高二竞赛讲义多项式的插值与差分.doc

高二数学竞赛班二试讲义第3讲 多项式的插值与差分班级 姓名 一、知识点金1拉格朗日插值公式：存在唯一的一个次数不超过的多项式满足（的图象经过个不同点）；并且可表示为2对于函数及固定的，称为的步长为的一阶差分，记作。 ，称为的步长为的二阶差分。记作。一般地，的步长为的阶差分定义为。3对于函数，有数学归纳法证明：时结论显然成立。假设，则（代替上式中的位置） （注意：定义，）因此对一切正整数成立。4设，当时，是一个次多项式；而对于，恒为零。证明：由定义可知，低次项，这是一个次多项式，首项为，依此类推，常数项，从而当时，。5综合第3、4条，取步长，可得出（1）设是次多项式，首项系数为，则（2）特别地，取，并在上面等式中取，得欧拉恒等式6整值多项式：如果当取整数时，复系数多项式为整数，则称为整值多项式。整系数多项式当然都是整值多项式。但组合数是非整系数的整值多项式。7次复系数多项式为整值多项式的充分必要条件是，它可表示成 ，其中均为整数，且证明：充分条件是显然的。现证明必要性。以除，商必为常数，设为，则，或者为零，或者次数小于；在用次多项式除，如此进行，便得到，这种表示显然是惟一的。二、例题分析例1设次多项式满足。求。例1法一：由多项式插值公式得，对于，有所以法二：因为次多项式的阶差分为零，所以令，并以代人，得所以例2设次多项式满足。求。例1法一由多项式插值公式得。略法二：因为次多项式的阶差分为零，所以令，并以代人，得法三：对于本题还有更好的做法，考虑次多项式。有已知条件，有个不同的零点，又，于是，因此，进而例3设是一个次多项式，满足，求的值。例3因为次多项式的阶差分为零，所以 取，所以再用 取，所以例4设是任意个互不相同的整数。则任意次多项式在点处所取得的个值中，至少有一个的绝对值例4记所说的多项式为，由多项式插值公式得，由于的首项系数为1，故由上式得出记是的最大值，则有但是任意个互不相同的整数，可设，我们有于是例5设是奇数。证明：存在一个次数为的非整系数的整值多项式，具有下面的性质：（1）；（2）有无穷多个正整数，使得对，方程 没有整数解。例5先证明一个引理：存在一个首项系数为正的次整值多项式，系数不全是整数，满足，以及引理证明：满足的首项系数为正的次整值多项式可以表示为：，其中，因为，所以现在我们去满足则易解得（注意），从而由此即知，对每一个整数，有由于，所以为偶数时，由于，所以为奇数时，即有这时多项式，的系数是在时为非整数。满足引理中的要求。回到原问题：取正整数，假设有整数，使得，则更有但由引理可知，上式左边每一项模是0或1，因此在时，左边模决不可能为，矛盾！从而本题结论成立。三、同步检测1求一个次数小于4的多项式，满足， 这里。1利用拉格朗日插值公式得2证明多项式是整值多项式。2设，取，可求得，因此所说的多项式是整值多项式。3设是次多项式，在连续个整数处取值为整数，则是整值多项式。3对任意整数，是整值多项式，等价于是整值多项式。因此可设连续个整数是。先将表示为，再由是整数，可推出诸系数都是整数。4设是次多项式， ，且，求的