人教版高中数学选修2-3第7讲：独立性检验与回归分析(教师版).pdf

1 人教版高中数学独立性检验与回归分析 1 了解变量间的相关关系 能根据给出的线性回归方程系数建立线性回归方程 2 了解独立性检验 只要求 2 2 列联表 的基本思想 方法及其简单应用 3 了解回归分析的基本思想 方法及其简单应用 1 独立性检验 1 概念 用 2 统计量研究独立性问题的检验的方法称为独立性检验 2 m n 列联表指有m 行 n 列的列联表 3 必备公式 2 2 n adbc ac bdab cd 2 2 统计量中的四个临界值 经过对 2 统计量分布的研究 已经得到了四个经常用到的临界值 2 706 3 841 6 635 10 828 由 2 2 列联表计算出 2 然后与相应的临界值进行比较 当 2 2 706 时 有 90 的把握说事 件 A 与 B 有关 当 2 3 841 时 有 95 的把握说事件A 与 B 有关 当 2 6 635 时 有 99 的把握说 事件 A 与 B 有关 当 2 10 828 时 有 99 9 的把握说事件A 与 B 有关 当 2 2 706 时 认为事件A 与 B是无关的 3 回归分析 1 线性回归模型是指方程yabx 其中abx称为确定性函数 称为随机误差 2 2 线性回归方程是指直线方程 yabx 其中回归截距 a 回归系数 b公式如下 b i 1 22 1 n ii n i i x ynx y xn x a ybx 3 参数 r 检验线性相关的程度 计算公式为r 1 22 1i 1 n ii i nn ii i xxyy xxyy 即 r 1 2222 11 n ii i nn ii ii x ynx y xn xyn y 化简后 r xy xyxy S S 其中 y S表示数据 i y i 1 2 n 的标准差 这个r 称为 y 与 x 的样本相关系数 简称相关系数 其中 1 r 1 若 r 0 则 x 与 y 是 正相关 若r 0 05 r 0 632 所以认为x 与y 之间具有线性相关关系 3 代入公式得 b 0 398 134 8 a 练习 1 某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下 次数 x 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩 y 30 34 37 39 42 46 48 51 试预测该运动员训练47 次以及 55 次的成绩 解析 1 可求得 88 22 11 39 25 40 875 12656 ii ii xyxy 8 1 13731 13180 ii i x y 所以 8 1 8 2 1 ii i i i xxyy b xx 8 1 8 22 i 1 8 1 0415 8 ii i i x yx y xx 0 00386 aybx 所以回归直线方程为 1 04150 00386 yx 2 计算相关系数 将上述数据代入 8 1 88 2222 11 8 8 8 ii i ii ii x yxy r xxyy 得 r 0 992704 查表可知 0 05 r0 707 而 0 05 rr故 y 与 x之间存在显著的线性相关关系 3 作出预报 由上述分析可知 我们可用回归方程 y 1 0415x 0 00386 作为该运动员成绩的预 测值 将x 47 和 x 55 分别代入该方程得 49y和 57 y故预测该运动员训练47 次和 55 次成绩 5 分别为 49 和 57 1 在调查中学生近视情况中 某校男生150 名中有 80 名近视 女生140 名中有 70 名近视 在 检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力 A 期望与方差B 排列与组合C 独立性检验D 概率 答案 C 2 通过对 2 统计量的研究 得到了若干临界值 当 2 2 706 时 我们认为事件A 与 B A 有 90 的把握认为A 与 B 有关系 B 有 95 的把握认为A 与 B有关系 C 没有充分理由说明事件A 与 B有关系 D 不能确定 答案 C 3 下列关于 2 的说法中正确的是 A 2 在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关 B 2 的值越大 两个事件的相关性就越大 C 2 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量 只对于两个分类变量适合 D 2 的观测值 2 的计算公式为 2 n adbc ab cdac bd 答案 C 4 下列两个变量之间的关系是相关关系的是 A 角度和它的余弦值B 正方形边长和面积 C 正 n 边形的边数和顶点数D 人的年龄和身高 答案 D 5 由一组样本数据 1122 n x yxyx n y得到的回归方程为 ybx a下面说法不正确的 是 A 直线 ybxa必经过点 x y B 直线 ybxa至少经过点 1122 nn xyxyxy中的一个点 C 直线 ybxa的斜率为 1 22 1 n ii i n i i x ynxy xn x D 直线 ybxa和各点 1122 nn x yxyxy的偏差平方和 2 1 n ii i ybxa 是该坐 6 标平面上所有直线与这些点的偏差平方和中最小的直线 答案 B 6 有甲 乙两个班级进行数学考试 按照大于等于85 分为优秀 85 分以下非优秀统计成绩 得 到如下所示的列联表 优秀非优秀总计 甲班10b 乙班c 30 合计 已知在全部105 人中随机抽取1 人 成绩优秀的概率为 2 7 则下列说法正确的是 A 列联表中c 的值为 30 b 的值为 35 B 列联表中c 的值为 15 b 的值为 50 C 根据列联表中的数据 若按97 5 的可靠性要求 能认为 成绩与班级有关系 D 根据列联表中的数据 若按97 5 的可靠性要求 不能认为 成绩与班级有关系 答案 C 7 为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系 现随机抽取50 名学生 得到如下2 2 列联表 理科文科 男1310 女720 已知 P K 2 3 841 0 05 P K2 5 024 0 025 根据表中数据 得到K2 50 13 20 10 7 2 23 27 20 30 4 844 则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 答案 5 8 某数学老师身高176cm 他爷爷 父亲和儿子的身高分别是173cm 170cm 和 182cm 因儿子 的身高与父亲的身高有关 该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm 答案 185 7 基础巩固 1 2014 重庆卷 已知变量x 与 y 正相关 且由观测数据算得样本平均数x 3 y 3 5 则由该观 测数据算得的线性回归方程可能是 A y 0 4x 2 3 B y 2x 2 4 C y 2x 9 5 D y 0 3x 4 4 答案 A 2 2014 湖北卷 根据如下样本数据 x 345678 y 4 02 5 0 50 5 2 0 3 0 得到的回归方程为y bx a 则 A a 0 b 0 B a 0 b 0 C a0 D a 0 bb a a B b b a a C b a D b b a a 答案 C 3 对相关系数r 下列说法正确的是 A r越大 相关程度越小B r越小 相关程度越大 C r越大 相关程度越小 r越小 相关程度越大 D r 1 且 r越接近 1 相关程度越大 r越接近 0 相关程度越小 答案 D 4 假设关于某设备的使用年限x 年 与所支出的维修费用y 万元 有如下统计资料 x 2 3 4 5 6 y 2 2 3 8 5 5 6 5 7 0 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系 试求 1 线性回归方程 2 估计设备的使用年限为10 年时 维修费用约是多少 答案 1 i 1 2 3 4 5 xi2 3 4 5 6 yi2 2 3 8 5 5 6 5 7 0 xiyi4 4 11 4 22 0 32 5 42 0 55 2 11 4 5 90 112 3 iii ii xyxx y 5 1 52 22 1 5 112 35 4512 3 1 23 905410 5 ii i i i x yxy b xx 51 2340 08 aybx所以线性回归方程是 y 1 23x 0 08 2 当 x 10 时 y 1 23 10 0 08 12 38 万元 即估计设备用10 年时 维修费用约是12 38 万 元 5 假设关于某设备的使用年限x 年 和所支出的维修费用y 万元 有如下表的统计资料 使用年限x 年 2 3 4 5 6 维修费用y 万元 2 2 3 8 5 5 6 5 7 0 若由资料可知y 对 x 呈线性相关关系 试求 1 线性回归直线方程 2 根据回归直线方程 估计使用年限为12 年时 维修费用是多少 答案 1 列表 10 i 12 3 4 5 合计 xi2 3 4 5 6 20 yi2 2 3 8 5 5 6 5 7 0 25 xiyi4 4 11 4 22 0 32 5 42 0 112 3 x 2 i4 9 16 25 36 90 x 4 y 5 5 i 1x 2 i 90 5 i 1xiyi 112 3 b 1 23 于是 a 5 1 23 4 0 08 2 当 x 12 时 y 1 23 12 0 08 14 84 万元 6 在某医院 因为患心脏病而住院的665 名男性病人中 有214 人秃顶 而另外772 名不是因 为思心脏病而住院的男性病人中有175 人秃顶 利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关 系 答案 根据题目中所给数据得到如下列联表 患心脏病患其他病合计 秃顶214 175 389 不秃顶451