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定义法求轨迹方程 郸城二高 牛少华 2015 01 06 求轨迹方程的一般步骤 1 建系设点 2 列式 3 代换 4 化简 5 证明 一般省略不写 在解题中 有的同学能自觉地根据问题的特点应用公式 定理 法则 但对数学定义往往未加重视 以至不能及时地发现一些促进问题迅速获解的隐含条件 造成舍近求远 舍简求繁的情况 山重水复 柳暗花明 因此合理应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法 灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来极大方便 一 复习提问 1 圆的定义 平面内到定点O的距离等于定长r的点的轨迹 O叫做圆心 r叫做半径 确定圆的标准方程需要知道什么条件 圆心 a b 半径r 2 椭圆的定义 MF1 MF2 2a 2a F1F2 2c 0 M 两个定点F1 F2 双曲线的焦点 F1F2 2c 焦距 确定椭圆的标准方程需要知道什么条件 中心 焦点位置 2a和2c 两个定点F1 F2 双曲线的焦点 F1F2 2c 焦距 平面内与两个定点F1 F2的距离的差 等于常数的点的轨迹叫做双曲线 的绝对值 小于 F1F2 MF1 MF2 2a 2a F1F2 2c 3 双曲线的定义 确定双曲线的标准方程需要知道什么条件 中心 焦点位置 2a和2c 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 4 抛物线的定义 F 确定抛物线的标准方程需要知道什么条件 顶点 对称轴 焦点 p值 定义法求轨迹方程的基本步骤 1 用几何方法论证动点的轨迹是某种圆锥曲线 2 根据已知坐标判定该曲线的方程是标准方程 3 算出标准方程中所需的数据 4 写出方程 注意范围 在平面内 讨论 小试牛刀 例2 一动圆与圆O1 x 3 2 y2 4外切 同时与圆O2 x 3 2 y2 9外切 求动圆圆心M的轨迹方程 例3 一动圆M与圆C x 2 2 y2 1外切 且与直线x 1 0相切 求圆心M的轨迹方程是 庖丁解牛 庖丁解牛 M 例2 一动圆与圆O1 x 3 2 y2 4外切 同时与圆O2 x 3 2 y2 9外切 求动圆圆心M的轨迹方程 3 0 3 0 2 3 解 设动圆M的半径为r 依题可得 MO1 2 r MO2 r 3 MO2 MO1 1 O1O2 点M的轨迹是以O1 O2为焦点的双曲线的左支 2a 1 2c 6 c 3 轨迹方程为 X 0 庖丁解牛 例3 一动圆M与圆C x 2 2 y2 1外切 且与直线x 1 0相切 求圆心M的轨迹方程是 M N C 庖丁解牛 2020 3 16 14 可编辑 练习3 已知圆O1 x 2 2 y2 4 动圆M与圆O1外切 且与y轴相切 求动圆圆心M的轨迹方程 练习1 ABC顶点为A 0 2 C 0 2 三边长BC AC BA成等差数列 公差d 0 求动点B的轨迹方程 变式训练举一反三 举一反三 举一反三 1 2 3 4 6 4 2 2 4 5 5 10 x o y A B 8 6 4 2 2 4 6 5 5 10 15 M A B 6 4 2 2 4 6 10 5 5 10 B A 10 8 6 4 2 2 4 5 5 10 15 B A X 0 X 0 X 0 X 0 练习3 已知圆O1 x 2 2 y2 4 动圆M与圆O1外切 且与y轴相切 求动圆圆心M的轨迹方程 2 0 动点M到O1 2 0 的距离比它到y轴的距离大2 解 当点M在y轴右侧或原点运动时 点M到定点O1的距离和它到定直线x 2的距离相等 点M的轨迹是以O1为焦点 直线x 2为准线的抛物线 P 4 点M的轨迹方程为y2 8x X 0 当点M在y轴左侧运动时 点M的轨迹是x轴的负半轴 点M的轨迹方程为y 0 X 0 一课一