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浅谈高中数学中一个常见“工具性”知识的理解【摘要】 高中数学教材中引入”向量和导数”的知识，我认为其目的很明确：充分体现它们的工具性。但这种”工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断”开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的”认知模块”、”知识体系”。【关键词】 数量积 向量 角度 距离高中数学全日制普通高级中学教科书?中关于空间向量的数量积有这样三条性质：作为”工具性”，性质（2）（3）比较明显，会立即得到充分的应用。可是对于性质（1），当时，在上新授课时我总认为有点像”房间里的摆设”配角。但是随着时间的推移我发现了她的奥妙之处：在后继的有关空间问题中的”三大角度”和”三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途，并带来意想不到的”知识链”反应，极大地丰富了关于空间向量的”数量积”这一运算的”认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认知，以飨读者。（一）性质的产生与内含可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）。（二）性质的”知识链”教材引进空间向量的”坐标法”来解决空间中”三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是”生硬、呆板”，甚至张冠李戴。如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成”知识链”。那么，这一性质是怎样与相关问题产生”对接或联系”的呢？（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的”对接点”。11线线角的求法的新认识：我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为,我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，13二面角的平面角(0)的求法的新认识：（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。三大角的统一理解：从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的”空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的”正弦或余弦的定义”发生了对接对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影.将知识的”生长点”建立在学生认知水平的”最近发展区”，那学习就会水到渠成。其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。空间中的三大角的计算，都隐藏于这个”特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的”统一美”之中，
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