一道填空题引发的思考.doc

七年级数学上册配套练习册第70页，遇到一道填空题：例：设a、b、c分别表示三种质量不同的物体，如图所示，图、图两架天平处于平衡状态。为了使第三架天平（图）也处于平衡状态，则“？”处应放 个物体b?aabc图 图ac ?图通过调查，这个问题只有极少数学生填上了答案，还不知道是不是真的会解，我需要讲解一下。我讲解的设计思路是这样的：一.引导将图和图中的平衡状态，用数学式子（符号语言数学语言）表示（现实问题数学化数学建模）：图：2a=cb. 图: ab=c.因此，2a=（ab）b. 可得：a=2b， c=3b .所以，ac = 5b. 答案应填5.我自以为思维严密，有根有据。然而，在让学生展示自己的想法时，却出乎我的意料。学生1这样思考的：假设b=1,a=2,c=3.所以，ac = 5，答案应填5.学生这是用特殊值法解决问题的，虽然特殊值法也是一种数学方法，但是存在很大的不确定性，不能让学生仅停留在这种浅显的思维表层上。面对这个教学推进过程的教学“新起点”，我必须深化学生的思维，但是，还不能打击他的自信心，必须保护好学生的思维成果。因此，我立刻放弃了准备好的讲解方案，以学生思维的结果为起点，进行调整。我先对学生1的方法进行积极地点评，肯定了这种思维方式在探索问题中的积极作用，当那几个同样做法的学生自信心溢于言表时，我随后提出这样一个问题：“你怎么想到假设b=1, a=2, c=3？a、b、c是不是可以假设为任意的三个数？”有的学生不假思索，马上回答：“可以是任意的三个数。”也有的学生持否定意见，大多数将信将疑，全体学生被这个问题吊足了胃口，我趁机点拨：“验证一下吧。”全班学生立刻开始思考，验证，大约有3分钟的时间，学生们开始回答这个问题：“b=2，a=3，c=4时不行，不能满足图、图中的数量关系。”“b=2，a=4，c=6时可以。结果也该填5.”“b=3，a=6，c=9时可以，结果也一样。”“b=4，a=8，c=12时可以，结果也一样。”“我发现，只要a是b的2倍，c是b的3倍就能满足图、图中的数量关系，结果就一定是5.”这时，学生的思维已经由特殊上升到一般了，也就是说在这个过程中，学生的归纳推理得到了训练，对特殊值法也有了更深的体会，用字母表示发现的规律，进而得到a=2b，c=3b .所以，ac = 5b. 答案应填5.我的目的还没有达到，继续抛出问题：“我们列举了好多数据，发现了这个结论，你还能从图、图中的数量关系本身，寻找更简明的方法吗？”学生又陷入深深地思考中，当我巡视各小组中出现了“图：2a=cb. 图: ab=c.”时，我知道，学生的思维快与严密的逻辑推理接轨了。我们是不是都有这样的感受,课堂教学设计兼具“现实性”与“可能性”的特征，这意味着课堂教学设计方案与教学实施过程的展开之间不是“建筑图纸”和“施工过程”的关系，即课堂教学过程不是简单地执行教学设计方案的过程。在课堂教学展开之初，我们可能先选取一个起点切入教学过程，但随着教学的展开和师生之间、生生之间的多向互动，就会不断形成多个基于不同学生发展状态和教学推进过程的教学“新起点”。因此课堂教学设计的起点并不是唯一的，而是多元的；不是确定不变的，而是预设中生成的；不是按预设展开僵硬不变的，而是在动态中调整的。3.一节数学习题课的思考案例3：一位教师的习题课，内容是“特殊四边形”。该教师设计了如下习题：AOFEBHGC题1 （例题）顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是怎样的四边形？并证明你的结论。题2 如右图所示，ABC中，中线BE、CF交于O, G、H分别是BO、CO的中点。（1） 求证：FGEH; （2） 求证：OF=CH.OFAECBD题3 (拓展练习)当原四边形具有什么条件时，其中点四边形为矩形、菱形、正方形？题4 （课外作业）如右图所示，DE是ABC的中位线，AF是边BC上的中线，DE、AF相交于点O.（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当ABC具有什么条件时，AF = DE。（3）当ABC具有什么条件时，AFDE。FGEHDCBA教师先让学生思考第一题（例题）。教师引导学生画图、观察后，进入证明教学。师：如图，由条件E、F、G、H是各边的中点，可联想到三角形中位线定理，所以连接BD，可得EH、FG都平行且等于BD,所以EH平行且等于FG,所以四边形EFGH是平行四边形，下面，请同学们写出证明过程。只经过五六分钟，证明过程的教学就“顺利”完成了，学生也觉得不难。但让学生做题2，只有几个学生会做。题3对学生的困难更大，有的模仿例题，画图观察，但却得不到矩形等特殊的四边形；有的先画矩形，但矩形的顶点却不是原四边形各边的中点。评课：本课习题的选择设计比较好，涵盖了三角形中位线定理及特殊四边形的性质与判定等数学知识。运用的主要方法有：（1）通过画图（实验）、观察、猜想、证明等活动，研究数学；（2）沟通条件与结论的联系，实现转化，添加辅助线；（3）由于习题具备了一定的开放性、解法的多样性，因此思维也要具有一定的深广度。为什么学生仍然不会解题呢？学生基础较差是一个原因，在教学上有没有原因？我个人感觉，主要存在这样三个问题：（1）学生思维没有形成。教师只讲怎么做，没有讲为什么这么做。教师把证明思路都说了出来，没有引导学生如何去分析，剥夺了学生思维空间；（2）缺少数学思想、方法的归纳，没有揭示数学的本质。出现讲了这道题会做，换一道题不会做的状况；（3）题3是动态的条件开放题，相对于题1是逆向思维，思维要求高，学生难把握，教师缺少必要的指导与点拨。修正：根据上述分析，题1的教学设计可做如下改进：首先，对于开始例题证明的教学，提出“序列化”思考题：（1）平行四边形有哪些判定方法？（2）本题能否直接证明EFFG , EH=FG? 在不能直接证明的情况下，通常考虑间接证明，即借助第三条线段分别把EH和FG的位置关系（平行）和数量关系联系起来，分析一下，那条线段具有这样的作用？（3）由E、F、G、H是各边的中点，你能联想到什么数学知识？（4）图中有没有现成的三角形及其中位线？如何构造？设计意图：上述问题（1）激活知识；问题（2）暗示辅助线添加的必要性，渗透间接解决问题的思想方法；问题（3）、（4）引导学生发现辅助线的具体做法。其次，证明完成后，教师可引导归纳：我们把四边形ABCD称为原四边形，四边形EFGH称为中点四边形，得到结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形;辅助线沟通了条件与结论的联系，实现了转化。原四边形的一条对角线沟通了中点四边形一组对边的位置和数量关系。这种沟通来源于原四边形的对角线同时又是以中点四边形的边为中位线的两个三角形的公共边，由此可感受到，起到这种沟通作用的往往是图形中的公共元素，因此，在证明中一定要关注这种公共元素。然后，增设“过渡题”：原四边形具备什么条件时，其中点四边形为矩形？教师可点拨思考：怎样的平行四边形是矩形？结合本题特点，你选择哪种方法？考虑一个直角，即中点四边形一组邻边的位置关系。一组邻边位置和数量关系的变化，原四边形两条对角线的位置和数量关系也随之变化。根据修正后的教学设计换个班重上这节课，这是效果明显，大部分学生获得了解题的成功，几个题都出现了不同的证法。启示：习题课教学，例题教学是关键。例题与习题的关系是纲目关系，纲举则目张。在例题教学中，教师要指导学生学会思维，揭示数学思想，归纳解题方法策略。