人教B版 必修2 2.3.1 圆的标准方程 学案.docx

2.3.1 圆的标准方程学习目标：1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征(重点)2.能根据所给条件求圆的标准方程(重点、难点)3.掌握点与圆的位置关系(易错点)自 主 预 习探 新 知1圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图411所示图411(3)圆的标准方程：圆心为a(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以圆点o为圆心、半径为r的圆思考：确定圆的关键是什么？提示 确定圆的核心关键点有两个，即位置(圆心)与大小(半径)2点与圆的位置关系圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆心a(a，b)，半径为r.设所给点为m(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上|ma|r点m在圆a上点m(x0，y0)在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆内|ma|r点m在圆a内点m(x0，y0)在圆内(x0a)2(y0b)2r2点在圆外|ma|r点m在圆a外点m(x0，y0)在圆外(x0a)2(y0b)2r2基础自测1思考辨析(1)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆( )(2)若圆的标准方程为(xm)2(yn)2a2(a0)，此圆的半径一定是a( )提示 (1) 不一定，当m0时表示点(a，b)，当m0时，表示圆(2) 圆的半径r|a|.2圆(x1)2(y)21的圆心坐标是( )a(1，) b(1，)c(1，)d(1，)c 由圆的标准方程知，圆心坐标为(1，)选c.3已知圆的方程是(x2)2(y3)24，则点p(3,2)( )a是圆心b在圆上c在圆内d在圆外c (32)2(23)224. 点p(3,2)在圆(x2)2(y3)24的内部选c.合 作 探 究攻 重 难求圆的标准方程 求经过点p(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的方程. 解 法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.法二：(几何法)由题意知op是圆的弦，其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心，由得即圆心坐标为(4，3)，半径r5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.规律方法 求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心c(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.跟踪训练1已知abc的三个顶点坐标分别为a(0,5)，b(1，2)，c(3，4)，求该三角形的外接圆的方程解 法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为a(0,5)，b(1,2)，c(3,4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有解得故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.法二：因为a(0,5)，b(1,2)，所以线段ab的中点的坐标为，直线ab的斜率kab7，因此线段ab的垂直平分线的方程是y，即x7y100.同理可得线段bc的垂直平分线的方程是2xy50.由得圆心的坐标为(3,1)，又圆的半径长r5，故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.点与圆的位置关系 已知两点p1(3,8)和p2(5,4)(1)求以线段p1p2为直径的圆的标准方程；(2)判断点m(5,3)，n(3,4)，p(3,5)是在圆上、圆内还是圆外. 思路探究：(1)先确定圆心与半径再求方程(2)比较三点到圆心的距离与半径大小解 (1)设圆心c(a，b)，半径长为r.因为点c为线段p1p2的中点，所以a4，b6，即圆心坐标为c(4,6)又由两点间的距离公式，得r|cp1|.故所求圆的标准方程为(x4)2(y6)25.(2)分别计算点m，n，p到圆心c的距离：|cm|，|cn|，|cp|，所以点m在此圆外，点n在此圆上，点p在此圆内规律方法 判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点p(x0，y0)在圆c上(x0a)2(y0b)2r2；点p(x0，y0)在圆c内(x0a)2(y0b)2r2；点p(x0，y0)在圆c外(x0a)2(y0b)2r2.跟踪训练2点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则a的取值范围是( )aa1或a1 b1a1c0a1da1b 点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部(1a)2(1a)24.解得1a1.与圆有关的最值问题探究问题1若p(x，y)为圆c(x1)2y2上任意一点，请求出p(x，y)到原点的距离的最大值和最小值提示 原点到圆心c(1,0)的距离d1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1.2若p(x，y)是圆c(x3)2y24上任意一点，请求出p(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值提示 p(x，y)是圆c上的任意一点，而圆c的半径为2，圆心c(3,0)，圆心c到直线xy10的距离d2，所以点p到直线xy10的距离的最大值为22，最小值为22. 已知x，y满足x2(y4)24，求的最大值与最小值. 思路探究：x，y满足x2(y4)24，即点p(x，y)是圆上的点而表示点(x，y)与点(1，1)的距离故此题可以转化为求圆x2(y4)24上的点与点(1，1)的距离的最值问题解 因为点p(x，y)是圆x2(y4)24上的任意一点，圆心c(0，4)，半径r2，因此表示点a(1，1)与该圆上点的距离因为|ac|2(1)2(14)24，所以点a(1，1)在圆外如图所示而|ac|，所以的最大值为|ac|r2，最小值为|ac|r2.母题探究：1.本例中条件不变，试求的取值范围解 设k，则此式可看作是圆上一点与点(1，1)连线的斜率所以由k可得y1k(x1)，此直线与圆应相交圆心(0，4)到直线的距离dr.即2，解得k或k.2本例条件不变，试求圆上一点到直线xy4的最大值与最小值解 圆心(0，4)到直线xy4的距离d4.所以圆上一点到直线xy4的最大值为dr24，最小值为dr42.规律方法 与圆有关的最值问题的求解策略(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解一般地： k的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等当 堂 达 标固 双 基1方程(x1)0所表示的曲线是( )a一个圆 b两个点c一个点和一个圆d一条直线和一个圆d (x1)0可化为x10或x2y23，因此该方程表示一条直线和一个圆2以(2,1)为圆心，2为半径的圆的标准方程为( )a(x2)2(y1)24b(x2)2(y1)22c(x2)2(y1)22d(x2)2(y1)24d 由圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，知圆心为(a，b)，半径为r，易知答案为d.3点p(5a1,12a)在圆(x1)2y21的内部，则a的取值范围为( )a|a|1bac|a|d|a|d 点p(5a1,12a)在圆(x1)2y21的内部(5a11)2(12a)21，|a|.选d.4若圆c的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆c的标准方程为_x2(y1)21 由题意知圆c的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆c的标准方程为x2(y1)21.5已知圆c的半径为