2014级直升初二数学iii相似三角形+位似.doc

2014级直升初二数学III相似三角形 位似姓名_教学班_12.81位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于位似比2如图，在直角坐标系中，ABC的各顶点坐标为A（1，1），B（2，3），C（0，3）现以坐标原点为位似中心，作ABC，使ABC与ABC的位似比为则点A的对应点A的坐标为3如图，ABC与DEF是位似图形，位似比为2：3，若AB=6，那么DE=4如图，点O是四边形ABCD与ABCD的位似中心，则=；ABC=，OCB=5已知：如图，E（4，2），F（1，1），以O为位似中心，按比例尺1：2，把EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为6如图，在平面直角坐标系中，ABC和ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B（6，2）（1）若点A（，3），则A的坐标为；（2）ABC与ABC的相似比等于；（3）若ABC的面积为m，则ABC的面积=7如图，若将平面直角坐标系中“鱼”以原点O为位似中心，按照相似比缩小，则点A的对应点的坐标是8正方形ABCD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为（3，2）和（1，1），则这两个正方形的位似中心的坐标为9如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）已知A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若ABC与A1B1C1位似，则A1B1C1的第三个顶点的坐标为10已知ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（1）分别写出图中点A和点C的坐标；（2）画出ABC绕点A按逆时针方向旋转90后的ABC；（3）在第一象限画出ABC关于原点O为位似中心，位似比为2的位似图形ABC，并写出A、C的坐标11如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，是的H，I，位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上这是他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积12如图，在1010网格中，每个小方格的边长看做单位1，每个小方格的顶点叫做格点，ABC的顶点都在格点上（1）请在网格中画出ABC的一个位似图形A1B1C1，使两个图形以点C为位似中心，且所画图形与ABC的位似比为2：1；（2）将A1B1C1绕着点C1顺时针旋转90得A2B2C2，画出图形，并分别写出A2B2C2三个顶点的坐标13如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的EAB和EDC均是等腰三角形，且在BC同侧（1）AE和ED的数量关系为；AE和ED的位置关系为；（2）在图1中，以点E为位似中心，作EGF与EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD分别得到图2和图3在图2中，点F在BE上，EGF与EAB的相似比1：2，H是EC的中点求证：GH=HD，GHHD在图3中，点F在的BE延长线上，EGF与EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GHHD（用含k的代数式表示）14如图，正三角形ABC的边长为3+（1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形EFPN的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由2014级直升初二数学III相似三角形 位似参考答案与试题解析一填空题（共9小题）1（2015南漳县校级模拟）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比【考点】位似变换菁优网版权所有【分析】根据位似图形的定义与性质，可得答案【解答】解：根据位似图形的性质，两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或共线，且这个点叫做位似中心，可得答案；应填：位似中心【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式2（2015杭州模拟）如图，在直角坐标系中，ABC的各顶点坐标为A（1，1），B（2，3），C（0，3）现以坐标原点为位似中心，作ABC，使ABC与ABC的位似比为则点A的对应点A的坐标为（，）或（，）【考点】位似变换；坐标与图形性质菁优网版权所有【分析】位似是特殊的相似，若两个图形ABC和ABC以原点为位似中心，相似比是k，ABC上一点的坐标是（x，y），则在ABC中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（kx，ky）【解答】解：在ABC中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（kx，ky）A的坐标为：（，）或（，）故答案为：（，）或（，）【点评】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键3（2015射阳县模拟）如图，ABC与DEF是位似图形，位似比为2：3，若AB=6，那么DE=9【考点】位似变换菁优网版权所有【分析】由ABC与DEF是位似图形，位似比为2：3，可得AB：DE=2：3，继而可求得DE的长【解答】解：ABC与DEF是位似图形，位似比为2：3，AB：DE=2：3，AB=6，DE=AB=6=9故答案为：9【点评】此题考查了位似图形的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用4（2015南漳县校级模拟）如图，点O是四边形ABCD与ABCD的位似中心，则=；ABC=ABC，OCB=OCB【考点】位似变换菁优网版权所有【分析】根据位似图形的定义得出平行线，再根据平行线的性质推出即可【解答】解：点O是四边形ABCD与ABCD的位似中心，ADAD，ABAB，BCBC，DCDC，=，=，=，=，=，ABAB，BCBC，DCDC，ABO=ABO，OBC=OBC，OCB=OCB，ABC=ABC，故答案为：=，ABC，OCB【点评】本题考查了位似变换，平行线的性质的应用，能熟记位似变换的有关知识点是解此题的关键，注意：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形5（2015秋枣庄期中）已知：如图，E（4，2），F（1，1），以O为位似中心，按比例尺1：2，把EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（2，1）或（2，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质菁优网版权所有【分析】利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k，进而得出答案【解答】解：如图所示：E（4，2），F（1，1），以O为位似中心，按比例尺1：2，把EFO缩小，点E的对应点E的坐标为：（2，1）或（2，1）故答案为：（2，1）或（2，1）【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，根据位似图形的性质得出符合题意坐标是解题关键6（2015秋乐亭县期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC和ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B（6，2）（1）若点A（，3），则A的坐标为（5，6）；（2）ABC与ABC的相似比等于1：2；（3）若ABC的面积为m，则ABC的面积=4m【考点】位似变换；坐标与图形性质菁优网版权所有【分析】（1）利用点B（3，1），B（6，2）即可得出位似比进而得出A的坐标；（2）利用对应点坐标的变化即可得出相似比；（3）利用位似图形面积比等于相似比的平方进而得出答案【解答】解：（1）ABC和ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B（6，2），若点A（，3），则A的坐标为：（5，6）；故答案为：（5，6）；（2）ABC和ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B（6，2），ABC与ABC的相似比等于：1：2；故答案为：1：2；（3）ABC与ABC的相似比等于：1：2，若ABC的面积为m，则ABC的面积=4m故答案为：4m【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键7（2013山西模拟）如图，若将平面直角坐标系中“鱼”以原点O为位似中心，按照相似比缩小，则点A的对应点的坐标是（3，2）或（3，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质菁优网版权所有【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k，结合题意即可得出答案【解答】解：A（6，4）以坐标原点O为位似中心，相似比为缩小，对应点A的坐标分别是：A（3，2）或（3，2）故答案为：（3，2）或（3，2）【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点之间的关系是解题关键8（2014槐荫区二模）正方形ABCD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为（3，2）和（1，1），则这两个正方形的位似中心的坐标为（1，0）或（5，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由图形可得两个位似图形的位似中心必在x轴上，连接AF、DG，其交点即为位似中心，进而再由位似比即可求解位似中心的坐标【解答】解：当位似中心在两正方形之间，连接AF、DG，交于H，如图所示，则点H为其位似中心，且H在x轴上，点D的纵坐标为2，点F的纵坐标为1，其位似比为2：1，CH=2HO，即OH=OC，又C（3，0），OC=3，OH=1，所以其位似中心的坐标为（1，0）；当位似中心在正方形OEFG的右侧时，如图所示，连接DE并延长，连接CF并延长，两延长线交于M，过M作MNx轴，点D的纵坐标为2，点F的纵坐标为1，其位似比为2：1，EF=DC，即EF为MDC的中位线，ME=DE，又DEC=MEN，DCE=MNE=90，DCEMNE，CE=EN=OC+OE=3+1=4，即ON=5，MN=DC=2，则M坐标为（5，2），综上，位似中心为：（1，0）或（5，2）故答案为：（1，0）或（5，2）【点评】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形结合的问题，能够熟练运用位似的性质求解一些简单的位似计算问题9（2012威海）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）已知A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若ABC与A1B1C1位似，则A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）【考点】位似变换；坐标与图形性质菁优网版权所有【分析】首先由题意可求得直线AC、AB、BC的解析式与过点（1，3），（2，5）的直线的解析式，即可知过这两点的直线与直线AC平行，则可分别从若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5）与若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5）去分析求解，即可求得答案【解答】解：设直线AC的解析式为：y=kx+b，ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4），解得：，直线AC的解析式为：y=2x8，同理可得：直线AB的解析式为：y=x2，直线BC的解析式为：y=x+10，A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），过这两点的直线为：y=2x+1，过这两点的直线与直线AC平行，若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5），则B1C1BC，B1A1BA，设直线B1C1的解析式为y=x+a，直线B1A1的解析式为y=x+b，2+a=5，+b=3，解得：a=7，b=，直线B1C1的解析式为y=x+7，直线B1A1的解析式为y=x+，则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（3，4）；若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5），则B1A1BC，B1C1BA，设直线B1C1的解析式为y=x+c，直线B1A1的解析式为y=x+d，2+c=5，1+d=3，解得：c=4，d=4，直线B1C1的解析式为y=x+4，直线B1A1的解析式为y=x+4，则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（0，4）A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）故答案为：（3，4）或（0，4）【点评】此题考查了位似图形的性质此题难度适中，注意掌握位似图形的对应线段互相平行，注意掌握待定系数法求一次函数解析式的知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用二解答题（共5小题）10（2015丹东模拟）已知ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（1）分别写出图中点A和点C的坐标；（2）画出ABC绕点A按逆时针方向旋转90后的ABC；（3）在第一象限画出ABC关于原点O为位似中心，位似比为2的位似图形ABC，并写出A、C的坐标【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换菁优网版权所有【分析】（1）利用图中网格直接得出A，C点坐标即可；（2）以点A为旋转中心，将ABC的B，C两点按逆时针方向旋转90后找到对应点，顺次连接画出旋转后的ABC；（3）连接OA并延长，使AA=OA，连接OB并延长，使BB=OB，连接OC并延长，使CC=OC，连接AB，AC，BC，可得出ABC为所求作的三角形【解答】解：（1）利用图中网格直接得出A点坐标为：（1，3），C点坐标为：（5，1）；（2）如图所示：（3）如图所示：A的坐标为：（2，6）、C的坐标为（10，2）【点评】此题考查了作图位似变换，以及图形与坐标性质和图形的旋转，其中画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形11（2014秋北京校级月考）如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，是的H，I，位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上这是他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积【考点】位似变换菁优网版权所有【分析】（1）如图2，先画长方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；（2）作ABC的高AM，交GF于N由三角形ABC的面积为36，求出AM=6再设AN=x，由GFBC，得出AGFABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式=，由此求出x的值，进而求解即可【解答】解：（1）如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；（2）在长方形DEFG中，如果DE=2DG，如备用图2，作ABC的高AM，交GF于N三角形ABC的面积=BCAM=12AM=36，AM=6设AN=x，则MN=6x，DG=MN=6x，DE=GF=2（6x）=122xGFBC，AGFABC，=，=，解得x=3，DG=6x=3，DE=2DG=6，长方形DEFG的面积=63=18；在长方形DEFG中，如果DG=2DE，同理求出x=，DG=6x=，DE=DG=，长方形DEFG的面积=故长方形DEFG的面积为18或【点评】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据题意作出符合要求的长方形DEFG是解题的关键12（2013秋淮北月考）如图，在1010网格中，每个小方格的边长看做单位1，每个小方格的顶点叫做格点，ABC的顶点都在格点上（1）请在网格中画出ABC的一个位似图形A1B1C1，使两个图形以点C为位似中心，且所画图形与ABC的位似比为2：1；（2）将A1B1C1绕着点C1顺时针旋转90得A2B2C2，画出图形，并分别写出A2B2C2三个顶点的坐标【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换菁优网版权所有【专题】作图题【分析】（1）延长AC至A1，使A1C=2AC，延长BC至B1，使B1C=2BC，点C1与C重合，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1绕着点C1顺时针旋转90得A2、B2、C2的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可【解答】解：（1）A1B1C1如图所示；（2）A2B2C2如图所示，A2（7，0），B2（7，6），C2（3，4）【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键13（2012河北）如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的EAB和EDC均是等腰三角形，且在BC同侧（1）AE和ED的数量关系为AE=ED；AE和ED的位置关系为AEED；（2）在图1中，以点E为位似中心，作EGF与EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD分别得到图2和图3在图2中，点F在BE上，EGF与EAB的相似比1：2，H是EC的中点求证：GH=HD，GHHD在图3中，点F在的BE延长线上，EGF与EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GHHD（用含k的代数式表示）【考点】位似变换；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出ABEDCE，进而得出AE=ED，AEED；（2）根据EGF与EAB的相似比1：2，得出EH=HC=EC，进而得出HGFDHC，即可求出GH=HD，GHHD；根据恰好使GH=HD且GHHD时，得出GFHHCD，进而得出CH的长【解答】解：（1）点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的EAB和EDC均是等腰三角形，BE=EC=DC=AB，B=C=90，ABEDCE，AE=DE，AEB=DEC=45，AED=90，AEED故答案为：AE=ED，AEED；（2）由题意，B=C=90，AB=BE=EC=DC，EGF与EAB的相似比1：2，GFE=B=90，GF=AB，EF=EB，GFE=C，EH=HC=EC，GF=HC，FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD，HGFDHCGH=HD，GHF=HDCHDC+DHC=90GHF+DHC=90GHD=90GHHD根据题意得出：当GH=HD，GHHD时，FHG+DHC=90，FHG+FGH=90，FGH=DHC，GFHHCD，CH=FG，EF=FG，EF=CH，EGF与EAB的相似比是k：1，BC=2，BE=EC=1，EF=k，CH的长为k【点评】此题主要考查了位似图形的性质和全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质得出对应角与对应边之间的关系是解题关键14（2012陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+（1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形EFPN的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE