2017_18学年高中数学第二章2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案含解析.docx

24.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角提出问题已知两个向量a(x1，y1)，b(x2，y2)问题1：若i，j是两个互相垂直且分别与x轴，y轴的正半轴同向的向量，则a，b如何用i，j表示？提示：ax1iy1j，bx2iy2j.问题2：|a|，|b|分别用坐标怎样表示？提示：|a| ；|b| .问题3：能用a，b的坐标表示ab吗？提示：ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2x1x2y1y2.问题4：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？提示：能导入新知1平面向量数量积的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和2两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.3三个重要公式(1)向量模的公式：设a(x1，y1)，则|a|.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| .(3)向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos .化解疑难向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得a(x，y)，故|a|，即|a|为点A到原点的距离同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，故|，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算平面向量数量积的坐标运算例1(1)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则()A5B4C3 D2(2)已知向量a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)，求：2a(ba)；(a2b)c.解(1)A(2)2a2(1,3)(2,6)，ba(2,5)(1,3)(1,2)，2a(ba)(2,6)(1,2)216214.a2b(1,3)2(2,5)(1,3)(4,10)(5,13)，(a2b)c(5,13)(2,1)5213123. 类题通法数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解活学活用已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(bc)a.答案：(1)(2,4)(2)0向量的模的问题例2(1)若向量a(2x1,3x)，b(1x，2x1)，则|ab|的最小值为_(2)若向量a的始点为A(2,4)，终点为B(2,1)，求：向量a的模；与a平行的单位向量的坐标；与a垂直的单位向量的坐标解(1)(2)a(2,1)(2,4)(4，3)，|a|5.与a平行的单位向量是(4，3)，即坐标为或.设与a垂直的单位向量为e(m，n)，则ae4m3n0，.又|e|1，m2n21.解得或e或e.类题通法求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.活学活用设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A.B.C2 D10答案：B向量的夹角和垂直问题例3已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夹角的大小解(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设m，n的夹角为，则cos .0，即m，n的夹角为.类题通法解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积ab以及|a|b|，再由cos 求出cos ，也可由坐标表示cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.(2)由于0，利用cos 来判断角时，要注意cos 0也有两种情况：一是为锐角，二是0.活学活用1已知a，b为平面向量，a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b的夹角的余弦值等于()A. BC. D答案：C2已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值答案：m典例(上海高考)在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是_解析法一：设(01)，则，(1)(1)，则()()()(1)(1)22(1).因为0，所以43.因为01，所以14，即的取值范围是1,4法二：以边AB所在直线为x轴，边AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示因为AB2，AD1，所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)设M(2，b)，0b1，N(x,1)，0x2，根据题意得，b，所以(x,1)，AM，所以x1(0x2)，1x14，即14.所以的取值范围是1,4答案1,4多维探究由于向量与平面几何都具有数与形相结合的特性，因此在向量与平面几何的交汇处设计试题已逐渐成为高考命题的一个亮点平面向量与平面几何的结合通常涉及夹角、平行、垂直、共线等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将其推理转化为运算活学活用1(天津高考)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()AB.C. D.答案：B2.如图，菱形ABCD的边长为2，BAD60，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则的最大值为_答案：93已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_答案：5随堂即时演练1已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x()A1BC. D1答案：D2已知向量(1,2)，(3，m)，若，则m的值是()A.BC4D4答案：C3设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于_答案：4已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_.答案：105以原点O和点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使B90，求点B和向量的坐标答案：B或B；，或课时达标检测一、选择题1(福建高考)设a(1,2)，b(1,1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()ABC. D.答案：A2已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|等于()A4 B2C8 D8答案：D3已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A. B.C. D.答案：D4已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k，2)，若(ac)b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A. B. C D答案：A5已知i与j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是()A(，2)B.C.D.答案：A二、填空题6已知A(1,2)，B(3,4)，|n|，则|n|的最大值为_答案：47.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若，则向量的坐标为_答案：8已知a(，2)，b(3，2)，若a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_答案：三、解答题9已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解：(1)设c(x，y)，|c|2，2，x2y220.由ca和|c|2，可得解得或故c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，253ab20，整理得ab，cos 1.又0，.10平面内有向量(1,7)，(5,1)，(2,1)，点M为直线OP上的一动点(1)当取最小值时，求的坐标；(2)在(1)的条件下，求cosAMB的值解：(1)设(x，y)，点M在直线OP上，向量与共线，又(2,1)x1y20，即x2y.(2y，y)又，(1,7)，(12y,7y)同理(52y,1y)于是(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y12.可知当y2时，有最小值8，此时(4,2)(2)当(4,2)，即y2时，有(3,5)，(1，1)，|，