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稳恒磁场习题课 一 电流的磁场 2 平面载流线圈磁矩的定义 对比 线圈的法向与电流方向满足右手螺旋关系 3 在匀强磁场中平面载流线圈受到的磁力矩 载流线圈受到的磁力矩总是力图使线圈的磁矩转到与外磁场一致的方向 5 毕萨定律 对闭合面来说 规定外法向为正方向 4 在匀强磁场中通过一个平面的磁通量 1 有限长直电流磁场 无限长直电流磁场 8 常用公式 比较无限长均匀带电直线产生的电场 半无限长载流直导线 直导线上延长线 圆电流圆心处的磁场 一段圆弧电流在圆心处的磁场 或 2 圆电流中轴线上一点的磁场 3 载流螺旋管在其轴上的磁场 有限长载流螺线管 半无限长载流螺线管在管端口处 无限长载流螺线管 9 安培环路定理的应用 当场源分布具有高度对称性时 可用此定理求B 1 均匀无限长圆柱型载流导体的磁场分布 其中为过场点在垂直于轴线平面内所做的同心圆包围的电流代数和 类比于无限长均匀带电圆柱型分布所产生的电场 公式适用条件 要求空间电流均为闭合的 已知 I n 单位长度导线匝数 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零 2 长直载流螺线管的磁场分布 3 环形载流螺线管的磁场分布 已知 I N R1 R2 N 导线总匝数 若 其磁场方向沿切向 与电流方向满足右手螺旋 4 无限大导体板上均匀通电 电流面密度为 则空间 作公式用 类比无限大均匀带电平面的电场 如无限大载流导体薄板的磁场分布 已知 导线中电流强度I单位长度导线匝数n 电场 磁场中典型结论的比较 二 磁场对电流的作用力 侧向力 3 对载流线圈 磁力矩 2 对载流导线 安培力 1 对运动电荷 洛仑兹力 电流单位A 安培 的定义 1 两个平行载流直导线间的相互作用特点 同向相互吸引 异向相互排斥 2 带电体在匀强磁场中的运动特点 若带电体运动方向与磁场方向垂直 则带电体作匀速圆周运动 向心力由洛仑兹力提供 若带电体运动方向与磁场方向平行 则不受磁场力 重要结论 例 均匀磁场中任意形状导线所受的作用力 闭合电流在匀强磁场中受到的安培力为零 解 例1 求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线ab的作用力 已知 I1 I2 d L 例2 一个带有电荷q的粒子以速度v平行于均匀带电的长直导线运动 该导线的线密度为 并载有传导电流I 试问粒子要以多大的速度运动才能使其保持在一条与导线距离为r的平行直线上 思路 粒子处在电场和磁场中 受磁力和电力 两者等大反向 粒子受合力为零 可达目的 结果 例3 在磁感应强度为B的均匀磁场中 有一圆形载流导线 a b c 是其上三个长度相等的电流元 则它们所受安培力大小的关系为 a b c B 解 例4 如图 在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或平动 线框平面与大平板垂直 大平板的电流与线框中电流方向如图所示 则通电线框的运动情况对着从大平板看是 靠近大平板 B 顺时针转动 C 逆时针转动 D 离开大平板向外运动 B 提示 载流线圈受到的磁力矩总是力图使线圈的磁矩转到与外磁场一致的方向 例5 如图 无限长直载流导线与正三角形载流线圈在同一平面内 若长直导线固定不动 则载流三角形线圈将 A 向着长直导线平移 B 离开长直导线平移 C 转动 D 不动 A 2020 3 16 18 可编辑 例6 如图 均匀磁场中放一均匀带正电荷的圆环 其线电荷密度为 圆环可绕通过环心O与环面垂直的转轴旋转 当圆环以角速度 转动时 圆环受到的磁力矩为 其方向 解 带正电的圆环旋转时的等效电流为 再由磁力矩公式 其中 方向 力矩将驱使线圈法线转向与B平行 B R3 7 两个同心圆线圈 大圆半径为R 通有电流I1 小圆半径为r 通有电流I2 方向如图 若r R 大线圈在小线圈处产生的磁场近似为均匀磁场 当它们处在同一平面内时小线圈所受磁力矩的大小为 D 解 磁力矩 8 三条无限长直导线等距地并排安放 导线 分别载有1A 2A 3A同方向的电流 由于磁相互作用的结果 导线 单位长度上分别受力F1 F2和F3 如图所示 则F1与F2的比值是 解 利用无限长直电流的磁场和安培力公式 C 7 16 B 5 8 C 7 8 D 5 4 9 一平面线圈由半径为0 2m的1 4圆弧和相互垂直的二直线组成 通以电流2A 把它放在磁感强度为0 5T的均匀磁场中 求 1 线圈平面与磁场垂直时 如图 圆弧AC段所受的磁力 2 线圈平面与磁场成60 时 线圈所受的磁力矩 解 1 圆弧所受的磁力 在均匀磁场中 通电圆弧所受的磁力与AC直线所受磁力相等 方向 与AC直线垂直 2 磁力矩 线圈的磁矩为 本题中设线圈平面与B成60 角 则pm与B成30 角 有力矩 方向 力矩将驱使线圈法线转向与B平行 10 如图 半圆形线圈 半径为R 通有电流I 线圈处在与线圈平面平行向右的均匀磁场中 线圈所受磁力矩的大小为 方向为 把线圈绕OO 轴转过角度 时 磁力矩恰为零 0 5BI R2 n 0 5 11 电子在磁感强度为B的均匀磁场中沿半径为R的圆周运动 电子运动所形成的等效圆电流强度I 等效圆电流的磁矩pm 已知电子电荷为e 电子的质量为me 解 12 有一无限大平面导体薄板 自下而上均匀通有电流 已知其面电流密度为i 即单位宽度上通有的电流强度 1 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向 2 有一质量为m 带正电荷q的粒子 以速度v沿平板法线方向向外运动 如图 求 a 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞 b 需经多长时间 才能回到初始位置 不计粒子重力 解 1 由安培环路定理 方向 在板右侧垂直于纸面向里 2 由洛仑兹力公式可求得 返回时间 解 利用两个平行通电直导线间安培力公式 D 13 两个载有同向等大电流的平行长直导线 若将电流增加1倍 间距也增大1倍时 其相互作用力将变为原来的 A 1 2 B 1 2 C 1 D 2 练习 1 如图 导线长L 0 2m 电流I 20A 置于磁感应强度为B 8 0 10 2T的匀强磁场中 导线电流方向与磁场方向夹角为30度 则导线所受的安培力为f 方向 提示 根据安培定律 有 方向垂直于纸面向内 2 如图所示 1 4圆弧电流置于磁感应强度为B的均匀磁场中 则圆弧所受的安培力f 方向 答案 f BIR方向 垂直于纸面向内 提示 电流元所受的安培力df BIdlsin 2 圆弧上的每一电流元受力方向相同 圆弧上的电流元Idl可看作直线电流 它与它的投影所受的安培力相同 3 如图所示 一根载流导线被弯成半径为R的1 4圆弧 放在磁感应强度为B的均匀磁场中 则载流导线ab所受的磁场力大小为 方向 提示 1 用安培定律df Idl B求载流导线ab所受的磁力 2 取电流元Idl df BIdl 用矢量叉乘可判得df方向沿径向向外 由对称性 fx dfx 0 故 方向 沿着y轴正向 4 三根长直导线1 2 3平行且共面 分别载有稳恒电流I 2I 3I 方向如图 导线1与3的距离为d 欲使导线2受力为零 导线2与1之间的距离应为 提示 1 依题意 导线1和导线3在导线2处的合磁感应强度为0 即B1 B3 设距离为x 则 d 4 5 如图所示 长直导线与矩形线圈共面 且DF边与直导线平行 已知I1 20A I2 10A d 1 0cm a 0 9cm b 20cm 求线圈各边所受的磁力 提示 对于DC边受力情况 磁场非均匀 取微元 建立积分函数求解 答案 fDC 9 2 10 5N 方向向上 fEF fDC 方向向下 fDF 8