人教B版选修21 第二章 §2.4　拋物线 学案.doc

2.4拋物线2.4.1抛物线的标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一抛物线的定义思考到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？答案抛物线或一条直线梳理(1)平面内与一个定点f和一条定直线l(fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点f叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为m；一个定点f(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点m到点f的距离与它到定直线l的距离之比等于11)知识点二抛物线的标准方程由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0)现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y1到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()2拋物线标准方程中的p表示焦点到准线的距离()3拋物线的方程都是二次函数()类型一抛物线的定义及应用例1(1)已知抛物线c：y2x的焦点为f，a(x，y0)是c上一点，|af|x，则x等于()a1b2c4d8(2)若点p到点f(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则p点的轨迹方程是()ay216xby232xcy216xdy232答案(1)a(2)c解析(1)由题意，知抛物线的准线为x.因为|af|x，根据抛物线的定义，得x|af|x，所以x1，故选a.(2)点p到点(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，将直线x50右移1个单位，得直线x40，即x4，易知点p到直线x4的距离等于它到点(4,0)的距离由抛物线的定义，可知点p的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x4为准线的抛物线设抛物线方程为y22px，可得4，得2p16，抛物线的标准方程为y216x，即p点的轨迹方程为y216x，故选c.反思与感悟依据抛物线定义可以实现点线距离与线线距离的转化跟踪训练1(1)若抛物线x24y上的点p到焦点的距离是10，则p点的坐标为_(2)已知抛物线c：y28x的焦点为f，准线l与x轴的交点为m，点p在抛物线上，且|pm|pf|，则pmf的面积为()a4b8c16d32答案(1)(6,9)或(6,9)(2)b解析(1)设点p(x0，y0)，由抛物线方程x24y，知焦点坐标为(0,1)，准线方程为y1，由抛物线的定义，得|pf|y0110，所以y09，代入抛物线方程得x06.(2)如图所示，易得f(2,0)，过点p作pnl，垂足为n.|pm|pf|，|pf|pn|，|pm|pn|.设p，则t2，解得t4，pmf的面积为|t|mf|448.类型二抛物线的标准方程及求解例2抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()a.b.c1d.答案b解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为yx，所以所求距离为.反思与感悟根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程跟踪训练2(1)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_；准线方程为_答案2x1解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以1，p2，准线方程为x1.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程y240x；4x2y；3y25x；6y211x0.解焦点坐标为(10,0)，准线方程为x10.由4x2y得x2y.2p，p.焦点坐标为，准线方程为y.由3y25x，得y2x.2p，p.焦点坐标为，准线方程为x.由6y211x0，得y2x，故焦点坐标为，准线方程为x.例3分别求符合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上解(1)设抛物线的标准方程为y22px或x22py(p0)，又点(3,2)在抛物线上，2p或2p，所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)当焦点在y轴上时，已知方程x2y40，令x0，得y2，抛物线的焦点坐标为(0，2)，设抛物线的标准方程为x22py(p0)，由2，得2p8，所求抛物线的标准方程为x28y；当焦点在x轴上时，已知方程x2y40，令y0，得x4，抛物线的焦点坐标为(4,0)，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由4，得2p16，所求抛物线的标准方程为y216x.综上，所求抛物线的标准方程为x28y或y216x.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值跟踪训练3根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点f在x轴上，直线y3与抛物线交于点a，|af|5.解(1)双曲线方程可化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)且3，p6，抛物线的标准方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，a(m，3)，由抛物线定义，得5|af|.又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.类型三抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m、高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点b(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为aa，则a(2，ya)，由22ya，得ya.又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h|ya|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练4喷灌的喷头装在直立管柱oa的顶点a处，喷出水流的最高点b高5m，且与oa所在的直线相距4m，水流落在以o为圆心，半径为9m的圆上，则管柱oa的长是多少？解如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，因为点c(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点a(4，y0)在抛物线上，所以165y0，即y0，所以oa的长为51.8(m)所以管柱oa的长为1.8m.1抛物线y2x的准线方程为()axbxcydy答案b解析抛物线y2x的开口向右，且p，所以准线方程为x.2抛物线yx2的准线方程是()ay1by2cx1dx2答案a解析由yx2，得x24y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为y1.3已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点p(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()a4b2c4或4d12或2答案c解析由题意可设抛物线的标准方程为x22py(p0)，由定义知点p到准线的距离为4，故24，p4，x28y.将点p的坐标代入x28y，得m4.4若抛物线y22px(p0)上的动点q到焦点的距离的最小值为1，则p_.答案2解析因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1，p2.5若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.答案2解析抛物线y22px(p0)的准线方程是x，因为抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点f1(，0)，所以，解得p2.1焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为f，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为f，准线方程为y.2设m是抛物线上一点，焦点为f，则线段mf叫做抛物线的焦半径若m(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|mf|x0.3对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题一、选择题1关于抛物线y4x2，下列描述正确的是()a开口向上，焦点坐标为(0,1)b开口向上，焦点坐标为c开口向右，焦点坐标为(1,0)d开口向右，焦点坐标为答案b解析由y4x2得x2y，开口向上，焦点坐标为.2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()a(1,0) b(1,0)c(0，1) d(0,1)答案b解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题设知1，即p2，故焦点坐标为.3已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()a.b1c2d4答案c解析抛物线y22px的准线方程为x，它与圆相切，所以必有34，p2.4若动点p与定点f(1,1)和直线l：3xy40的距离相等，则动点p的轨迹是()a椭圆b双曲线c抛物线d直线答案d解析方法一设动点p的坐标为(x，y)则.整理，得x29y24x12y6xy40，即(x3y2)20，x3y20.所以动点p的轨迹为直线方法二显然定点f(1,1)在直线l：3xy40上，则与定点f和直线l距离相等的动点p的轨迹是过f点且与直线l垂直的一条直线5若点p在抛物线y2x上，点q在圆(x3)2y21上，则|pq|的最小值是()a.1b.1c2d.1答案d解析设圆(x3)2y21的圆心为o(3,0)，要求|pq|的最小值，只需求|po|的最小值设点p坐标为(y，y0)，则|po|，|po|的最小值为，从而|pq|的最小值为1.6抛物线y4x2上的一点m到焦点的距离为1，则点m的纵坐标是()a.b.c.d0答案b解析抛物线方程化为x2y，准线为y，由于点m到焦点的距离为1，所以m到准线的距离也为1，所以m点的纵坐标等于1.7已知直线l与抛物线y28x交于a，b两点，且l经过抛物线的焦点f，a点的坐标为(8,8)，则线段ab的中点到准线的距离是()a.b.c.d25答案a解析抛物线的焦点f的坐标为(2,0)，直线l的方程为y(x2)由得b点的坐标为.|ab|af|bf|282.ab的中点到准线的距离为.8已知点p是抛物线x24y上的动点，点p在x轴上的射影是点q，点a的坐标是(8,7)，则|pa|pq|的最小值为()a7b8c9d10答案c解析抛物线的焦点为f(0,1)，准线方程为y1，根据抛物线的定义知，|pf|pm|pq|1.|pa|pq|pa|pm|1|pa|pf|1|af|111019.当且仅当a，p，f三点共线时，等号成立，则|pa|pq|的最小值为9.二、填空题9已知抛物线y22x上一点p(m,2)，则m_，点p到抛物线的焦点f的距离为_答案2解析将(m,2)代入抛物线中得42m，得m2，由抛物线的定义可知点p到抛物线的焦点f的距离为2.10设抛物线y22px(p0)的焦点为f，点a(0,2)若线段fa的中点b在抛物线上，则点b到该抛物线准线的距离为_答案解析如图所示，由已知，得点b的纵坐标为1，横坐标为，即b.将其代入y22px，得12p，解得p，故点b到准线的距离为p.11设抛物线y28x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足，如果直线af的斜率为，那么|pf|_.答案8解析如图所示，直线af的方程为y(x2)，与准线方程x2联立得a(2,4)设p(x,4)，代入抛物线方程y28x，得8x48，x6，|pf|x28.三、解答题12如图，已知抛物线y22x的焦点为f，点p是抛物线上的动点，又有点a(3,2)，求|pa|pf|的最小值，并求此时p点的坐标解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，a在抛物线内部设抛物线上动点p到准线l：x的距离为d，由抛物线的定义，知|pa|pf|pa|d.当pal时，|pa|d最小，最小值为，即|pa|pf|的最小值为，此时p点的纵坐标为2，代入y22x，得x2，p点的坐标为(2,2)13已知拋物线的顶点在原点，焦点在y轴上，拋物线上一点m(m，3)到焦点的距离为5，求m的值，拋物线方程和准线方程解设所求拋物线方程为x22py(p0)，则焦点为f.m(m，3)在拋物线上，且|mf|5，解得m2，拋物线方程为x28y，准线方程为y2.四、探究与拓展14如果p1，p2，pn是抛物线c：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，f是抛物线c的焦点，若x1x2xn10，则|p1f|p2f|pnf|等于()an10bn20c2n10d2n20答案a解析由抛物线的方程y24x可知其焦点为(1,0)，准线为x1，由抛物线的定义可知|p1f|x11，|p2f|x21，|pnf|xn1，所以|p1f|p2f|pnf