数学分析习作-数列极限与函数极限的异同.doc

精品文档云 南 大 学数学分析习作课（1）读书报告题 目： 数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比） 学 院： 物理科学技术学院 专 业： 数理基础科学 姓名、学号： 任课教师： 时 间： 2009-12-26 摘 要极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础；极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算一 数列极限与函数极限的定义1、 数列与函数：a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：，. 通常记作，也可将其看作定义在自然数集N上的函数=， 故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数，可以按照确定的规律，得到内唯一一个实数和这个对应，我们就称是上的函数，它在的数值（称为函数值）是，记为，即。 称是自变量，是因变量，又称是函数的定义域，当遍取内的所有实数时，在的作用下有意义，并且相应的函数值的全体所组成的范围叫作函数的值域，要注意的是：值域不一定就是Y，它当然不会比大，但它可能比小。2、 （一） 数列极限的定义：对数列，若存在常数，对，有，则称数列收敛且收敛于，并称数列的极限为，记为=A.例1.试用定义验证：. 证明：分析过程，欲使只需即可，故.例2.试用定义验证：证明：分析过程.欲使，只需（注意）。故，对于比较复杂的表达式，一般地，我们通过运算,适当放大，将变形简化到，既使得对于由不等式能比较容易求得，又使得当时，恒成立不等式，从而有。以下各例的解法中都贯穿这一思路。例3.试用定义验证： 证明：分析过程. 故，.例4.试用定义验证：.证明：分析过程.欲使，注意到，利用不等式得，只需.故 ：.例5试用定义验证：.证明:分析过程.仿照上例的证法，记，有，只需.故，：.例6.关于数列，证明：若对于某个常数以及，： ，则有. 证明：由可知， N,:,于是由题设可得， : .例7.设，.证明：. 证明:显然，注意到 .于是由例6即得所证。（二）函数极限的定义：定义1设，若存在，：，则称当趋于时的极限为，记为或.类似的，设，若存在，,:,则称当趋于-时的极限为，记为 或.定义2.设，若存在，,则称当趋于时的极限为，记为或.下面讨论当趋于某一实数时函数的变化情况函数在点处的左极限，右极限也可分别记作，左极限，右极限统称为单侧极限. 若在的某去心邻域中有定义，则由定义可知：存在和均存在且相等.注 需要特别指出的是，由于在一元函数微积分中我们研究的函数的定义域一般为区间或若干个区间的并集，因此在以后的有关函数极限的论证中，我们将就记作，对的左去心邻域右去心邻域也作类似的简化处理. 几何意义 设，在平面上任意画一条以为中心线，宽为的横带，则必存在一条以为中心线，宽为的竖带，使得竖带内的函数图像（除点（）外）全部位于所给定的横带内.例1 试用定义验证下列函数极限：(1); (2) . 证明 （1）因为，所以 （2）当时， .因为，所以不妨设，由此推得，此时，于是 .例2 说明下列函数在点处不存在极限：（1） （2）：（3）.证明：（1）因为，所以在处不存在极限.（但是有.注意，.）（2）与（1）同理可得在处不存在极限.注意，本例中的函数与上例中的函数区别仅在点处是否有定义，但由极限定义可知，这并不影响我们对函数在处的极限存在性的讨论.（3）因为，所以在处不存在广义极限.二 数列极限和函数极限的存在性条件:(一) 数列极限的存在性条件：定理：（单调有界数列收敛定理）单调增（减），上（下）有界的数列必为收敛数列;单调增（减），上（下）无界数列必为正（负）无穷大量.证明：(i) 设为单调数列，为数列中一切项所组成的数集，当然，且数列上有（无）界，即数集上有（无）界.记，则.（注：为简化语言，习惯上我们将所述的就记作.）若上有界，则，于是 (即)：，注意到递增，故，此即说明收敛且收敛于.若上无界，则，于是 N，（即）：,仍由递增知， ,即证得为正无穷大量.(ii) 设为单调减数列.注意到，此时为单调增数列，则由（i）知 ，于是有 =-.而下有（无）界，即，由此即得所证. 注：由上述证明可知：若数列单调增，则；若数列单调减，则.由此可得如下结论： 单调增（减）数列收敛的充要条件是数列上（下）有界 单调增（减）数列若发散，则必为正（负）无穷大量 例1 设，证明：.证明：令，则，于是可知，当充分大后，单调减且有下界0，从而收敛.记，则 .注：利用此例可知， ，由此证得.例2 设（重根号），求.解：由的表达式可知有递推式 N.利用数学归纳法易知，.于是，此即说明单调增且有上界，从而收敛.记，则,解此方程得（舍），即.例3 设，N，证明：为收敛数列.证法1 利用平均不等式，有（i） =（ii）于是单调增且有上界，从而为收敛数列.证法2 令，利用平均不等式，有 于是单调见减且有下界，从而收敛.注意到 ，由此即知收敛且与收敛于同一极限. 由本例，我们得到了微积分中一个重要极限，且记此极限为，即 是自然对数的底.同时，此例中的两种证法可知，. 例4.设，证明：为收敛数列.证明 由式，：.于是， ，即单调减且有下界，从而为收敛数列（二）函数极限存在性条件（归并定理）定理1 ，若，则.定理中的可以是实数，也可以是.以下只对加以证明（其余情形略）证明：必要性.由的定义， .任取数列满足，由数列极限定义可知，对上述， N,注意到,即有 ,此即说明. 充分性.用反证法.若不是在点处的极限，则 取一列，则 即，由此取得的自变量数列满足，但却不是相应的函数值数列的极限，由此得到矛盾.例 说明函数在点处不存在单侧极限.证明： 取，则，显然，而不存在极限，从而函数在处不存在右极限. 若考察，则同理可说明在处不存在左极限.定理2.设在的某一去心邻域中有定义，则在点处存在极限的充要条件是 .证明： 必要性.设，则由定义， 充分性（略）三 收敛数列和函数极限的性质（一）收敛数列的性质1唯一性定理1. 若数列收敛，则其极限唯一.证法一： 用反证法：若，且，取，则由定义， .于是，：，由此得到矛盾证法二： 记，则由定义， ； .于是，： .由于是确定的常数，因此由的任意性即知.2有界性定理2 若数列收敛，则有界.证明： 设，取，则由定义知，： .令，则：. 由上述证明可知：数列的有界性与所谓的“往后有界性”（即数列自某项后有界）等价.3保号性定理3 若则事实上，我们可以得出结论：证明： ，取，则由定义知，： .4不等式性定理4 设，若，则证明： 取，由定义可知， .于是，：.推论：设，若，则. 但请注意，若将条件改为“”，其结论仍为“”.请考察数列，.若，且，则对于与之间的大小关系无任何结论可得.5夹逼性定理5 设有数列，若， 且，则收敛，且证明： 由极限定义， ; .于是，.（二）函数极限的性质1.唯一性定理1 若函数在点处的广义极限存在则必唯一证明： 设且.先取满足：，则由定理可知： 且，再由数列广义极限的唯一性即知.2局部有限性定理2 若函数在点处极限存在，则存在的某一去心邻域使得在该邻域内有界.证明： 设，则由定义，对于， .3局部保号性定理3 若，则.事实上，有更强的结论：，.证明： 用反证法.如若不然，则 ，注意到由此得到的数列满足：，由归并定理及数列极限的不等式性推得 ，上式与假设矛盾4不等式性定理4 若则.证明： 用反证法。如若不然，则 ，注意到由此得到的数列满足：，由归并定理及数列极限的不等式性推得 ，上式与题设矛盾.5夹逼性定理5 ，且则在点处的广义极限存在且为证明： 在中任取数列满足: ,则 ，由归并定理的必要性得 最后，由满足条件的数列取法的任意性，由归并定理的充分性即知函数在处广义极限存在且为.四 数列极限与函数极限的运算（一）数列极限的运算定理1 （有关无穷小量的运算性质）（1） 有限个无穷小量之和仍为无穷小量.（2） 无穷小量与有界量之积为无穷小量. 证明: (1)设为个无穷小量，由于，由于，由定义有 因此， .此即说明为无穷小量 (2)设为无穷小量，为有界数列，则由定义有 ； 因此，对上述的与，当时有 .此即说明为无穷小量.定理2 数列收敛的充要条件是，存在常数及无穷小量，使得 .收敛数列的运算定理3 设，为两个收敛数列，则它们的和（差）数列，积数列以及当且时的商数列均收敛，此外还成立如下等式：；.，特别地，对于.定理4 （与无穷大量与关的若干性质）（1）若为无穷大量，为有界数列，则为无穷大量；若为正（负）无穷大量，为上（下）有界数列，则为正（负）无穷大量；特别地，若，同为正（负）无穷大量，则为正（负）无穷大量；（2）若为无穷大量，满足：，则为无穷大量. 特别地，为正（负）无穷大量的充要条件是为负（正）无穷大量.（3）若，则为无穷大（小）量的充要条件是为无穷小（大）量； 特别地，若，则为正（负）无穷大量的充要条件是为无穷小量.可利用如下结论求数列极限：例1 （1）（2）（3）=例2 求下列极限（1）；解：因为=，且易知=0，所以原式=0（2）=1（3）=+=（二）函数极限的运算以下只就函数在处的极限加以叙述，其余情形不再一一说明.1四则运算定理1 设在点处均存在极限，则：（1）=；（2），特别地，对于（3）（当时）.2复合运算定理2 设，且则，.证明： 在中任取数列满足：，记相应的，则由题设，对在处的极限运用归并定理的必要性，有 .再对在处的极限运用归并定理的必要性，并由复合函数的定义，即有 =.最后，由满足条件的数列取法的任意性，运用归并定理的