高中数学,函数定义域值域求法总结.doc

高中数学,函数定义域值域求法总结 函数定义域、值域求法总结一一.求函数的定义域需要从这几个方面入手 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx中xk+/2；y=cotx中xk等等。 (6)0x中x0?数 二、值域是函数y=f(x)中中y的取值范围。 常用的求值域的方法 （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法（包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题例例1求下列函数的定义域21)(?xx f；23)(?x x f；xx x f?211)(解x-2=0，即x=2时，分式21?x无意义，而2?x时，分式21?x有意义，这个函数的定义域是?2|?x x.3x+20，即x-32时，根式23?x无意义，而023?x，即32?x时，根式23?x才有意义，这个函数的定义域是x|32?x.当0201?x x且，即1?x且2?x时，根式1?x和分式x?21同时有意义，这个函数的定义域是x|1?x且2?x另解要使函数有意义，必须?0201xx?21xx例例2求下列函数的定义域14)(2?x x f2143)(2?xx xx f?)(x fx11111?x xxx f?0)1()(373132?xx y解要使函数有意义，必须142?x即33?x函数14)(2?x x f的定义域为3,3?要使函数有意义，必须 xx xxx x且或4133?x x x或或定义域为x|4133?x x x或或要使函数有意义，必须011110110?xxx?2110?xxx函数的定义域为21,1,0|?x R x x且要使函数有意义，必须?001x xx?01xx定义域为?011|?x x x或要使函数有意义，必须?073032xx?37xR x即x37?定义域为37|?x x2定义域的逆向问题例例3若函数aax ax y12?是的定义域是R，求实数a的取值范围奎屯王新敞(定义域的逆向问题)解定义域是R,恒成立，012?aax ax?xx402aaa aa等价于练习322log?mx x y则定义域是一切实数，则m的取值范围；3复合函数定义域的求法例例4若函数)(x fy?的定义域为?1，1，求函数)41(?x fy)41(?x f的定义域奎屯王新敞解要使函数有意义，必须43434543434514111411?xxxxx函数)41(?x fy)41(?x f的定义域为?4343|x x例例5知已知f(x)的定义域为1，1，求f(2x1)的定义域。 分析法则f要求自变量在1，1内取值，则法则作用在2x1上必也要求2x1在1，1内取值，即12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x1)中2x1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。 （注意f(x)中的x与f(2x1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。 ）解f(x)的定义域为1，1，12x11，解之0x1，f(2x1)的定义域为0，1。 例例6知已知已知f(x)的定义域为1，1，求f(x2)的定义域。 答案1x21?x21?1x1练习设)(x f的定义域是?3，2，求函数)2(?x f的定义域奎屯王新敞解要使函数有意义，必须223?x得221?xx0220?x2460?x函数)2(?xf的定域义为?2460|?x x例例7知已知f(2x1)的定义域为0，1，求f(x)的定义域因为2x1是R上的单调递增函数，因此由2x1，x0,1求得的值域1，1是f(x)的定义域。 练习1已知f(3x1)的定义域为1，2），求f(2x+1)的定义域。 ?2,25?）（提示定义域是自变量x的取值范围）2已知f(x2)的定义域为1，1，求f(x)的定义域3若若?y f x?的定义域是?0,2，则函数?121f xf x?的定义域是（）?1,1?21,21?1,2110,2?4已知函数?11xf xx?的定义域为，函数?y ff x?的定义域为，则（）A BB?B A?A BB?A B?求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R；反比例函数)0(?kxky的定义域为x|x?0，值域为y|y?0；二次函数)0()(2?a cbx ax xf的定义域为R，当a0时，值域为ab acy y4)4(|2?；当a0，xx y1?=2)1(2?xx2?，当x0时，则当abx2?时，其最小值ab acy4)4(2min?；当0a0）时或最大值（a0）时，再比较)(),(b fa f的大小决定函数的最大（小）值.若0x?a,b,则a,b是在)(xf的单调区间内，只需比较)(),(b fa f的大小即可决定函数的最大（小）值.注若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习 1、求函数y=3+x32?的值域解由算术平方根的性质，知x32?0，故3+x32?3。 函数的值域为?,3. 2、求函数?5,0,522?x x x y的值域解?对称轴?5,01?x?20,420,54,1maxmin值域为时时?y xy x1单调性法例例3求函数y=4xx31?(x1/3)的值域。 设f(x)=4x,g(x)=x31?,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-x31?在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。 小结利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习求函数y=3+x?4的值域。 (答案y|y3)2换元法例例4求函数x x y?12的值域解设t x?1，则)0(122?t t t y?2,21,01max?值域为，时当且开口向下，对称轴y t t?点评将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。 这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。 它的应用十分广泛。 数练习求函数y=x x?1的值域。 （答案y|y3/4求求x xx xc os sincossin1?的值域；例例5（三角换元法）求函数21x x y?的值域解11?x?设?,0cos?x?2,12,1)4sin(2sin cossin cos?原函数的值域为?y小结 （1）若题目中含有1?a，则可设)0,cos(22,sin?a a或设 （2）若题目中含有122?b a则可设?sin,cos?b a，其中?20? （3）若题目中含有21x?，则可设?cos?x，其中?0 （4）若题目中含有21x?，则可设?tan?x，其中22? （5）若题目中含有)0,0,0(?r y x ry x，则可设?22sin,cos ry rx?其中?2,0?3平方法例例5（选）求函数xxy?53的值域解函数定义域为?5,3?x?2,24,21,0158,5,31582)5()3(2222原函数值域为得由?yx xxxxxxy4分离常数法例例6求函数21?xxy的值域由1231232?x xxy，可得值域?1?y y小结已知分式函数)0(?cd cxbaxy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为?cay y；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bc addcxcadbcay?，用复合函数法来求值域。 练习求函数6412?xxy的值域求函数133?xxy的值域求函数y=1212?xx的值域；（y(-1，1)）例例7求求13?xxy的值域解法一（图象法）可化为?3,431,221,4xx xxy如图，观察得值域?44?y y-10134-4xy01t2t解法二（不等式法）414114)1 (134)1()3(13?xxxxx xxxxx?同样可得值域练习1y xx?的值域?,1例例8求函数?)1,0(239?x yxx的值域解（换元法）设tx?3，则31?t原函数可化为?8,28,3;2,13,121,2max min2值域为时时对称轴?y t y t t tty?例例9求函数x xy2231?的值域解（换元法）令1)1(222?xxx t，则)1(31?t yt由指数函数的单调性知，原函数的值域为?,31例例10求函数)0(2?x yx的值域解（图象法）如图，值域为?1,0（换元法）设tx?13，则?111131113113?ttyx xx101101?ytt?1,0原函数的值域为?例例13函数1122?xxy的值域解法一（逆求法）110112?yyyx?1,1?原函数的值域为解法二（换元法）设t x?12，则210xy原函数值域即得?112201ytt?解法三（判别式法）原函数可化为010)1(2?y xxy1）1?y时不成立2）1?y时，110)1)(1(400?y y y11?y综合1）、2）值域11|?y y解法四（三角换元法）?Rx?设?2,2tan?x，则?1,12cos,22costan1tan122?y?原函数的值域为11|?y y例例14求函数34252?x xy的值域解法一（判别式法）化为0)53(422?y yxyx1）0?y时，不成立2）0?y时，0?得500)53 (8)4(?y y y y50?y综合1）、2）值域50|?y y解法二（复合函数法）令t xx?3422，则ty5?11)1(22?x t?50?y所以，值域50|?yy例例15函数11?xx y的值域解法一（判别式法）原式可化为01)1(2?xyx51tt50?,31,1304)1(02?原函数值域为或yyy解法二（不等式法）1）当0?x时，321?yxx2）0?x时，12) (1)(1?yxxxx综合1）2）知，原函数值域为?,31,?例例16(选)求函数)1(1222?xxx xy的值域解法一（判别式法）原式可化为02)2(2?yxyx?,221220)2 (4)2(02原函数值域为舍去或y xyyyy?解法二（不等式法）原函数可化为)1 (211111)1(2?xxxxxy?当且仅当0?x时取等号，故值域为?,2例例17（选）求函数)22(1222?xxx xy的值域解（换元法）令t x?1，则原函数可化为)31(1?ttt y。 小结已知分式函数)0(2222?d afex dxcbx axy，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选）)(二次式一次式或一次式二次式?yy的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数)0(?xxax y的单调性去解。 练习 1、)0(9122?xxx y；解x?0，11)1(91222?xxxx y，y?11.另外，此题利用基本不等式解更简捷11929122?xx y(或利用对勾函数图像法) 2、34252?x xy0 3、求函数的值域xxy?2；242xxy?解令x u?2?0,则22u x?,原式可化为49)21(222?u uu y,u?0，y?49，函数的值域是（-?，49.解令t=4x?2x?0得0?x?4在此区间内(4x?2x)max=4，(4x?2x)min=0函数242xxy?的值域是y|0?y?2 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1将函数化为分段函数形式?)2 (12)21 (3)1(12x xxx xy，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y?3.解法2函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+?.如图O12-1x O12-1x O12-1x 5、求函数xxy?142的值域解设x t?1则t?0x=1?2t代入得ttt fy4)1 (2)(2?4)1(224222?tttt?0y? 46、（选）求函数66522?x xxxy的值域方法一去分母得(y?1)2