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文档简介
高二数学竞赛班二试讲义第3讲 多项式的插值与差分班级 姓名 一、知识点金1拉格朗日插值公式:存在唯一的一个次数不超过的多项式满足(的图象经过个不同点);并且可表示为2对于函数及固定的,称为的步长为的一阶差分,记作。 ,称为的步长为的二阶差分。记作。一般地,的步长为的阶差分定义为。3对于函数,有数学归纳法证明:时结论显然成立。假设,则(代替上式中的位置) (注意:定义,)因此对一切正整数成立。4设,当时,是一个次多项式;而对于,恒为零。证明:由定义可知,低次项,这是一个次多项式,首项为,依此类推,常数项,从而当时,。5综合第3、4条,取步长,可得出(1)设是次多项式,首项系数为,则(2)特别地,取,并在上面等式中取,得欧拉恒等式6整值多项式:如果当取整数时,复系数多项式为整数,则称为整值多项式。整系数多项式当然都是整值多项式。但组合数是非整系数的整值多项式。7次复系数多项式为整值多项式的充分必要条件是,它可表示成 ,其中均为整数,且证明:充分条件是显然的。现证明必要性。以除,商必为常数,设为,则,或者为零,或者次数小于;在用次多项式除,如此进行,便得到,这种表示显然是惟一的。二、例题分析例1设次多项式满足。求。例1法一:由多项式插值公式得,对于,有所以法二:因为次多项式的阶差分为零,所以令,并以代人,得所以例2设次多项式满足。求。例1法一由多项式插值公式得。略法二:因为次多项式的阶差分为零,所以令,并以代人,得法三:对于本题还有更好的做法,考虑次多项式。有已知条件,有个不同的零点,又,于是,因此,进而例3设是一个次多项式,满足,求的值。例3因为次多项式的阶差分为零,所以 取,所以再用 取,所以例4设是任意个互不相同的整数。则任意次多项式在点处所取得的个值中,至少有一个的绝对值例4记所说的多项式为,由多项式插值公式得,由于的首项系数为1,故由上式得出记是的最大值,则有但是任意个互不相同的整数,可设,我们有于是例5设是奇数。证明:存在一个次数为的非整系数的整值多项式,具有下面的性质:(1);(2)有无穷多个正整数,使得对,方程 没有整数解。例5先证明一个引理:存在一个首项系数为正的次整值多项式,系数不全是整数,满足,以及引理证明:满足的首项系数为正的次整值多项式可以表示为:,其中,因为,所以现在我们去满足则易解得(注意),从而由此即知,对每一个整数,有由于,所以为偶数时,由于,所以为奇数时,即有这时多项式,的系数是在时为非整数。满足引理中的要求。回到原问题:取正整数,假设有整数,使得,则更有但由引理可知,上式左边每一项模是0或1,因此在时,左边模决不可能为,矛盾!从而本题结论成立。三、同步检测1求一个次数小于4的多项式,满足, 这里。1利用拉格朗日插值公式得2证明多项式是整值多项式。2设,取,可求得,因此所说的多项式是整值多项式。3设是次多项式,在连续个整数处取值为整数,则是整值多项式。3对任意整数,是整值多项式,等价于是整值多项式。因此可设连续个整数是。先将表示为,再由是整数,可推出诸系数都是整数。4设是次多项式, ,且,求的
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