高中数学复习四十三讲上.doc

高中数学总复习高中数学总复习 第一讲集合的概念和运算第一讲集合的概念和运算 命题点命题点 1 1 集合的基本概念集合的基本概念 本类考题解答锦囊本类考题解答锦囊 解答 集合的基本概念 一类试题 最主要的是注意以下两点 1 掌握集中的基本 概念和表示方法 注意集合中元素的互异性 无序性和确定性 2 解题时要先化简集合 并弄清集合 中的元素是什么 具备什么性质 1 典型例题 设集合 M x x 4 1 2 k k Z N x x 2 1 4 k k Z 则 A M N B M N C M N D M N 命题目的与解题技巧 命题目的与解题技巧 本题主要考查集合的相等及集合之间的关系 解决本题的关键是理解奇偶数的概 念 整数的整除及运算性质 解析解析 Zk k xxNZk k xxM 4 2 4 12 当 k Z 时 2k 1 和 k 2 分别表示所有奇数和所有整数 故有 M N 选 B 答案答案 B 2 典型例题 满足条件 M 1 1 2 3 的集合 M 的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 答案 B 指导 指导 满足条件的有 1 2 3 2 3 3 典型例题 设 A B 为两个集合 下列四个命题 A BBxAx 有对任意 BAAB BAAB BxAxAB 使得存在其中真命 题的序号是 把符合要求的命题序号都填上 答案 指导 答案 指导 由真子集的定义知 只有 正确 4 典型例题 若非空集合 M N 则 a M 或 a N 是 a M N 的 A 充当非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 答案 答案 B 指导指导 注意到 M 或 N 也就是 M N 5 典型例题春 设 I 是全集 非空集合 P Q 满足 P Q I 若含 P Q 的一个集合运算表达式 使运算结 果为空集 则这个运算表达式可以是 只要写出一个表达式 答案 指导答案 指导 我们用文氏图来表示 则阴影部分为 显然 所求表达式是 如右图所示 1 2005 黑龙江 设全集 U 2 3a2 2a 3 A 2a 1 2 A 5 求实数 a 的值 命题目的与解题技巧命题目的与解题技巧 本题主要考查集合的补集及全集等概念 解决本题的关键是理解全集 补集的概 念 也要注意元素的互异性 解析解析 因为 A 5 故必有 a2 2a 3 5 且 2a 1 3 解得 a 2 答案答案 a 2 2 2005 石家庄 集合 M 1 2 3 4 5 的非空真子集个数是 A 29 B 30 C 31 D 32 答案 答案 B 指导指导 本题是考查子集的概念 由子集的定义 3 典型例题 设 A x x2 8x 15 0 B x ax 1 0 若 B A 求实数 a 的取值集合 答案 答案 A 3 5 指导指导 当 a 0 时 B 此时 BA 成立 当 a 0 时 1 aB 由 BA 得 a 1 3 或 a 1 5 即 3 1 a或 5 1 综合知的取值集合为 5 1 3 1 0 4 典型例题 集合 S 0 1 2 3 4 5 A 是 s 的一个子集 当 x A 时 若有 x l A x 1 A 则称 x 为 A 的一个 孤立元素 那么 S 中无孤立元素的四元子集的个数是 A 4 B 5 C 6 D 7 答案 答案 C 指导指导 由题意可知 一个集合中由相邻数字构成的元素都不是 孤立元素 例如 1 2 S 中无 孤立 元素 的 4 元子集可分两类 第一类是子集中的 T 个元素为相邻的四个数字 有 0 1 2 S 1 2 S 4 2 3 T 5 三 个 第二类是子集中的 T 个元素为两组 每一组的两个元素为相邻的两个数字 有 0 1 S T 0 1 4 5 1 2 T 5 三 个 一共有 6 个 5 典型例题 集合 A x Y y 2x B x y y 0 x R 之间的关系是 A A B B A B C A B D A B 答案 答案 A 指导指导 A 表示指数函数 y 2x的图象上的点集 B 表示 x 轴上方的点集 选 A 1 含有三个实数的集合可表示为 0 1 2 baa a b a 也可表示为 求 a 典型例题 005的值 答案 指导答案 指导 两个集合的元素完全相同 而 a 0 故必有 b 0 此时两个集合为 a 0 1 和 a2 a 0 所以有 a2 a 且 a2 1 所以 a 1 这时 a 典型例题 005 1 0 1 2 已知集合 A 0 2 3 B x x a b a b A 则集合 B 的真子集有 A 7 个 B 8 个 C 15 个 D 16 个 答案 答案 C 指导 指导 a b 而 A 0 2 3 B 0 4 6 9 其真子集数个数为 2r 1 15 3 已知集合 A 1 2 3 且 A 中至少含有一个奇数 则这样的集合 A 有 A 6 个 B 5 个 C 4 个 D 3 个 答案 答案 B 指导 指导 当 A 中含有一个奇数时有 1 1 2 3 3 2 四种 当 A 中含有两个奇数时有 1 3 1 2 3 两种 但 A 1 2 3 命题点命题点 2 2 集合的基本运算集合的基本运算 解题的一般方法是 1 先弄清集合中的元素是什么 是数 是点 而且弄清楚集合的几何意义 2 当集合有较明显的几何背景时 常利用数形结合的思想方法进行集合的运算 一般抽象集合问题往往 借助于文氏图求解 常集之间的运算常用数轴直观显示 点集可画出满足条件的点构成的图形 直线或圆 锥曲线或区域等 进行求解 3 因集合运算的题目多以选择题的形式出现在高考中 所给集合又常常是非具体的集合 因此特例法也 是解决这类问题的常用方法之一 1 典型例题 设全集是实数集 R M x 2 x 2 N x x l 则 M N 等于 A x x 2 B x 2 x 1 C x x 1 D x 2 x 命题目的与解题技巧命题目的与解题技巧 本题主要考查集合的基本运算 正确解决本题的关键是注意应用数形结合的思想 方法 在数轴上正确的表示相应的集合 并注意端点的取舍 解析解析 已知集合是数集 可利用数轴进行集合的运算 结合图形知答 案是 A 答案答案 A 2 典型例题 设 A B I 均为非空集合 且满足 A B I 则下列各式中错误的是 A A B I B A B I C A B D A B B 答案 答案 B 指导 指导 由于 A B I 画出文氏图 结合图形知只有 B 是错的 3 典型例题 已知集合 M 0 1 2 N x x 2a a M 则集合 M N 等于 A 0 B 0 1 C 1 2 D 0 2 答案 答案 D 指导 指导 由题意 N 0 2 4 所以 M N 0 2 4 典型例题 设集合 M x y x2 y2 1 x R y R N x y x2 y 0 x R y R 则集合 M N 中元素的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 答案 B 指导 指导 如右图 集合 M N 有较明显的几何背景 故可画出对应的图形 用数形结合的方 法求解 集合 表示的图形是圆 x2 y2 1 集合 M 表示的图形是抛物线 x2 y 0 如右图 圆和抛 物线有两个公共点 所以 M N 中元 素的个数为 2 5 典型例题 设集合 A 5 log2 a 3 集合 B a b 若 A B 2 则 A B 答案 指导 答案 指导 由题意 log2 a 3 2 所以 a 1 所以 b 2 故集合 A 5 2 集合 B 1 2 则 A B l 2 5 6 典型例题 设集合 P 1 2 3 4 5 6 Q x R 2 x 6 那么下列结论正解的是 A P Q P B P Q Q C P Q Q D P QP 答案 答案 D 指导 指导 由题意 P Q 2 3 4 5 6 P Q x 2 x 6 或 x 1 7 典型例题 设 A x x 15 k k N B x x 6 x Q 则 A B 等于 A l 4 B 1 6 C 4 6 D 1 4 6 答案 答案 D 指导 指导 由于 B 中元素是不大于 6 的有理数 易得 4 B 1 4 6 1 已知 A x y x x R B y y x2 x R 则 A B 等于 A x x R B y y 0 C 0 0 1 1 D 命题目的与解题技巧 命题目的与解题技巧 本题主要考查集合的基本运算 正确解决本题的关键是首先弄清集合中的元素是 什么 还应注意应用数形结合的思想方法 在数轴上正确的表示出相应的集合 并注意端点的取舍 解析解析 A x x R B y y 0 已知集合是数集 可利用数轴进行集合的运算 易得 A B y y 0 故选 B 答案答案 B 2 2005 淄博 设集合 I a b c d e M c d e N a b e 那么集合 a b 可以表示为 A M N B M N C M N D M N 答案 答案 B 指导 指导 画出文氏图如下 易得 a b M N 3 2005 宣武质检 已知全集 U R 集合 A x 1 B x 1 x 0 则 A B A x x1 B x x 1 或 x 0 C x x 1 或 x 0 D x x0 答案 答案 C 指导 指导 B x x 1 或 x 0 选 C 4 典型例题 黄冈 已知集合 P x y x y 1 Q x y x2 y2 1 则 A P Q B P Q C P Q D P Q Q 答案 指导 答案 指导 分四类讨论化简方程 x y 1 得点集户表示的图形如左下图中的正 方形 而点集 Q 表示单位圆面如下右图 P 是 Q 的的真子集 1 定义 A B x x A 且 x B 若 A 2 4 6 8 10 B A 4 48 8 则 A B 等于 B 1 2 6 10 C 1 D 2 6 10 答案 答案 D 指导 指导 A B x x A 且 x B 2 6 10 2 如图所示 u 是全集 M P S 是 U 的三个子集 则阴影部分所表示的 集合是 A M P S B M P S C M P S D M P S 答案 答案 C 指导 指导 由图知 阴影部分表示的集合是 M P 与 S 的补集的交集 命题点命题点 3 3 集合与不等式集合与不等式 解答 集合与不等式 一类测题 主要注意以下几点 1 能化筒的集合先化简 以便使问题进一步明朗化 掌握不等式的解法 如串根法 零点分区间法 平方法 转化法等 2 在进行集合的运算时 不等式解集端点的合理取舍是难点之一 可以采用验证的方法进行取舍 3 合理运用数形结合思想 是解决此类问题的关键之一 弄清集合中的元素是什么 然后分别用文氏图 数 轴或坐标平面表示出相应集合 4 要注意检验和分类讨论 分类的关键在于确定分类标准 使所分的各类不重复不遗漏 1 典型例题 记函数 f x 1 3 2 x x 的定义域为 A g x lg x a 1 2a X a 1 的定义域为 B 1 求 A 2 若 B A 求实数 a 的取值范围 命题目的与解题技巧命题目的与解题技巧 本题主要考察函数定义域的求法 分式不等式与含参数的整式不等式的解法 集 合之间的包含关系 解决本题的关键在于含参数不等式的正确求解 合理运用数轴来表示集合是解决这 类问题的重要技巧 解答解答 1 0 1 1 0 1 3 2 x x x x 得 x0 得 x a 1 x 2a 0 a2a B 2a a 1 B A 2a l 或 a 1 1 即 a 2 1 或 a 2 而 a 1 2 1 a 1 或 a 2 故当 B A 时 实数 a 的取 值范围是 2 2 1 1 2 典型例题 已知集合 M x x2 4 N x x2 2x 3 0 则集合 M N 等于 A x x3 C x 1 x 2 D x 2 x 3 答案 答案 C 指导 指导 化简集合 M 和 N M x 2 x 2 N x 1 x 3 利用数轴求交集 M N x 1 x 2 3 典型例题 设集合 P m 1 m o Q m R mx2 4mx 4 0 对任意实数 x 恒成立 则下列关系中成立的是 A P Q B Q P C P Q D P Q 答案 答案 A 指导 指导 由题意 P m 1 m 0 Q m 10 a R 2 记 A 为 1 中不等式的解集 集合 B x sin 0 3 cos 3 3 xx 若 A B 恰有 3 个元素 求 a 的取值范围 答案 答案 1 由 x 1 a 1 0 x 1 1 a 当 a 1 时 解集是 R 当 a 1 时 解集是 x x2 a 2 当 a 1 时 不符合题意 当 a 1 时 A x a x 2 a 因 sin cos 3 3S xx sin2 cos 3 3 sin 2 x S xx 由 sinx 0 得 k Z 即 B k Z 所以 B z 当 A B 恰有 S 个元素时 a 就满足 0 1 01 322 1 a a a a 解得 1 典型例题海淀 已知关于 x 的不等式 ax ax 2 5 0 的解集为 M 1 当 a 4 时 求集合 M 2 若 3 M 且 5 M 求实数 a 的取值范围 命题目的与解题技巧命题目的与解题技巧 本题主要考查分式不等式的解法以及元素与集合的关系 解决此题的关键是准确 的利用串根法求得不等式的解集 准确把条件 3 M 且 5 M 转化为关于 的不等式组 解答解答 1 当 a 4 时 原不等式可化为 4 54 2 x x 0 解得 x 2 或 x 2 故 M 2 4 5 2 2 由 3 M 得 a a 2 3 53 0 由 5 a a M 2 5 55 得 0 解之得 a 1 4 5 9 25 2 典型例题 两个集合 A 与 B 之差记作 A B 定义为 A B x x A 且 x B 如果集合 A x log2x 1 x R 集合 B x x 2 1 x R 那么 A B A x x 1 B x x 3 C x 1 x 2 D x 0 x 1 答案 答案 D 指导 指导 A x 0 x 2 x R B x 1 x 3 x R A B x 0 x 1 x R 3 典型例题 已知集合 M a 0 N x 2x2 5x 0 x Z 若 M N 则 a 等于 A 1 B 2 C l 或 2 D 1 或 2 5 答案 答案 C 指导 指导 N x 0 x Z 1 2 因 M N 所以有 a 1 或 2 4 2005 浙江 已知全集 U R 集合 M x x 1 N x 2 1 x x 0 则 M N 等于 A x x 2 B x x 2 C x 1 x 2 D x 1 x2 则 u M N x x 2 5 2005 天津 已知集合 A x 2k 6 x k2 3 B x k x k A 0 0 3 62 0 3 62 22 k kk kk k kk kkk 或 2 131 2 131 3 0 2 131 2 131 3 k k k k k 或 0 k 2 131 或 0 k 2 131 k 0 k 2 131 1 设集合 A x x 2 x 5 0 B x a 1 x 2a 1 若 B A 则实数 a 的取值范围是 答案 指导 答案 指导 A x 2 x 5 因 B A 所以 512 21 a a 得 3 a 3 2 已知集合 M x x 1 1 Z 为整数集 则 M Z A 1 2 B 0 l 2 C D 1 0 答案 答案 B 指导 指导 M x 10 x 2 所以 M Z 0 1 2 3 设集合 A x x2 a 0 B x 2 若 A B A 则实数 a 的取值范围是 A a 4 B a 4 C 0 a 4 D 0 a0 时 若 a B 则 a 4 选 B 命题点命题点 4 4 集合与函数和方程集合与函数和方程 解答 集合与函数和方程 一类试题 注意以下几点 1 解决集合与方程 函数的综合问题时 要注意灵活运用集合的相关知识 掌握函数值域 定义域的求 法信方程的解法 2 要充分利用数形结合的思想方法 3 要弄清集合中元素是什么 4 对于含参数的方程问题 一般需要对参数进行讨论 要特别注意检验集合的元素是否满足 三性 还要提防 空集 这一隐性陷阱 1 典型例题 设函数 f x 1x x x R 区间 M a b a0 时 f x 0 x 0 时 f 0 0 x0 当 x 0 时 f x 的定义域 M 与值域 N 不可能 相等 而 x 0 时 定义域为 0 不存在 a b 且 a b 使得 a b 中仅含 0 元素 故选 A 方法二 由 f x 1 xf x x 知 f x 为奇函数 过原点 同时易证 f x 在 x R 上单调递减 故 f x 与 y x y x 仅有原点一个交点 而一个函数 f x 若想定义域与值域相等 则 f x 与 y x 或 y x 应有两 个交点 故本题中不存在 a b 使得 M N 选 A 答案答案 A 2 典型例题 若集合 M y y 2 x 集合 P y y 1 x 则 M P A y l B y y 1 C y y 0 D y y O 答案 答案 C 指导 指导 M y y 0 P y y 0 则 M P y y 0 故选 C 3 典型例题 理 函数 f x Mxx Pxx 其中 P M 为实数集 R 的两个非空子集 又规定 f P y y f x x P f M y y f x x M 给出下列四个判断 若 P M 则 f P f M 若 P M 则 f P f M 若 P M R 则 f P f M R 若 P M R 则 f P f M R 其中正确判断有 A 1 个 B 2 个 C3 个 D 4 个 答案 答案 B 指导 指导 由题意知函数 f P f M 的图象如下图所示 设 P x2 M x1 x2 x1 f P f x2 f M f x1 P M 而 f P f M f x1 同理可知 正确 故 错误 同理可知 正确 设 P x1 M x2 x2 x1 则 P M R f P f x1 f M f x2 f P f M f x2 R 故 错误 同理可知 正确 4 典型例题 记函数 f x 1 3 2 x x 的定义域为 A g x lg x a 1 2a X a0 得 x a 1 x 2a 0 a 2a B 2a a 1 B A 2a 1 或 a 1 1 即 a 2 1 或 a 2 而 a0 y y 3 xlx 1 或 x0 及 xlx2 1 0 知 方程 至少有一个根在区间 0 2 内 满足要求 当 m 3 时 由 x1 x2 m 1 0 知 方程 有两种负根 不符合要求 综上 m 的取值范围是 m 1 1 考场热身考场热身 1 已知集合 M x x m 6 1 m Z N x x 3 1 2 n n Z P x x 6 1 2 p p z 则 M N P 满足关系 A M N P B M N P C M N P D N P M 答案 答案 B 指导 指导 对于集合 M 6 1 1 6 6 16 NZn nn xx对于集合 6 13 PZp p xx对于集合 Zp p xx 6 13 由于 3 n 1 1 和 S 都表示被除余 1 的数 而 6m 1 表示被 6 除余 1 的数 故 MN 2 设集合 P 3 4 5 Q 4 5 6 7 定义 P Q a b a P b Q 则 P Q 中元素的个数为 A 3 B 7 C 10 D 12 答案 答案 D 指导 指导 P Q 的元素有 S 4 12 故选 D 3 已知集合 A x y x2 mx y 2 0 和 B x y x y 1 0 0 x 2 如果 A B 求实数 m 的取 值范围 答案 答案 由 0 1 1 20 01 02 2 2 xmxy xyx ymxx 得消去 A B 方程 在区间 0 2 上至少有一个实数解 由 0 得 m 1 或 m 3 当 m 1 时 由 x1 x2 m 1 0 及 xlx2 1 0 知 方程 至少有一个根在区间 0 2 内 满足要求 当 m 3 时 由 x1 x2 m 1 0 及 xix2 1 0 知 方程 有两负根 不符合要求 综上 m 的取值范围是 m 1 4 已知 P x y x 2 2 y 3 2 4 Q x y x 1 2 y m 2 4 1 且 P Q Q 求 m 的取值范围 答案 答案 根据题意知 点集 P 表示以 O1 2 3 为圆心 以 2 为半径的圆面 包含边界圆 点集 Q 表示以 O2 1 m 为圆心 以 2 1 为半径的圆面 不包含边界圆 为使 P Q Q 应使圆 O2内含或切于圆 O1 故有 O1O2 2 r1 r2 2 即 l 2 2 m 3 2 2 2 1 2 解得 2 5 2 5 SmS 5 已知集合 M x xy lg xy N 0 x y 并且 M N 求 x y 1 x2 2 1 y x3 3 1 y x 典型例题 的 值 答案 答案 因为 x xy lg xy 0 x y 所以 lg xy 0 因为当 x y 之一为 0 时 lg xy 无意义 即 xy 1 时 再由集合 N 和 x 1 或 y 1 当 y 1 时 由 xy 1 得 x 1 根据元素的互异性知 y 1 不可 能 当 x 1 时 同理 由元素的互异性可知 x 1 不可能 故只能取 x 1 由 xy 1 得 y 1 由 x 1 y 1 知 x2n y2n x2n 1 y2n 1 n N 所以 1 1 2 1 1 2004 2004 3 3 2 2 y x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1 1 0 6 已知 R 为全集 A x 2 1 log 3 x 2 B x 2 5 x 1 求 A B 答案答案 由已知 log 2 1 3 x log 2 14 y log 2 1x 为减函数 S x 40 31 0 4 x xS xS 即 A x 2 x 3 又由 2 5 x 1 得 B x 2 x 3 AA B x 2 x0 x R 则 A B 的元素个数为 个 答案 答案 由已知集合 A 得 lgx2 lg 8x 15 x2 8x 15 0 解得 x1 3 x2 5 A x x1 3 x2 5 又由集合 B 得 cos 2 x 0 2k 2 x 2 x 2k 2 x k Z Z 4k x 4k B x 4k k Z 1 当 k 0 时 x A B x x 3 2 当 k 1 时 3 x 5 A B 3 当 k 1 时 5 x x x D 的充要条件是 y f 1 x 满足 答案 答案 f 1 0 a 且 f 1 x x 说明在定义域 D 内 函数 y f x 的图象在直线 y x 的上方 而 y f x 的反函数 y f 1 x 与 y f x 的图象关于直线 y x 对称 因此 从代数角度回答有 y f l 0 a 且 y f 1 x 1 是 a b 1 的充分而不必要条件 命题 q 函数 y 2 1 x的 定义域是 1 3 则 A P 或 q 为假 B p 且 q 为真 C p 真 q 假 D p 假 q 真 答案 答案 D 指导 指导 a b a b a b 1 是 a b 1 的必要而不充分条件 即 p 假 由 x 1 2 0 得 x 1 或 x 3 即 q 真 选 D 题点经典类型题题点经典类型题 1 2005 合肥 给出命题 p 3 3 命题 q 函数 f x 1 1 x 0 x0 则关于 x 的方程 x2 x m 0 有实根 下面结论中正确的是 A 原命题和逆否命题都是真命题 B 原命题和逆否命题都是假命题 C 原命题是真命题 逆否命题是假命题 D 原命题是假命题 逆否命题是假命题 答案 答案 A 指导 指导 对于方程 x2 x m 0 的 4m 1 当 m 0 时 0 方程有实根 即原命题是真命题 而逆否命题与原命题是等价命题 故选 A 新高考命题探究新高考命题探究 1 已知命题 p 不等式 x x 1 m 的解集为 R 命题 q 函数 f x 5 2m x是减函数 若 p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 则实数 m 的取值是 答案 答案 1 2 指导 指导 不等式 x x 1 m 的解集为 R 则 m 1 函数 f x 5 2m x是减函数 则 m 2 又 由 p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 则实数 m 的取值 1 m 2 2 已知函数 f x x2 a 1 x 1g a 2 a R 且 a 2 1 若 f x 能表示成一个奇函数 g x 和一个偶函数 h x 的和 求 g x 和 h x 的解析式 2 命题 P 函数 f x 在区间 a 1 2 上是增函数 命题 Q 函数 g x 是减函数 如果命题 p 0 有 且仅有一个是真命题 求 a 的取值范围 3 在 2 的条件下 比较 f 2 与 3 lg2 的大小 答案 答案 1 y f x g x h x g x g x h x h x f x g x h x 2 lg 1 2 lg 1 2 2 axaxxhxg axaxxhxg 解得 g x a 1 x h x x2 lg a 2 2 函数 y f x 2 lg 4 1 2 1 2 1 2 22 a aaa x在区间 a 2 2 上是增函数 a 1 2 2 1 a 解得 a 1 或 a 2 3 且 a 2 又由函数 g x a 1 x 是减函数 得 a 0 a 1 且 a 2 命题 Q 为真的条件是 a 2 3 3 由题意得 f 2 2a lg a 2 6 又 a 2 3 f 2 2a lg a 2 2 6 设函数 v a 2a 18 a 2 6 v a 2 010ln 1 1 a 函数 v a 在区间 2 3 上为增函数 又 v 2 3 3 lg2 当 a 2 3 时 v a 2 3 即 f 2 3 lg2 命题点命题点 2 2 充要条件充要条件 本类考题解答锦囊本类考题解答锦囊 解答 充要条件 类试题主要掌握以下几点 1 判断充要条件要从两方面考虑 一是 解这类问题必须明确哪个是条件 哪个是结论 二是再看是由 条件推出吉论 还是由结论推出条件 应用充分不必要 必要不充分 充要条件的定义加以征明 2 判断充分条件 必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件 最根本的方法是根据定义 运用 号 若 p q 且 p q 则 p 是 q 的充分不必要条件 若 p q 且 p q 则 p 是 q 的必要不充分条件 若 p q 则 p 是 q 的充要条件 1 典型例题 设 a1 b1 c1 a2 b2 c2均为非零实数 不等式 a1x2 b1x c1 0 和 a2x2 b2x c2 0 的解集分别 出心裁为集合 M 和 N 那么 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 是 M N 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 命题目的与解题技巧命题目的与解题技巧 本题主要考察二次不等式的基本知识和充要条件的判定 二次不等式是高考中的 热点问题 解决本题的关键是熟练掌握二次不等式的解法及二次不等式恒成立的问题 熟悉充要条件的 判定和方法规律 解析解析 如果 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 0 则 M N 如果 2 1 2 1 2 1 c c b b a a B q BC AC 2 对于实数 x y p x y 8 q x 2 或 y 6 3 在 ABC 中 p sinA sinB q tanA tanB 4 已知 x y R p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 一 2 0 命题目的与解题技巧 命题目的与解题技巧 本题主要考查条件的判定 关键是分清条件和结论 条件 结论的充分性 结论 条件的必要性 解析解析 1 在 ABC 中 显然有 A B BC AC p 是 q 的充要条件 2 逆否命题 x 2 且 y 6 x y 8 p 是 q 的充分不必要条件 3 取 A 120 B 30 p q 又取 A 30 B 120 q p p 是 q 的既不充分又不必要条件 4 p 1 2 q x y x 1 或 y 2 pq p 是 q 的充分不必要条件 答案答案 略 2 典型例题 一元二次方程 ax2 2x 1 0 a 0 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 答案 答案 C 指导 指导 方程 ax2 2x 1 0 a 0 有一个正根和一个负根的充要条件为 x1x2 a 1 0 且 a 1 的图象必过定点 1 1 命题 q 如果函数 y f x 3 的图象关于原点对称 那么函数 y f x 的图象关于 3 0 点对称 则 A p 且 q 为真 B p 或 q 为假 C p 真 q 假 D P 假 q 真 答案 答案 C 指导 指导 显然 p 为真命题 由命题 q 得 y f x 的图象关于 3 0 点对称 选 C 5 典型例题 设 x y R 求证 x y x y 成立的充要条件是 xy O 答案 答案 充分性是证 xy 0 x y x y 必要性是证 x y x y xy 0 先证充分性 如果 xy 0 那么 x 0 y 0 y 0 x 0 x 0 y 0 于是 x y x y 如果 xy 0 即 x 0 y 0 或 x 0 y0 y 0 时 x y x y 当 x 0 y 0 时 有 x y x y x y x y 总之 当 xy 0 时 有 x y x y 再证必要性 由 x y x y 及 x y R 得 x y 2 x y 2 即 x2 2xyy2 x2 2 xy y2 即 xy xy xy 0 1 命题甲 2 1 x 21 x 2x2 成等比数列 命题乙 lgx lg x 1 lg x 3 成等差数列 则甲是乙的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 答案 答案 B 指导 指导 甲乙而乙甲 故甲是乙的必要非充分条件 2 0 x 5 是不等式 X 2 4 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 答案 A 指导 指导 设 A x 0 x 5 B x x 2 4 x 2 x 6 AB 故 A 中的元素一定是 B 中元素 而 B 中的元素不一定是 A 中的元素 选 A 3 已知 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 是各项大于零的数列 命 题 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 不是等比数列 命题 a1 a80 q 0 al a8 a4 a5 故命题 1 已知直线 m n 和平面 则 m n 的一个必要条件是 A m n B m n C m n D m n 与 成等角 答案 答案 D 指导 指导 由 m n 可得 m n 与 成等角 由 m n 与 成等角不能得 m n 选 D 2 已知 a R b R 则 a2 b2 0 是函数 f x x x a b 为奇函数的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 答案 C 指导 指导 若 a2 b2 0 即 a b 0 时 f x x x 0 0 x x f x a2 b2 0 是 f x 为奇函数的充分条件 又若 f x 为奇函数即 f x x x a b x x a b 则必有 a b 0 即 a2 b2 0 a2 b2 0 是 f x 为奇函数的必要条件 3 在 ABC 中 条件甲 Acos2B 则甲是乙的 A 充分但非必要条件 B 必要但非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 答案 答案 C 指导指导 设 a b c 分别为 ABC 中 A B C 的对边 则由正弦定理 C Cb A a sinsinsin 2R coscossin1sin1sinsinsinsinsin2sin2 222222 BABABABABRARbaBA 选 C 4 已知三个不等式 ab 0 bc ad 0 b d a c 0 其中 a b c d 均为实数 用其中两个不等式作为条件 余下的一个不等式作为结论组成一个命题 可组成的正确命题的个数是 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案 答案 D 指导 指导 b d a c adbc ab ab 0 0 0 1 0 是真命题 0 ad bc0 b d a c 是真命题 0000 ad adbc ad ad adbc b d a c 是真命题 5 已知函数 f x 2x2 mx n 求证 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 1 答案 答案 证明 假设原命题不成立 即 f 1 f 2 f 3 都小于 1 则 131981 1281 21 3 1 1 2 1 1 nm nm nm f f f 得 11 2m n 9 与 9 2m n0 M x x0 所以 f P f M R 不正确 若 P M R 设 x0且 x0M 则 x0f P 且 x0f M 如果 f P f M R 则 x0 M 且 x0 f P 即 x0 M 且 x0 P 由函数的概念知 x0 0 而当 0P M 时 必有 0f P f M 正确 3 典型例题 已知函数 f x x x 1 1 lg 若 f a b 则 f a 等于 A b B b C b 1 D b 1 答案 答案 B 指导 指导 f x 1 1 xf x x 函数 f x 是奇函数 f a f a b 4 典型例题 判断下列各组函数是否表示同一个函数 A y 1 1 2 x x 与 y x 1 B y lgx 与 y 2 lg 2 1 x C y 2 x 1 与 y x 1 D y x 与 y logaax a 0 且 a 1 答案 答案 D 指导 指导 选项 A 表示不同函数 因为定义域不同 选项 B 的两函数的定义域不同 分别为 0 和 0 0 所以两函数不是相同函数 选项 C 因为 y 0 1 0 1 1 2 xx xx x它与 y x 1 的 对应法则不相同 所以两函数不是相同函数 选项 D 表示相同的函数 题点经典类型题题点经典类型题 1 典型例题十校 设函数 f x 的定义域为 R 且满足条件 f 4 1 对于任意 x1 x2 R 有 f x1 x2 f x1 f x2 当 x1 x2时 有 f x1 f x2 1 求 f l 的值 2 如果 f 3x 1 f 2x 6 3 求 x 的取值范围 命题目的与解题技巧 命题目的与解题技巧 本题考查 对应法则 F 和函数定义域等等知识的理解 解决此题的关键一是注意 定义域 二是将抽象函数解析式转化为不含 F 的形式 解析解析 1 0 2 3x2 时有 f x1 f x2 64 62 13 062 013 xx x x 答案答案 I f 1 0 3 2x 0 sgnx 的解集是 答案 答案 12 1 2 0 1 2 0 122 0 3 4 333 0 x x x x xx x xx或原不等式指导 5 2005 江西 由关于 x 的恒等式 x4 a1x3 a2x2 a3x a4 x 1 4 b1 x 1 3 b2 x 1 2 b3 x 1 b4 定义 映 射 f a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 则 f 4 3 2 1 等于 A 10 B 7 C 1 D 0 答案 答案 D 指导指导 由题知 a1 4 a2 2 a3 2 a4 1 则 x4 4x3 3x2 2x 1 x 1 4 b1 x 1 3 x1 x 1 2 b3 x 1 b4 取 x 0 得 1 1r b1 b2 b3 b4 即 b1 b2 b3 b4 0 6 2005 东城 设映射 f x x 2x 是实数集 M 到实数集 N 的映射 若对于实数 P N 在 M 中不存在原象 则 P 的取值范围是 A 1 n 1 C 1 D 1 答案 答案 A 指导 指导 由题意知要使存在对应的原象 则方程 x2 2x p 有根 若不存在 方程 x2 2x p 0 无实数根 即 4 4p 0 得 p3 时 关于 x 的方程 f x f a 有三个实 数解 命题目的与解题技巧命题目的与解题技巧 本题主要考查二次函数 反比例函数和直线和曲线的交点等基础知识 解决本题 的关键是熟练运用待定系数法 及函数与方程思想的运用 解析解析 1 由题意设 f1 x ax2 f1 1 1 a 1 故 f1 x x2 又设 f2 x x k 因其与 y x 有两个交点 故 k 0 且两交点坐标为 A k k B k k 由 AB 8 得 k 8 故 f2 x x 8 f x x2 x 8 2 证明 由 f x f a 得 2 8 88 22 x axax a a x x 即 0 由 x a o 得 x1 a 方程 x a ax 8 0 化为 ax2 a2x 8 0 由 a 3 得 a4 32a 0 故此方程有两个不等实数根 设为 x2 x3 x2 x3 a 8 0 x2 x3为一正一负 不妨设 x20 又 ax 2 1 a2x1 8 a3 a3 8 0 x1 x3故当 a 3 时原方程有三个 实数解 答案答案 1 f x X2 x 8 2 见解析 2 典型例题 函数 y lg 1 x 1 的定义域是 A x x1 C x 0 x 1 D x xl 答案 答案 D 指导 指导 0 0 1 0 1 1 x xx 或 x 1 故选 D 3 典型例题 已知 2 2 1 1 1 1 x x x x f 则 f x 的解析式可取为 A 2 1x x B 2 1 2 x x C 2 1 2 x x D 2 1x x 答案 答案 C 指导 指导 优解 排除法 由 2 2 1 1 1 1 x x x x f 知 f 1 1 经验证只有 C 正确 通解 直接法 令 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 2 2 C x x xf t t t t t t tf x t xt x x 故选则则 4 典型例题蒙 琼 陕 藏 函数 log 12 2 1 xy 的定义域是 A 2 1 1 2 B 2 1 1 2 C 2 1 1 2 D 2 1 1 2 答案 答案 A 指导 指导 2112 2 11100 1 log 222 2 1 xxxxx或 5 典型例题 已知函数 f x 2 2 1x x 那么 f 1 f 2 f 2 1 f 3 f 3 1 f 4 f 4 1 答案 答案 2 7 指导 指导 因为 2 7 111 2 1 4 1 4 3 1 3 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 22 2 fffffff x fxf x x f x x xf 题点经典类型题题点经典类型题 1 典型例题市 已知 f t 的定义域是 t 2x 1 x 1 的值域 求 f 1og2x 的定义域 命题目的与解题技巧 命题目的与解题技巧 本题主要考查函数的定义域的求法 解决本题的关键是将复合函数括号内的式子 看成 x 再通过解不等式即得所求 若已知复合函数的定义域 求原函数定义域 则根据 x 的范围确定复 合函数中间变量的范围即可 解析解析 由 1 x 1 2 1 t 2f x 的定义域为 2 1 2 于是 f 1og2x 的定义域由不等式 2 1 1og2x 2 确定 解之得2 x 4 故 f 1og2x 的定义域为 2 4 答案答案 2 4 2 典型例题 设函数 f x 的定义域为 D 如果对于任意的 x D 存在惟一的 x1 D 使 2 21 xfxf C C 为常数 成立 则称函数 y f x 在 D 上的均值为 C 给出下列四个函数 y x3 y 4sinx y lgx y 2x 则满足在其定义域上均值为 2 的所有函数是 A B C D 答案 答案 D 指导 指导 由定义可知 xl R 时 2 2 21 xfxf 则4 3 2 3 1 xx 33 12 4xx 唯一存在 则 y x3符合定义 y 4sinx 定义域为 R x1 R 时 2 2 21 xfxf 即 4sinx1 4sinx2 4 sinx2 1 sinx1 而 x2不是唯一的 故 y 4sinx 不符合定义 y lgx 定义域为 R x1 R 1gx2 lgx1 4 x2唯一存在 y lgx 符合定义 y 2x 定义域为 R 取 x1 2 则0 2 2 22 2 21 x xx x 不存在 x2 y 2x不符合定义 综上知 D 正确 3 典型例题 已知函数 y lg a2 1 x2 a 1 1 的定义域为 R 求实数 a 的取值范围 答案 答案 由对数的定义及题设条件 a2 1 x2 a 1 x 1 0 对 x R 恒成立 当 a2 1 0 时 应有 3 5 1 0 1 4 1 0 1 22 2 aa aa a 或解之 当 a2 1 0 时 若 a 1 不等式 不是绝对不等式 若 a 1 则不等式 为 1 0 为绝对不等式 符合题意的 a 的集合为 1 4 典型例题 已知函数 f x 的图象过点 0 1 且与函数 g x 1 2 2 x a 1 的图象关于直经 y x 1 成轴对 称图形 1 求函数 f x 的解析式及定义域 2 若三个正数 m n l 依次成等比数例 证明 f m f t 2f n 答案 答案 1 设 P x y 是 f x y 图象上任一点 点 P 关于直线 y x 1 的对称为 Q a b 则 1 1 22 1 xb ya axby ay by 解得 即 Q y 1 x 1 又 Q 点在12 1 2 a x 的图象上 故 x 121 1 1 2 1 a y 由此得 f x 2log2 x a 1 又 f 0 l 可得 a 1 f x 2log2 x 1 1 定义域为 x x 1 由 1 要证明 f m f t 2f n 即证 log2 m 1 log2 t 1 2log2 n 1 只要证 log2 m 1 t 1 log2 n 1 2 函数 y log2x 在 0 上是增函数 只要证 log2 m 1 t 1 n 1 2 由已知有 n2 mt 故只要证 m t 2n 而 m t 2nnmt22 2 是成立 的 原不等式得证 5 2005 河南 函数 f x xx xx 2 2 的定义域是 A 1 2 B 1 0 0 2 C 1 0 D 0 2 答案 答案 C 指导 指导 定义域 0 1 0 21 0 02 2 x x x xx xx 即即 新高考命题探究新高考命题探究 1 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数 且为周期函数 若它的最小正周期为 T 则 f 2 T 等于 A 0 B 2 T C T D 2 T 答案 答案 A 指导 指导 根据周期性 又根 2 2 2 T fT T f T f 据奇函数性质 0 2 0 2 2 2 2 2 T f T f T f T f T f T f则故选 A 2 设函数 f x 2 1 且有 1 3 x f x 1 x 2 其中 x N 则函数 x 的解析式为 A x 2x 1 x N B x 2x 1 1 x N C x 2x 1 2 N D x 2x 1 l x N 答案 答案 B 指导 指导 x f x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 x 1 是以 T 为首项 公比为 2 的等比数列 x 1 4 2x 1 x 2x 1 1 3 已知函数 f x log3 x2 2mx 2m2 3 9 2 m 的定义域为 R 1 求实数 m 的取值集合 M 2 求证 对 m M 所确定的所有函数