用matlab研究定点投篮命中率问题.doc

Matlab课题用matlab研究定点投篮命中率问题组长：易冬泉 组员：陈福林组员：龚向鹏1、 先只考虑球心对框心的点对点的投篮，合理假设，建立适当的模型，用matlab解出出手速度和出手方向的范围2、 然后考虑球的大小和框的大小进行投篮，球入筐时可以偏离框心，在此基础上建立模型，用matlab解出出手速度、角度及其最大偏值3、 最后针对实际情况，考虑空气阻力，设阻力与速度成正比，比例系数不超过0.05，建立适当的物理模型，在用matlab解出出手速度和出手方向的范围问题的求解：模块1分析：不考虑篮球和篮筐的大小，不考虑空气阻力大小的影响，从未出手时的球心P为坐标原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向，篮球在t=0时以出手速度v和出手角度投出，可视为质点的斜抛运动，其运动方程为： 其中g是重力加速度，由此可得球心的运动轨迹如下抛物线以x=L，y=H-h代入式，就得到了球心命中框心的条件可以看出，给定出手速度v和出手高度h，就有两个满足条件，而式有解的前提为：可解得：于是对于一定的出手高度h，使式等号成立的v为最小的出手速度球入篮筐处的入射角度为，可从下式得到：这里的导数由式计算代入后得对应，有，设求解的代码见附录1表1 对于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度速度 高度 最大出手角1 最小出手角 对应入框角1 对应入框角28.0000 1.8000 62.4099 53.8763 42.7925 20.92138.0000 1.8500 62.7779 54.8876 41.8430 20.49158.0000 1.9000 63.1174 55.8206 40.9188 20.14318.0000 1.9500 63.4330 56.6865 40.0156 19.86498.0000 2.0000 63.7281 57.4941 39.1300 19.64788.0000 2.0500 64.0054 58.2505 38.2594 19.48478.0000 2.1000 64.2670 58.9615 37.4017 19.36988.5000 1.8000 67.6975 62.1726 37.5049 12.62508.5000 1.8500 67.8663 62.6922 36.7546 12.68708.5000 1.9000 68.0288 63.1884 36.0075 12.77538.5000 1.9500 68.1854 63.6632 35.2632 12.88828.5000 2.0000 68.3367 64.1179 34.5214 13.02408.5000 2.0500 68.4829 64.5541 33.7819 13.18118.5000 2.1000 68.6244 64.9729 33.0444 13.35839.0000 1.8000 71.0697 67.1426 34.1327 7.65509.0000 1.8500 71.1736 67.4756 33.4473 7.90359.0000 1.9000 71.2749 67.7974 32.7614 8.16639.0000 1.9500 71.3736 68.1086 32.0750 8.44289.0000 2.0000 71.4700 68.4098 31.3881 8.73219.0000 2.0500 71.5641 68.7014 30.7006 9.03389.0000 2.1000 71.6561 68.9840 30.0127 9.3472注：速度单位均为m/s，高度单位均为m，角度单位均为模块2分析：BADO 图2 图3考虑篮球和篮筐的大小，如图2，若入射角太小，则球无法入筐。由图不难看出，球心命中筐心的条件为 （8）将=24.6cm，=45.0cm 代入得。由此对表1进行筛选，可得下表：表2.1 对于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度速度v高度h出手角度入射角度8.00001.800062.409942.79258.00001.850062.777941.84308.00001.900063.117440.91888.00001.950063.433040.01568.00002.000063.728139.13008.00002.050064.267037.40178.00002.100064.267037.40178.50001.800067.697537.50498.50001.850067.866336.75468.50001.900068.028836.00758.50001.950068.185435.26328.50002.000068.482935.26328.50002.050068.482933.78199.00001.800071.069734.13279.00001.850071.173633.4473由图3看出，球入筐时球心可以偏前（偏后与偏前一样）的最大距离为 = （9） 在（2）式中，用代入，可得 （10）对求导并令，就有 （11）用近似代替左边导数，即可得到出手角度的偏差与的以下关系 （12）由和已经得到的也可以求得相对偏差。类似的，（10）式对求导并令，可得出手速度允许的最大偏差 （13）由（12）和（13）式的相对偏差为 （14）编程实现见附录2计算结果表2.2：出手角度和出手速度最大偏差出手速度v高度h出手角度a偏差aa偏差vv相对偏差|aa/a|相对偏差|vv/v|8.00001.800062.4099-0.76520.05280.00660.01231.850062.7779-0.74920.05480.00690.01191.900063.1174-0.73490.05670.00710.01161.950063.4330-0.72190.05850.00730.01142.000063.7281-0.71000.06010.00750.01112.050064.0054-0.69890.06160.00770.01092.100064.2670-0.68870.06300.00790.01078.50001.800067.6975-0.56030.06940.00820.00831.850067.8663-0.55520.07050.00830.00821.900068.0288-0.55030.07150.00840.00811.950068.1854-0.54560.07250.00850.00802.000068.3367-0.54110.07340.00860.00792.050068.4829-0.53670.07430.00870.00782.100068.6244-0.53240.07520.00880.00789.00001.800071.0697-0.45700.08030.00890.00641.850071.1736-0.45420.08110.00900.00641.900071.2749-0.45150.08180.00910.00631.950071.3736-0.44890.08250.00920.00632.000071.4700-0.44630.08320.00920.00622.050071.5641-0.44370.08390.00930.00622.100071.6561-0.44130.08450.00940.0062模块3分析：投球示意图如图分别为不考虑球和球框和考虑球和球框的大小的示意图 由于阻力与速度成正比，故有： 水平方向由牛顿第二定律有： 联立上面两式，有： 初始条件： 水平方向速度的初条件：综上（17）（19）式，即可建立二次微分方程，为解决这个方程，采用如下代码：syms x y v t theta kx =v*t*cos(theta) y=dsolve(m*D2x+k*Dx=0,x(0)=0,Dx(0)=v*cos(theta),t)y =v*cos(theta)/k-v*cos(theta)/k*exp(-k*t)简化为：simple(y)simplify:ans =(1-exp(-k*t)*m*v*cos(theta)/k即：对进行泰勒展开为：a=taylor(exp(-k*t),3)a =1-k*t+1/2*k2*t2将a代入(1-exp(-k*t)*v*cos(theta)/k得：(1-a)*v*cos(theta)/kans =(k*t-1/2*k2*t2)*v*cos(theta)/k扩展得到：expand(ans)ans =v*cos(theta)*t-1/2*v*cos(theta)*k*t2即水平位移为L，竖直位移为（H-h）；即有：求解程序见附录3 其结果为（结合了第二问）：表3 有无阻力时对应的出手角度比较速度v/m/s 高度h/m出手角度/无阻力时出手角度/88.50 91.800060.786962.40991.850061.218362.77791.900061.610063.11741.950061.969363.4330262.301763.72812.050062.611364.00542.100062.901264.26701.800066.571867.69751.850066.751667.86631.900066.924368.02881.950067.090468.1854267.250468.33672.050067.404868.48292.100067.554068.62441.800070.119771.06971.850070.227771.17361.900070.332871.27491.950070.435371.3736270.535271.47002.050070.632771.56412.100070.727971.6561结果分析：1、速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但随着速度的增加，高度对角度的影响变小，这种情形在1度左右；出手高度一定时，速度越大，出手角度也应越大，速度的影响在79度左右。（见表1）2、出手角度和出手速度的允许偏差 总的来看，允许偏差都比较小；进一步分析可知，出手高度一定，速度越大，角度的允许偏差越小，速度的允许偏差越大，且对角度的要求比对速度的要求严格，出手速度一定，高度越大，虽然也是高度的允许偏差越小，速度的允许偏差越大，但这时角度和速度的要求都相对较低（见表2.2）3、 考虑空气阻力的影响对同样的出手速度和高度，考虑阻力影响时出手角度要大一些，约12度（见表3）附录1、第一问代码：% 对于出手速度v=8.09.0m/s和出手高度h=1.82.1m,由(3)式% 计算出手角度a1,a2,由(7)式计算出入射角度b1,b2,结果见表1clear;clc;H=3.05;h=1.8:0.05:2.1;L=4.6;g=9.8;input(高度 出手角1 出手角2 入框角1 入框角2);% v=sqrt(g*(H-h+sqrt(L*L+(H-L)2);for v=8.0:0.5:9.0; for h=1.8:0.05:2.1; %求球在出手时球心的出射角 a=atan(v.2/(g*L).*(1+sqrt(1-2*g./v.2.*(H-h+g*L2./(2.*v.2); b=atan(v.2/(g*L).*(1-sqrt(1-2*g./v.2.*(H-h+g*L2./(2.*v.2); a11=max(a,b);a21=min(a,b); a1=180.*a11/pi;a2=180.*a21/pi; %求球入框时的入射角 b11=atan(tan(a11)-2.*(H-h)/L); b21=atan(tan(a21)-2.*(H-h)/L); b1=180.*b11/pi;b2=180.*b21/pi; R = v h a1 b1 a2 b2 endEnd2、 第二问代码：代码：% 求出手时最大偏移距离 %求出手时最大偏移角D=0.45;d=0.246;H=3.05;L=4.6;g=9.8;input(出手速度 高度 出手角度 偏差a 偏差v 相对偏差a 相对偏差v); for v=8.0:0.5:9 for h=1.8:0.05:2.1a1=atan(v.*v./(g.*L).*(1+sqrt(1-2.*g./(v.*v).*(H-h+g.*L.*L./(2.*v.*v); a=180.*a1/pi; b11=atan(tan(a1)-2.*(H-h)/L); b=180.*b11/pi; xx=D/2-d/sin(b11)/2;%xx为 aa1=(g*L-v.*v.*sin(a1).*cos(a1).*xx./L./(v.*v-g.*L.*tan(a1);%aa为 aa=aa1*180/pi; vv=(g.*L-v.*v.*sin(a1).*cos(a1).*xx.*v/(g*L2);%vv为