)先考虑甲的位置，有A种方法，再考虑其余6人的位置，有A种方法故有AA2160种方法(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙的位置，有A种方法，再安排其余5人的位置，有A种方法故有AA240种方法(3)解法一：(特殊元素优先法)按甲是否在最右端分两类：第一类，甲在最右端，有A种方法；第二类，甲不在最右端，甲有A个位置可选，乙也有A个位置可选，其余5人有A种排法，即AAA种方法故有AAAA3720种方法解法二：(间接法)无限制条件的排列方法共有A种，而甲在最左端，乙在最右端的排法分别有A种，甲在最左端且乙在最右端的排法有A种故有A2AA3720种方法解法三：(特殊元素优先法)按最左端先安排分步对于最左端、除甲外有A种排法，余下六个位置全排列有A种排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有AA种故有AAAA3720种方法(4)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，全体男生、女生各看成一个元素全排列有A种排法，由分步乘法计数原理知共有AAA288种排法(5)(捆绑法)把所有男生看成一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有AA720种不同的排法(6)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有AA1440种不同的排法(7)对比(6)，让女生插空，有AA144种不同的排法(8)(捆绑法)除甲、乙外，从其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下的3个人进行全排列，故有AAA960种不同的排法(9)直接分步完成，共有AA5040种不同的排法探究数字问题例2用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？(1)六位数且是奇数；(2)个位上的数字不是5的六位数；(3)不大于4310的四位数且是偶数解(1)解法一：从特殊位置入手(直接法)第一步：排个位，从1,3,5三个数字中选1个，有A种排法；第二步：排十万位，有A种排法；第三步：排其他位，有A种排法故可以组成无重复的六位数且是奇数的共有AAA288(个)解法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A种排法；从1,3,5中任选一个排在个位上，有A种排法；其他数字全排列有A种排法故可以组成无重复的六位数且是奇数的共有AAA288(个)解法三：(排除法)6个数字全排列有A种排法，0,2,4在个位上的排列数有3A个，1,3,5在个位上且0在十万位上的排列数有3A个，故可以组成无重复的六位数且是奇数的有A3A3A288(个)(2)解法一：(排除法)0在十万位上的排列，5在个位上的排列都是不符合题意的六位数，故符合题意的六位数共有A2AA504(个)解法二：(直接法)十万位上的数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此分两类第一类：当个位上排0，有A种排法；第二类：当个位上不排0，有AAA种排法故符合题意的六位数共有AAAA504(个)(3)当千位上排1,3时，有AAA种排法；当千位上排2时，有AA种排法；当千位上排4时，形如40，42的偶数各有A个，形如41的偶数有AA个，形如43的偶数只有4310和4302这两个数满足题意故不大于4310的四位数且是偶数的共有AAAAA2AAA2110(个)拓展提升不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为多少？解(1)(直接法)AA300(个)(间接法)AA300(个)(2)(直接法)因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A个；0不在个位时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有AAA个，故有AAAA156个不同的四位偶数(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有AA个，其中第一位是0的有AA个故适合题意的有AAAA156个不同的四位偶数(3)1在首位的数的个数为A60.2在首位且0在第二位的数的个数为A12.2在首位且1在第二位的数的个数为A12.以上四位数共有84个，故第85个数是2301.探究定序问题例37人站成一排(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法解(1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有2520种不同的排法(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.故有840种不同的排法拓展提升这类问题的解法是采用分类法n个不同元素的全排列有A种排法，m个元素的全排列有A种排法因此A种排法中，关于m个元素的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的当这m个元素顺序确定时，共有种排法某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加两名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有()A12种 B30种 C36种 D42种答案D解析解法一：由于原来5名同学顺序不变，这5位同学共有6个空位，再增加两名同学时，可分为两步进行，第一步安排第一个同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6742种不同的排列数解法二：先将所有同学重排，共有A种方法，而原来5名同学共有A种不同顺序，因此共有AA42种顺序探究排列的综合应用例4从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2bxc0？其中有实根的方程有多少个？解先考虑组成一元二次方程的问题首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有A种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A种由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程：AA48(个)方程要有实根，必须满足b24ac0.分类讨论如下：当c0时，a，b可在1,3,5,7中任取两个排列，有A个；当c0时，分析判别式知b只能取5,7.当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有A种；当b取7时，a，c可取1,3或1,5这两组数，有2A种此时共有A2A个由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有：AA2A18(个)拓展提升该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析，一元二次方程中a0需要考虑到，而对有实根的一元二次方程需有0.这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证b24ac0，所以需先对c能否取0进行分类讨论实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想从集合1,2,3，20的元素中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？解设a，b，cN，且a，b，c成等差数列，则ac2b，即ac应是偶数因此，若从1到20这20个数字中任选出3个不同的数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数，当第一和第三个数选定后，中间数唯一确定，因此，选法只有两类：第一、三个数都是偶数，有A种选法；第一、三个数都是奇数，有A种选法由分类加法计数原理知，这样的等差数列共有AA180(种)16个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法种数为 ()AA BA CA DA答案D解析3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列，故有A种停放方法2用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A8 B24 C48 D120答案C解析AA243248.3将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列有()A12种 B20种 C40种 D60种答案C解析5个字母排成一列，A，B，C按照顺序“A，B，C”或“C，B，A”排列的有240种4若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有_种答案11解析因为good有两个相同字母，则其不同的排列有A12(种)，而正确的排列只有1种，则可能出现的