高考数学大一轮复习（高考题库）第9章 第8节 n次独立重复试验与二项分布 理 新人教A版(1).DOC

20092013年高考真题备选题库第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布第8节 n次独立重复试验与二项分布考点一 二项分布及其应用1（2013安徽，13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使p(xm)取得最大值的整数m.解：本题主要考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力(1)因为事件a：“学生甲收到李老师所发信息”与事件b：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以与相互独立由于p(a)p(b)，故p()p()1，因此学生甲收到活动通知信息的概率p12.(2)当kn时，m只能取n，有p(xm)p(xn)1.当kn时，整数m满足kmt，其中t是2k和n中的较小者由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为(c)2.当xm时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2km，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为mk.由乘法计数原理知：事件xm所含基本事件数为cccccc.此时p(xm).当kmt时，p(xm)p(xm1)cccc(mk1)2(nm)(2km)m2k.假如k2kt成立，则当(k1)2能被n2整除时，k2k2k1t.故p(xm)在m2k和m2k1处达最大值；当(k1)2不能被n2整除时，p(xm)在m2k处达最大值(注：x表示不超过x的最大整数)下面证明k2kt.因为1kn，所以2kk0.而2kn0，故2kn，显然2k2k.因此k2ke(3x2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分x3”的事件为a，则事件a包含有“x0”，“x2”，“x3”三个两两互斥的事件，因为p(x0)，p(x2)，p(x3)，所以p(a)p(x0)p(x2)p(x3)，即这两人的累计得分x3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为x1，都选择方案乙所获得的累计得分为x2，则x1，x2的分布列如下：x1024px2036p所以e(x1)024，e(x2)036.因为e(x1)e(x2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大3（2013四川，12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，24这24个整数中等可能随机产生(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi(i1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i1,2,3)的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30121172 1001 051696353当n2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望解：本题主要考查算法与程序框图、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识(1)变量x是在1,2,3，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故p1；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故p2；当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故p3.所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.(2)当n2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1,2,3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大(3)随机变量可能的取值为0,1,2,3.p(0)c03，p(1)c12，p(2)c21，p(3)c30，故的分布列为0123p所以，e01231.即的数学期望为1.4（2010新课标全国，5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为x，则x的数学期望为()a100 b200c300 d400解析：记“不发芽的种子数为”，则b(1 000,0.1)，所以e1 0000.1100，而x2，故exe(2)2e200.答案：b5（2010安徽，5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以a1，a2和a3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以b表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)p(b)；p(b|a1)；事件b与事件a1相互独立；a1，a2，a3是两两互斥的事件；p(b)的值不能确定，因为它与a1，a2，a3中究竟哪一个发生有关解析：由题意知p(b)的值是由a1，a2，a3中某一个事件发生所决定的，故错误；p(b|a1)，故正确；由互斥事件的定义知正确，故正确的结论的编号是.答案：6（2012辽宁，12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”(1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为x.若每次抽取的结果是相互独立的，求x的分布列，期望e(x)和方差d(x)附：2，p(2k)0.050.01k3.8416.635解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得23.030.因为3.0303.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意xb(3，)，从而x的分布列为x0123pe(x)np3，7(2011天津，13分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，()摸出3个白球的概率；()获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数x的分布列及数学期望e(x)解：(1)()设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件ai(i0,1,2,3)，则p(a3).()设“在1次游戏中获奖”为事件b，则ba2a3.又p(a2)，且a2，a3互斥，所以p(b)p(a2)p(a3).(2)由题意可知x的所有可能取值为0,1,2.p(x0)(1)2，p(x1)c(1)，p(x2)()2.所以x的分布列是x012px的数学期望e(x)012.8(2010广东，12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495，(495,500，(510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设y为重量超过505克的产品数量，求y的分布列；(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为(0.010.05)54012(件)(2)y的可能取值为0,1,2.p(y0).p(y1).p(y2).y的分布列为y012p(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3.令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，则b(5,0.3)，故所求概率为p(2)c(0.3)2(0.7)30.308 7.9(2009广东，12分)根据空气质量指数api(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：api05051100101150151200201250251300300级别1212状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染对某城市一年(365天)的空气质量进行监测，获得的api数据按照区间0,50，(50,100，(100,150，(150,200，(200,250，(250,300进行分组，得到频率分布直方图如图(1)求直方图中x的值；(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率(结果用分数表示已知5778 125,27128，365735)解：(1)根据频率分布直方图可知，x1()5