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精品奥数知识点汇总（初二）第一章 有理式1、因式分解：常用方法有：（1）提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法；（2）换元法：换元法就是在一个比较复杂的代数式中，根据其特征，把其中的某些部分看成一个整体，并用一个新的字母（新元）代替，从而使这个代数式的结构简化，便于分解。（3）配方法：即利用拆添项法配成完全平方式。（4）待定系数法：将一个已知的多项式表示成另一种含有待定系数的新形式，这样就得到一个恒等式，然后根据多项式恒等的性质列出几个含有待确定系数的方程（组），解这个方程（组）得出待定系数，或者从方程组中消去这些待定的系数，求出原来那些已知系数间所存在的关系，从而把问题解决。（5）双十字相乘法：（6）拆添项法：（7）因式定理：我们将x的一元n次多项式记为f(x)，即，并记当x=a时，多项式f(x)的值为f(a)。余数定理多项式f(x)除以xb所得的余数等于f(b)。因式定理如果x=b时多项式f(x)的值为零，即f(b)0，则f(x)能被xb整除（即f(x)含有xb的因式。（8）综合除法求多项式除以xb的商和余数。先用一般的除法计算：所以商式是，余式是。把演算简化如下：这里，第一行是被除式按降幂排列时的各项系数，如果有缺项，必须用零补齐，移下第一个系数乘b，加上第二个系数，依次进行，算得得第三行就是商式各项得系数及余数。用这种算式进行除法叫综合除法。被除式不是二次时，综合除法同样适用。（9）对称式与轮换对称式：一个含有多个字母的式子，如果将任意两个字母互换而式子不变，那么这个式子叫做关于这些字母的对称式。如x+y+z，xy+yz+xz都是关于x、y、z的对称式。一个含有多个字母的式子，如果将所有的字母依次替换而式子不变，那么这个式子叫做关于这些字母的轮换对称式。如x+y+z，xy+yz+xz都是关于字母x、y、z的轮换对称式。注意：对称式一定是轮换对称式，轮换对称式却不一定是对称式。例如，虽然是轮换式，但是如果把x、y互换，那么就有。显然，所以不是对称式。容易证明，两个对称式（或轮换式）的和、差、积、商仍为对称式（或轮换式）。2、分式的变形与求值：常用方法有：比例性质（如设连比值为k或），拆项，倒数的性质，配方法，加减消元，代入消元等。3、代数式的恒等证明：由于等式的形式是多种多样的，所以等式的证明也有所不同，必须根据所证等式的具体情况进行具体分析。一般有这么两种等式：一种是无条件恒等式，另一种是条件等式。例如两个分式和，恒等记为,当且仅当且时上式成立，根据这个定义，分式恒等式的证明，可转化为多项式的恒等证明。有的可用恒等定理。恒等定理等式两边都是关于某一字母的n次多项式，取此字母的n+1个不同的值代入两边，如果所得的值都相等，则原式是恒等式。常用方法有：比较法，恒等定理，拆项求和法等。4、条件等式：代数条件等式的证明，关键在于找出条件与结论之间的联系。有的需要将条件直接代入到结论中，有的从条件出发推出结论，但主要途径是灵活运用恒等变换。常用方法有：利用分数的基本性质，构造条件或结论中的式子；利用公式变形；因式分解；消元法（就是又一些元素之间的等量关系，通过n次恒等变换，消去其中某些元素而得出其他一些元素间的等量关系的解题方法。）第二章 根式与指数式1、实数与算术平方根：有理数和无理数统称实数。有理数是可以用分数表示的数（其中m、n互质且n0）,或者说有理数可以写成有限小数或循环小数的形式。无理数是不能用分数（包括分母为1的情形）表示的数，它只能表示为无限不循环小数。根据数的四则运算知识，有理数与无理数的代数和、乘积、商（积和商中的有理数一般不为零）其结果是无理数。当证明一个数或一个代数式为无理数或无理式时，常用方法是反证法。比较两数大小常用方法有：作差法；作商法；分子有理化法；分母有理化法；找中间值法；放缩不等式法；平方法；配方法等。2、二次根式的化简：常见题型及常用方法：（1）分母有理化：关键是寻求分母的有理化因式，通常是在根式中运用乘法公式，或根据分母的特性找出一般规律，由一般规律化简，得出简单结论，即从一般项入手寻求解题规律。如：（2）恒等式证明：常用方法有从一般到特殊的方法；分解因式法等。（3）求代数式的值：常用方法有：整体代入法；换元法及恒等变形等。3、复合二次根式：复合二次根式的化简公式： 说明：当是完全平方数时，便可用上面公式，把复合二次根式化简为两个简单的二次根式的代数和的形式，但复合二次根式的化简也可以利用配方法，即将被开放数配成两数和或两数差的完全平方，然后去掉外层根号。对有的题目来说，配方法比公式法更简便，有的还可以用待定系数法，设被开方数为两个简单根式、的和或差的完全平方，然后由待定系数法求出x、y。常用方法有：公式法；配方法；待定系数法；整体代入法；换元法；4、非负数：实数平方的非负性，即对任何实数a，都有。这是一条基本性质而重要的性质，另外根据绝对值的定义，非负数还可以表示为，根据算术根的定义，非负数的二次算术根仍是非负数，即时，并且非负数又有如下性质：（1）有限个非负数之和为非负数；（2）非负数与正数之和为正数；（3）有限个非负数和为零，则每一个非负数都为零。常用方法有：配方法；分类讨论法；碰到绝对值多数情况下用零点分段法。5、指数式：； 及指数运算法则：正整数指数幂的运算法则（m、n是正整数）有理指数幂的运算法则（m、n有理数a0，b0） 1（a0，mn） 在初中数学竞赛中，我们经常见到很多利用指数的性质及数论等有关问题，解决这些问题常用技巧和方法有：将指数统一，比较底数；利用作商法；平方法；利用公式法；利用分数指数幂的方法；配方法；特殊值法。第三章 三角形与四边形三角形是简单的封闭图形，是我们今后研究一些复杂图形的基础。三角形的研究一般包括三角形形状、大小、六个基本元素的关系（包括边角间的等式与不等式）以及中线、高线、角平分线位置特征与长度、角度计算。三角形研究的另一个重要方面是两个三角形之间的关系，它们只有在特殊的情况下，才能形状、大小都一样，此时的两个三角形可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之重合。与三角形定义类似，可以得到多边形的定义。过多边形的一个顶点引（n3）条对角线就可以得到（n2）个三角形，对于四边形的研究也是在三角形的基础上，三角形、四边形通称直线形。1、等腰三角形与直角三角形：一、等腰三角形的性质和判定为证明同一个三角形的两角或两边相等提供了捷径。掌握三角形的性质和判定后再证明角相等或边相等，可以不依赖全等三角形。等腰三角形“三线合一”定理应用非常广泛。另在应用等腰三角形性质和判定时，常添的基本辅助线是：（1）连结两点，得到等腰三角形；（2）截取或延长得到一条线段，使它等于已知线段，构成等腰三角形（推证同一三角形中“大边对大角”时，就是应用了这种方法）；（3）在大角内做出一部分等于小角；（4）作等腰三角形顶角平分线（或底边中线和高线）；在初中竞赛中经常涉及到一些求角度问题，在此可利用“余角、外角、补角”这些极易忽略的概念，这些恰是解题的关键。特别是等腰三角形的一底角顶角。二、直角三角形有以下性质：（1）直角三角形中两个锐角互余；（2）直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边是斜边的一半（反之亦然）。（3）直角三角形斜边中线等于斜边的一半。常用方法有：利用三角形内角和及平角180，等腰三角形的分类可以以顶角的顶点分类或以两边相等进行分类；凡是证角的倍分问题一般把大角分成两个小的等角，再证其中的一个和要求证的小角相等；利用对称性解题；记住下面的基本图形和结论：BFAH,HEAB。可以得到：12；2、全等三角形：全等三角形涉及的是两个三角形的合同关系。“对应”的思想贯穿全等三角形的始终。掌握全等三角形要抓住对应边所对的角是对应角，全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角。我们用纸板拼出由两个全等三角形组成的基本图形：先把两个全等三角形重合在一起，然后将其中一个做平移、翻折、旋转等变换，根据给的条件准确找出对应的边和对应的角。全等三角形的应用是证明线段或角相等的重要工具之一。另外，在造全等三角形中还有以下两条规律：（1）遇到三角形有一边中线，那么倍增中线造全等；（2）遇到三角形有角的平分线，那么翻折造全等。（有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；如果两个三角形有两个角和第三个角的平分线对应相等，那么这两个三角形全等。以上这两句话都是正确的。以下这两句话都是错误的：有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等、有两边和其中一边上的高对应相等，那么第三边所对的角相等。）当要证的三条线段不在一个三角形中，需通过全等倒在一个三角形中，然后用两边之和大于第三边证明。要证线段的和差问题，一般采用“截长法”或“补短法”；3、平行四边形：平行四边形的概念和性质是以平行线和全等三角形为基础的。平行四边形的问题，并不都是以求证某一四边形的形式出现，更多的是以求证线段相等、角相等、线平行、线段的互相平分等形式出现。这时应灵活地根据已知条件，善于挖掘隐含条件。矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，一定要搞清它们之间的内在联系。在历届初中数学竞赛题中涉及到平行四边形的题也不少，我们在熟悉掌握三角形这一章的各种证题方法的基础上，结合特殊四边形本身具有的特殊属性，进行综合分析、解题。常用方法有：对称性；截长补短法；旋转法；翻折法等。4、梯形：处理梯形问题常用到下述辅助线，其实质是将梯形转化为三角形（特别是直角三角形）或平行四边形。 研究梯形问题最引入注目的是中位线和面积问题，因为涉及的知识面较广。5、平移、对称和旋转：运动的基本形式是平移和对称，它们共同的特点是运动前后保持距离不变，同时也保持夹角不变、面积不变、点的共线性不变、线的共点性不变。一句话，图形经过运动得出与自身全等的图形。用运动的观点来解决几何问题的基本做法是把图形的全部或一部分作平移或对称，使条件与结论的联系更加明显，使辅助线的思考更加集中而自然，同时也使解题过程变得简捷而有趣。在几何证明题中，常常选择某直线为对称轴，把不是轴对称图形通过对称变换补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过对称变换反射到另一侧，以实现条件相对集中。为此我们可先设法将图形补齐。对称变换一般有如下规律：图中有垂线、角平分线时，往往以垂线、角平分线为轴翻转180，得到等腰三角形或全等三角形。一般平移变换有如下规律：题设条件中有彼此平行的线段，或有造成平行的因素，又需将有关的线段与角相对集中时，可以采用平移变换，因为应用平移变换，可以在保持角的大小不变，角的方向不变的情况下移动位置，而使图中诸元素之间联系变得明显。证两个角相等，而这两个角所在的三角形又不可能全等，所以，通过平移变换把不在一个三角形中的两个角移到一个三角形中去，有中点，根据中位线的规律，遇中点配中点，连点添边中位线。另“遇到和差就截延”的规律。一般旋转变换的关键是选好旋转中心和旋转角，若旋转角是180时，是中心对称变换，它与我们学过的“中心对称”的概念有联系。一般遇等边三角形，常把旋转角度与等边三角形内角60一致，以达到目的。很自然想到，在正方形的条件下，我们对旋转角的选择一般应是90。6、面积与勾股定理：面积知识不但有很大的实用价值，而且有证明线段相等及求和差的一套独特方法（割补法、分割法）。在许许多多的竞赛中经常涉及到。勾股定理的代数形式成为初中几何与代数的一个重要结合点，使几何内容与二次方程、无理方程、数的开方与根式等内容融为一体，在诸多竞赛中常常涉及到。常常利用等底等高的两个三角形面积相等、平行线间的距离处处相等即高相等，共底则面积相等。梯形ABCD，AC、BD相交于O，则,这是证明等积的一个基本图形，望同学们牢记。 等积的另一个规律图形：如图，如果N为BD中点，DN=BN，则.。即7、三角形中的边角不等关系：证明三角形的边角不等关系主要应用的定理有：（1）在连结两点的所有线中，线段最短；（2）在同一三角形中，两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。（3）在同一三角形中，大边对大角；大角对大边。（4）在两个三角形中，如果有两组对应边相等，那么夹角大的所对应的第三边也大；第三边大的所对应的角也大。（5）三角形的任何一个外角大于和它不相邻的内角。在证明中，当项数比较多时，可以先寻求部分项之间的关系。当要证的几条线段不集中，想办法把它们移到一个三角形中，可以通过变换或全等把几条线段相对的集中。第四章 相似三角形1、成比例线段：线段的比和成比例线段这两个概念是比较抽象的，线段的比是指线段长度的比而且它是一个正实数，注意单位的统一。而成比例线段是指四条线段成比例。在比例线段问题中应用最广泛的不是平行线分线段成比例定理的本身而是它的推论。难点是在复杂的背景下分离基本图形，寻找公共的线段的比，有时还需要添加平行线，造出基本图形。在证比例线段中关键是平行线分线段成比例定理的推论中的两个基本图形。共边比定理：已知D是ABC内任一点，CD与AB交于M。则(以下三个图形此结论都成立) 梅涅劳斯定理：如图，延长PQ与BC延长线交于H，则ABC为梅氏三角形，PQH为梅氏线，则.又ABM为梅氏三角形，PNH为梅氏线。则 另下面的四个结论是竞赛中常常涉及到的，请记劳：如上右图，P为ABC内一点，过P作DE、FG、IH分别平行于AB、BC、CA。则：（1）;(2) ;(3) ;(4) .2、相似三角形：常用方法有：（1）凡是利用两角相等证相似的一般采用编号法，这样不容易遗漏和重复。（2）角平分线定理：如图：三角形ABC内角A的平分线AD，则：（3）要证两条线段相等，就看这两条线段含在哪两个三角形中，证全等，需添加辅助线，补齐图形等。3、点共线、线共点：要想证三点共线，即以中间位置的点与另两点分别连接，只要证所得的角为180，即三点共线，这是其一；其二还可以利用对顶角相等。如图，EF为直线，要证A、B、C共线只须证ABE=CBF即可。在竞赛时往往用到梅氏定理，用它的逆定理就可以三点共线。有不少竞赛题还可以用同一法，证重合也可。证三线共点，即设两条直线交于一点，然后再证第三条直线也过此点，有时也用三角形的重心、外心、内心等等。竞赛时还可以用赛瓦定理：如图，设O是ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则下面这个命题的结论要记住：三角形的外心、重心、垂心在同一直线上；该直线称为欧拉线。4、等积变换：涉及以下定理：（1）有一个角相等或互补的两个三角形的面积比等于夹这个角两边乘积之比。（2）有两个角相等的两个三角形的面积比等于相似比的平方。（3）等高的两个三角形的面积比等于对应底之比；（4）等底的两个三角形的面积比等于对应高之比。（5）共边比定理也是常常应用的。（6）通过平行转移比；5、与面积有关的不等关系：平面图形中的几何量，包括线段的长度、角的大小及图形的面积，每类几何量之间除了有相等关系之外，应该说在很多情况下呈现有不等关系，研究这些不等关系就构成了几何不等式的内容。一种图形中的几何量若存在某约束条件下它的值在一定范围内变化，很自然地会提出什么时候这个量取值最大（或最小）的问题。这类问题与几何不等式有着密切的联系。如图，已知凸四边形ABCD中，AC交BD于O，AOB的面积为,COD的面积为，凸四边形面积为A。则：第五章 与整数有关的问题1、带余除法：定理：对于整数a和b（b0），存在唯一的整数q和r，使得等式a=bq+r（0r成立，其中r是a被b除的余数，这个等式也叫余数公式。对余数r的限制是r和q唯一性的保证，若取消了0r的限制，则q和r就不唯一。应用上面定理，我们可以很方便地将整数划分成若干类，如奇数和偶数实际上就是将所有的整数按被2除时余数为1还是为0这个标准分类，余数为1就是奇数，余数为0就是偶数。一般地整数a按被b（b0）除时的余数可分成b类，这b类可分别用bk,bk+1,bk+2,bk+(b1)表示，其中k为整数。按照这个规律，我们完全可以根据问题的需要将整数划分为若干类，从而使问题条理化，这就是利用余数思想方法。2、同余：给定一个正整数m，把它叫做模。如果m去除任意两个整数a与b，所得的余数相同，我们就说a、b对模m同余，记作。如果余数不同，则称a、b对模m不同余，记作。可以看出，这里谈到的a、b、m均为整数，且m0。上面的同余的定义虽然直观、易懂，但在具体问题中不便运用和进行判断。实际应用中，使用同余的定义常为上述定义的一个等价形式，即：当且仅当时称a、b对模m同余，记作。这里表示ab能被m整除。因为某个整数被m除的余数只可能是0，1，m1中的一个，所以每一个整数恰好与0,1，m1中一数对模m同余。由此可对所有整数进行分类，每一类中的任一数都与0，1，m1中某一数对模m同余。同余的基本运算性质有：（1）；（2），则；（3）若，则；（4）若，则，（n为正整数）（5）若，则；（6）若，且（c，m）1，则。（7）若正整数k2，且，则。下面的结论常常用到，要记住：（1）任何完全平方数被4除得的余数是0或1；（2）任何奇数的平方被8除得的余数为1；3、和：对于任意实数x，我们用来表示不大于x的最大整数，称作取整数。符号【】叫取整符号，或者叫高斯记号。由于任何实数x都可以唯一地表示为x=n+a（n是整数，）的形式，则n=，a称为小数部分，用表示，因此ax。与的求值问题，一般是根据其定义，结合所学过的相关运算法则与技巧而进行。常用方法有：分母有理化法；拆添项法；放缩法；利用性质：（n为整数，x为实数）；（x不是整数）进行化简，然后再整体求值；当x为任意实数，n为正整数，则；，；如解方程：2x。解题关键：由于方程含有x、，它们是两个不同的未知数（虽有联系），要解它就必须设法化成同一未知数的关系，这可以利用x、关系的不等式：或，由此可得到以下两个基本解法。解法一：由方程知2x，而x应满足代入得x12xx解此不等式组得x。2或3。当2时，原方程化为2x2，x。当3时，原方程化为2x3，x。经验证知，原方程的解为x或x。解法二：x，而x满足，则。解此题不等式组得2或3。以下同解法一。这是解含方程得两个最基本解法，这两个基本解法也适合于其他类型得方程。4、简单的不定方程：若方程（组）中未知数的个数多于方程（组）的个数，则称此方程（组）为不定方程（组）。由于它所含的未知数的个数多于方程的个数，这个方程（组）的解常常有无穷多个，我们关心的则是这种方程（组）的整数解。解题常用方法有：用待定系数法，求一个表达氏的值。在求二次不定方程（m为整数）的整数解时，可写成（xy）(x+y)m，然后将m分解因数分情况讨论。在求分式不定方程时，我么把形如（n为正整数）的分数称为单位分数，那么每一个真分数都可以表示为若干个单位分数之和。若求不定方程的整数解时，可设，那么可以由不定方程：以及求解。第六章 解题方法1、反证法：反证法一般有下面三个步骤：（1）反设即假定待证的命题不成立，也就是肯定原结论的反面；（2）归谬把反设作为辅助条件添加到假设中去，然后从这些条件出发，通过一系列正确的逻辑推理，最终得出矛盾；（3）结论由所得的矛盾，说明原命题成立。有些命题其结论的反面可能由多种情况，则应将各种情况穷举出来，并将它们一一驳倒，这样才能断定原结论时正确的。会证下面的命题：是无理数。2、按同余造抽屉：抽屉原则1把m个元素分成n类（mn），不管怎么分，至少有一